瓜豆原理 講義-九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)

瓜豆原理九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)

例題講解

【弓I例1］如圖，P是直線Be上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),

Q點(diǎn)軌跡是？

【弓I例2】如圖，ZXAPQ是等腰直角三角形，ZPAQ=90oJiAP=AQ,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上

運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

【例1】如圖，已知AB=I2,點(diǎn)C、Z）在線段ΛB上且AC=3,DB=2；P是線段CQ上的

動(dòng)點(diǎn)，分別以針、PB為邊在線段ΛB的同側(cè)作等邊AAEP和等邊ΔPFB,連接,設(shè)EF

的中點(diǎn)為G.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，中點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是.

【例2】（2020?巴南區(qū)自主招生）如圖，在ΔAβC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,點(diǎn)、D

是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，在直線AD的右側(cè)找一點(diǎn)E,使E4_LAO,且NAr應(yīng)=30。.當(dāng)點(diǎn)。

從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E隨之運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不動(dòng)），則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

【例3】（2017?姑蘇區(qū)校級(jí)二模）如圖，在等邊AABC中，AB=10,BD=4,BE=2,點(diǎn)、

P從點(diǎn)E出發(fā)沿E4方向運(yùn)動(dòng)，連接PD,以Pz）為邊，在PZ）的右側(cè)按如圖所示的方式作等

邊ADPF,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是

【引例3］如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在圓

O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【引例4］如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQLAP且AQ=AP.當(dāng)

點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【例4】如圖，ΔA8O為等邊三角形，OA=4,動(dòng)點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的O

上，點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，連接AD,則線段ΛD長(zhǎng)的最小值為.

【例5】(2020春?西城區(qū)校級(jí)月考)如圖，拋物線y=χ2-8x+15與X軸交于A、3兩點(diǎn),

對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D(0,-2),點(diǎn)E(0,-6)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且滿足ZDPE=90°,

M是線段PB的中點(diǎn)，連接CM.則線段CM的最大值是.

【例6】如圖，線段AB為O的直徑，點(diǎn)C在4?的延長(zhǎng)線上，Aδ=4,BC=2,點(diǎn)、P是

。上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RtΔPCD,且使NDCP=60。，連接

【例7】（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知O的半徑為2,A為圓內(nèi)一定點(diǎn)，AO=?.P為

圓上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊作等腰ΔAPG,AP=PG,ZAPG=120°,則OG的最大值為

【例8】（2020?無(wú)錫一模）如圖，在等腰ΔAβC中，AC=BC=5,A8=56,點(diǎn)尸在以43

為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑

長(zhǎng)是.

【中位線轉(zhuǎn)化】

【例9】（2020?連云區(qū)二模）在RtΔABC中，Z4Cβ=90o,AC=8,BC=6,點(diǎn)。是以點(diǎn)

A為圓心4為半徑的圓上一點(diǎn)，連接3D,點(diǎn)M為皿）中點(diǎn)，線段CM長(zhǎng)度的最大值

為

【例10】（2021?深圳模擬）如圖，在RiAABC中，ZACB=90o,ZB=30o,BC=3yβ,點(diǎn)、

。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是以點(diǎn)3為圓心，皮）長(zhǎng)為半徑的圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接ΛE,點(diǎn)F為

AE的中點(diǎn)，則b長(zhǎng)度的最大值是

【例1。（2020?郎溪縣校級(jí)自主招生）如圖，點(diǎn)A是雙曲線），=-2在第二象限分支上的一

X

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接Ao并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)5,以AB為底作等腰AABC,且NAcB=I20。，點(diǎn)

C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y=V上運(yùn)

挑戰(zhàn)訓(xùn)練

【挑戰(zhàn)訓(xùn)練1】（2020?錫山區(qū)一模）如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為√5的一個(gè)定點(diǎn),

AC_Lx軸于點(diǎn)M,交直線y=-x于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段。V上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZAPB=30°.

