數(shù)值分析試題及答案

數(shù)值分析試題

一、填空題(20X2')

1.設40.231是精確值爐=0。229的近似值，則X有2位有效數(shù)字.

2.若/(x)=∕-χ3+1,則/[2。，21,22,23,2、25,26,27]=1,y120,21,22,

23,24,25,26,27,28]0

3.設，IIAIlco=5IlXIl3

IIAXIloo≤15

4.非線性方程AG)=O的迭代函數(shù)4dx)在有解區(qū)間滿足IoU)I〈1，則使

用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。

5.區(qū)間［a,b'］上的三次樣條插值函數(shù)S(X)在［α,b^］上具有直到2階的連續(xù)導

數(shù)。

6.當插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商

公式的前插公式，若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公

式的后插公式；如果要估計結(jié)果的舍入誤差，應該選用插值公式中的

拉格朗日插值公式。

7.拉格朗日插值公式中yu?)的系數(shù)?(X)的特點是：1；所以當系數(shù)?

(%)滿足的(x)〉1,計算時不會放大/(Xi)的誤差，

8.要使的近似值的相對誤差小于0。1%,至少要取4位有效數(shù)字。

9.對任意初始向量N°>及任意向量g,線性方程組的迭代公式淤+∣)=β√*>+g(hθ,1,…)

收斂于方程組的精確解無*的充分必要條件是p(B)<lo

10.由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是5

X0Oo511.522?5

y=f(χ)—2—1.75—1Oo2524o25

11.牛頓下山法的下山條件為If(xn+l)∣<If(xn)I

12.線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差小。=0,1,…，〃)來實現(xiàn)的，其中的殘

差n=(bi-aiixι-ai2X2-…-amXn)/刖,(i=0,1,…，n)0

13.在非線性方程/(x)=O使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解,且/

(%)的二階導數(shù)不變號，則初始點一的選取依據(jù)為f(xθ)f"(xO)〉

0.

14.使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計算。

二、判斷題(IOXI')

1、若A是〃階非奇異矩陣,則線性方程組AX=b一定可以使用高斯消元法求解.(X)

2、解非線性方程/(x)=0的牛頓迭代法在單根X*附近是平方收斂的。

(√)

3、若A為〃階方陣,且其元素滿足不等式

則解線性方程組AX=O的高斯一一塞德爾迭代法一定收斂.(×)

4、樣條插值一種分段插值。(√)

5、如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。(√)

6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差

及舍入誤差。

(√)

7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX=b。

(X)

8、迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計，直到最后一步

迭代計算的舍入誤差。

(×)

9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截

斷誤差=舍入誤差。

(√)

10、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。(×)

三、計算題(5X10')

1、用列主元高斯消元法解線性方程組。

解答：

(1,5,2)最大元5在第二行，交換第一與第二行：

L2l=l∕5=0o2,hι=2∕5=0.4方程化為:

(-Oo2,2?6)最大元在第三行，交換第二與第三行：

L32=-0.2∕2o6=-0o076923,方程化為:

回代得：

2、用牛頓--埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式R(x),并寫

出其截斷誤差的表達式(設√U)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導數(shù))。

Xi012

于(即)________________1—13

_________________15

解答：

做差商表

XiF(xi)F[xi,xi+1]F[xioF[xi,F[xi,xi+l,xi+2,xi+3,

xi+l.xi+2]xi+l,xi+2,xi+3]xi+4]

01

11—2

1-113

23430

2351—2—1

P4(x)=l-2x-3x(x-l)一x(x-1)(x-l)(x-2)

R4(x)=f(5)(ξ)∕5!x(x-l)(χ-1)(x-2)(x-2)

3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應用雅克比迭代法和高斯一-賽

德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯--賽德爾迭代法

的迭代公式，并簡單說明收斂的理由.

解答：

交換第二和第四個方程，使系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)：

雅克比迭代公式：

《計算機數(shù)學基礎(2)》數(shù)值分析試題

一、單項選擇題(每小題3分，共15分)

t

1?已知準確值X*與其有f位有效數(shù)字的近似值X=0。0ala2...a,,×IO(al≠0)的絕對誤差∣Z

—x∣≤().

(A)0.5X1OL-(B)0。5X1OSl(C)0.5X10計L(D)0.5×10s+,

2.以下矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣的為().

(A),(B)

(C)(D)

3o過(0,1),(2,4),(3,1)點的分段線性插值函數(shù)P(%)=()

(A)(B)

(C)(D)

4.等距二點的求導公式是()

(A)(B)

(C)(D)

5。解常微分方程初值問題的平均形式的改進歐拉法公式是

那么力，”分別為().

(A)(B)

(C)(D)

二、填空題(每小題3分,共15分)

6?設近似值XI)X2滿足￡(XI)=Oo05,&及)=0.005,那么總因)=.

7。三次樣條函數(shù)S(X)滿足:S(X)在區(qū)間［a,Z?］內(nèi)二階連續(xù)可導，S5)=j?(已知),?=0,1,2,

且滿足S(X)在每個子區(qū)間［次，xjt+∣］上是.

8。牛頓一科茨求積公式，則=。

9.解方程/(x)=0的簡單迭代法的迭代函數(shù)φ(X)滿足在有根區(qū)間內(nèi),則在有根區(qū)間

內(nèi)任意取一點作為初始值，迭代解都收斂.

IOo解常微分方程初值問題的改進歐拉法預報一一校正公式是

預報值:，校正值：坎+產(chǎn).

三、計算題(每小題15分,共60分)

Ik用簡單迭代法求線性方程組

的X<3>.取初始值(0,0,0)O計算過程保留4位小數(shù).

12?已知函數(shù)值式0)=6,f(1)=10,/3)=46/(4)=82,/(6)=212,求函數(shù)的四階均差/(0,

1,3,4,6)和二階均差/(4,1,3).

13.將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計算定積分，計算過程保留4位小數(shù).

14.用牛頓法求的近似值,取AIo或11為初始值,計算過程保留4位小數(shù).

四、證明題(本題10分)

15。證明求常微分方程初值問題

在等距節(jié)點“=xo3<…α,,=b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為

y(XMl)≈yk-n=yk+［/(χ?>”)+f(‰ι>γt+∣)J

其中∕z=x*+LM(?=0,l,2,...?/—!)

《計算機數(shù)學基礎(2)》數(shù)值分析試題答案

一、單項選擇題(每小題3分，共15分)

1.A2.B3。A4.B5.D

二、填空題(每小題3分,共15分)

6。Oo05Ix21+0?005IXiI7。3次多項式

8.b-a9oIφ,(x)I≤r<l10.yk+hfl,Xk+↑>).

三、計算題(每小題15分，共60分)

11。寫出迭代格式

X@=(0,0,0)7^,

得到Xs=(2.5,3,3)τ

得至(1*2)=(2.875,2。3637,1?0000)T

得到X<3>=(3。1364,2。0456,0.9716)τ,

12.計算均差列給出.

/(此)一階均差二階均差三階均差四階均差

06

1104

_3_461814/3

4823661/3

62126529/311/151/15

?(θ,1,3A6)=

a1,3)=6

13of(x)=,h=.分點ΛO=1.O,xι=lo25,X2=l?5,x3=l.75,X4=2.0,%5=2.25,X6=2o50,a=2。

75典=3。

函數(shù)值:/(1。O)=Io4142,/(1.25)=1.6008/(l?5)=Io8028,/(Io75)=2.0156,/(2。

0)=2.236l∕(2o25)=2.4622√(2.50)=2。6926,42。75)=2。9262,/(3。0)=3。1623.

(9分)

=×[1.4142+3o1623÷2×(lo6008+1.8028+2o0156

+2.2361+2.4622+2o6926+2。9262)]

=0.125×(4o5765+2×15o7363)=4。5061

2

14o設X為所求,即求I2—115=0的正根.f(x)=x-115.

因為∕α)=2x,ff(χ)=2,χiθy,(lθ)=(100-115)×2<0∕(ll)f,(11)=(⑵-115)X2〉0

取Xo=H-

有迭代公式

Xk+?=Xk~=(仁0,1,2,...)

Xi==10.7273

X2==IOo7238

X3==IOo7238

x*≈10o7238

四、證明題(本題10分)

15o在子區(qū)間[&+1，4]上，對微分方程兩邊關于力積分，得

+1)-MM)=

用求積梯形公式，有

y(χ?+∣)-?(M)=

將火必)，y(%+1)用以，”+i替代，得到

X‰1)≈"+ι="+"(如”)t∕C‰ι,加1)](?=0,1,2,...,n-?)

數(shù)值分析期末試題

一、填空題(分)

(1)設，則13.

(2)對于方程組，Jacobi迭代法的迭代矩陣是。

(3)的相對誤差約是的相對誤差的倍.

(4)求方程根的牛頓迭代公式是。

(5)設.則差商1。

(6)設矩陣G的特征值是，則矩陣G的譜半徑.

(7)已知，則條件數(shù)9

(8)為了提高數(shù)值計算精度，當正數(shù)充分大時，應將改寫為.

(9)個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為次.

(10)擬合三點，，的水平直線是。

二、(10分)證明：方程組使用Jacobi迭代法求解不收斂性.

證明：JaCobi迭代法的迭代矩陣為

的特征多項式為

的特征值為，，，故＞1,因而迭代法不收斂性。

三、（10分）定義內(nèi)積

試在中尋求對于的最佳平方逼近元素。

解:，，

999,?

法方程

解得，。所求的最佳平方逼近元素為

四、（10分）給定數(shù)據(jù)表

X-2—1012