BAYPA,則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是

【挑戰(zhàn)訓(xùn)練2】(2021?武漢模擬)已知。的半徑為4,A為圓內(nèi)一定點(diǎn)，AO=2.M為

圓上一動(dòng)點(diǎn)，以AM為邊作等腰ΔAMN,AM=MN，NAAW=Io8。，ON的最大值為()

A.4+2√5B.2>^+2√5C.√2+2√5D.l+2√5

【挑戰(zhàn)訓(xùn)練3】(2021?武漢模擬)(1)問(wèn)題背景：如圖1,已知矩形ABC￡),E為線段4)

上一點(diǎn)，連接BE,以線段5E為對(duì)稱軸，將ΔΛSE翻折；A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn).若F點(diǎn)正

好落在線段8上，求證：AEDFSMCB.

(2)嘗試應(yīng)用：如圖2,已知直角梯形ABCZ),ZB=NC=ZAEo=90。，

2ZADE+ZCDE=I80°,過(guò)點(diǎn)E作團(tuán)_LAO,若EH=2,A￡)=5,求CE的長(zhǎng).

(3)拓展創(chuàng)新：如圖3,已知矩形ABC￡),AB=I2,AD=9,E在線段4)上運(yùn)動(dòng)，連接

BE,以線段BE為對(duì)稱軸，將AABE翻折，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P點(diǎn)，連接CP并在線段CP上

取一點(diǎn)T,使得fT=2CT,連接Z)T,直接寫出”的最小值.

圖1圖2

答案版

例題講解

【弓I例1］如圖，P是直線Be上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),

Q點(diǎn)軌跡是？

【弓I例2】如圖，ZXAPQ是等腰直角三角形，ZPAQ=90oJiAP=AQ,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上

運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

【例1】【解答】解：如圖，分別延長(zhǎng)ΛE?BF交于羔H.

ZA=ZFPB=60°,

.?AH//PF,

ΛB=ZEPA=ω°,

:.BHHPE,

.??四邊形￡7方H為平行四邊形，

與//P互相平分.

G為砂的中點(diǎn)，

二G也正好為尸H中點(diǎn)，

即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PH的中點(diǎn)，

所以G的運(yùn)行軌跡為MCD的中位線M(V.

CD=I2-3-2=7,

MN=3.5,即G的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為3.5.

故答案為3.5

【解答】解：■在AABC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,

.?.AB=JAe2+BC?=5,

EArAD,

ZZME=90。，

ZAz)E=30。，

/.AE=AD?tan30°,

3h

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)5時(shí)，AE=Aβ?tan30°=—,

3

當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，AEr=AC?tan30o=√3,

所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡是與AC平行的一條線段EE的長(zhǎng)：

所以EE=√AE<-北=迪.

3

故答案為：---.

【解答】解：如圖，ΔABC為等邊三角形,

NB=60。，

過(guò)。點(diǎn)作。則BE=J80=2,

2

.?.點(diǎn)E與點(diǎn)E重合,

ZBDE=3U,DE=y∕3BE=2√3,

ΔDPF為等邊三角形，

.-.ZPDF=60°,DP=DF,

.?.ZEDP+ZHDF=90°

AHDF+ZDFH=90°,

.-.ZEDP=ZDFH,

在ADPE和Δ∕ZW中，

ZPED=ZDHF

<NEDP=ZDFH,

DP=FD

.-.ADPEAFDH,

:.FH=DE=2底

.?.點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2√3,

當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形。環(huán)，NBDFl=30。+60。=90。，則DFiLBC,

當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DA6，作EQJ.BC于。，則△。乙Q=ΔAf>E,所以

AE=IO-2=8,

.-.FtF2=DQ=S,

：.當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為8.

【引例3］如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在圓

O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【引例4］如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQLAP且AQ=AP.當(dāng)

點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【例4】

取08的中點(diǎn)E,

在AOBC中，Z)E是AOBC的中位線,

.?.DE=-OC=I,即點(diǎn)。是在以E為圓心，2為半徑的圓上,

2

求AD的最小值就是求點(diǎn)A與E上的點(diǎn)的距離的最小值,

當(dāng)。在線段ΛE上時(shí)，AZ)取最小值26-2.

故答案為：26-2.

2

【例5】【解答】解：解方程x-8x+15=0得玉=3,X2=5,則A(3,0),

拋物線的對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)C,

.?.C點(diǎn)為AB的中點(diǎn),

ZDPf=90°,

二.點(diǎn)P在以Z5E為直徑的圓上，圓心Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,Y),

A0=√32+42=5,。的半徑為2,

延長(zhǎng)AQ交。于尸，此時(shí)ΛF最大，最大值為2+5=7,

連接AP,

M是線段PB的中點(diǎn)，

:.CM為AABP為中位線,

..CM=-AP,

2

7

.?.CM的最大值為一.

2

故答案為：工.

【例6】【解答】解：如圖，作ACOE,使得NCEo=90。，ZEco=60。，則CO=2CE,

OE=2√3,ZOCP=ZFCD,

NCDP=90。,ZDCP=GOo,

.?.CP=2CD,

.COCPc

CECD

.?ACOP^ACED,

?OP_CP”

EDCD

即Eo=IoP=I（定長(zhǎng)），

2

點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng),

.?.點(diǎn)。在半徑為1的;E上，

OD,,OE+DE=2yβ+},

的最大值為28+1,

故答案為26+1.

【例7】【解答】解：如圖，將線段OA繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段“，連接AT,GT,

ΔAOT,AAPG都是頂角為120。的等腰三角形，

.?.ΛOAT=ZPAG=30°,

.^OAP=ΛTAG,絲="=更，

ATAG3

.OAAT

~AP~'AG'

.?AOAP^ATAG.

OPOA√3

..=—=—，

TGTA3

OP=2,

.?.ΓG=2√3,

OG,,OT+GT9

:.OG,,I÷2V3,

.?.OG的最大值為l+2√5,

故答案為：1+26，

【例8】【解答】解：如圖，連接AP,PB,取AC的中點(diǎn)G,取03的中點(diǎn)K,連接MG,

MK,GK,取GK的中點(diǎn)O,連接0M?

AB是直徑,

.?.ZAPB=90o,

CG=GA,CM=MP,CK=KB,

.?.GM//PA,MK//PB,

:./CMG=NCPA,ZCMK=ZCPBf

.?.ZCMG+Z.CMK=ZCPA+ZCPB=90o，

CG=GA,CK=KB,

..GK=—AB=，

22

GO=KO,/GMK=90。,

:.OM=-GK=-,

24

??.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，OM為半徑的半圓，運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)=有亞=也".

44

故答案為：更兀.

4

【中位線轉(zhuǎn)化】

【例9】

【解答】解：作ΛB的中點(diǎn)E,連接EM、CE.

在直角AABC中，AB=√AC2+BC2=√62+82=10,

E是直角AASC斜邊ΛB上的中點(diǎn)，

.?CE=-Aβ=5.

2

M是比?的中點(diǎn)，E是4?的中點(diǎn)，

.-.ME=-AD=I.

2

5-2羽EM5+2,即琛CM7.

最大值為7,

故答案為：7.

【例10】【解答】解：如圖，延長(zhǎng)Ae到7,使得CT=AC,連接取，TE,BE.

E

AC=CT9BC.LAT9

.?.BA=BT,

ZACB=90。，ZABC=30。，BC=3√3,

ΛZBAT=60o,AC=BC?tan30o=3,

.?AB=2AC=6,

.?.A4B7是等邊三角形，

.?.BT=AB=6,

AD=BD=BE,

.?.BE=3,

ET,,BT+BE,

￡7；,9,

.?.￡T的最大值為9,

AC=CT,AF=FE,

.?.CF='ET,

2

.?.c尸的最大值為2.

2

故答案為：—.

2

【例11】

【解答】解：連接8,過(guò)點(diǎn)A作AO_LX軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作CEJ軸于點(diǎn)E,

?連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)5,以4?為底作等腰ΔABC,且NACH=I20。,

.?CO±ABfNC45=30。，

則ZAOD+NCQE=900,

ZZMO+∠S4C>r>=90o,

.?ZDAO=ZCOE1

又ZADO=ZCEO=90°,

.?^AOD^?OCE,

ADOD

—=tan60o=√3,

~EO~~CEOC

2

Λ?^=(√3)=3,

s?fθ?

點(diǎn)A是雙曲線y=-2在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

X

C19

?,?SMOD=QXI?v1=2,

3I3

：.SyCC=—，BP-XOEXCE=-,

δcoc222

:.k=OExCE=39

故答案為：3.

挑戰(zhàn)訓(xùn)練

【挑戰(zhàn)訓(xùn)練1Il

【解答】解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至QV上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)3為用，連接

AP,AB.,BBi,

AO±AB1,APLABi,

.?.NoAP=NB、AB：,

oo

又?AB1=AO-tan30,AB-=AP-tan30,

.?.ABl:AO=ABι:AP,

.?.ΔABlBiSAAOP,

.?.NABM=NAOP?

同理得△Ag芻sAAQN,

.?.NABlBI=ZAOP,

ZAB1B1=ZAB1B2,

點(diǎn)B,在線段βlB,±,即線段B1B2就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑

由圖形2可知：RtΔAPB∣中，NAPg=30。，

AB.1

?'?kr

Rt△AB?N中,ZANB2=30°,

AB2_I

"ATV-√3'

ABtAB21

"左一俞一耳’

NPABl=ZNAB2=90°,

:.ΛPAN=ABxAB2,

.?ΔAPN?^ΛABtB2,

B1B2AB11

"~PN~^?P~T∕3'

ON的解析式為：y=-x,

AOMN是等腰直角三角形,

.?.OM=MN=y∣3,

.?.PN=46,

B1B,=?J2,

綜上所述，點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段其長(zhǎng)度為夜.

故答案為：?∣2.

【挑戰(zhàn)訓(xùn)練2】【解答】解：如圖，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)108。得到線段“，連

接AT,NT,OM.延長(zhǎng)AO到K,使得M=AT,貝IJAo=OT=2,

ZOAT=ZOTA=36°,

.-.ZKOT=ZOAT+ZATO=12o,

180°-NKAT_

ZK=ZATK=一/Z.

2

..NK=∕KOT,

.?.KΓ=OT=2,

NKOT=NKM=72。，NK=NK,

:NOTSNaA,

KTOKππ2OK

KATKOK+22

：.oλr=√5-ι,

.?.AT=AK=AO+OK=2+y∕5-]=yf5+?9

ΔAOT,ΔAM7V都是頂角為108。的等腰三角形，

.?./ɑAT=NMATV=36。，ZAOT=ZAMN=?0So,

.?ΛAOT^ΛAMN,

?AO-AT

,,AM-?V,

ΛOAT+ΛTAM=ΛOAM,AMAN+ΛTAM=ZTAN,

.?.ZOAM=ZTAN9

:.AOAMc^Δ7>W，

AOOMππ=2=4

..-----=------，即-T——

ATTN√5+lTN

/.7N=2√5÷2,

ON,,OT+NT,

??.cw,,2√5÷4,

.?.QN的最大值為26+4,

故選：A.

【挑戰(zhàn)訓(xùn)練3】【解答】（1）證明：如圖1,在矩形ABCZ）中，ZA=ND=NC=90。，由

翻折得NEEe=NA=90。.

ZDEF+ZDFE=90°,ZCFB÷ZDΛE=180o-90o=90o,

DEF=/CFB,

.?.ΔEZ)Fc^ΔFCB.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作Ab_LC。，交CQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)產(chǎn)，設(shè)CE=%,CD=χ.

EHLAD,

../EHD=ZAHE=90。,

ZAED=90o,

ZEDH=90。-ZDEH