第2講 全稱量詞與存在量詞、充要條件（原卷版）

第2講全稱量詞與存在量詞、充要條件基礎(chǔ)知識1.全稱量詞與存在量詞(1)一般地,“”“”“”在陳述中表示所述事物的全體,稱為全稱量詞,用符號“”表示.

(2)“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分,稱為存在量詞,用符號“”表示.

(3)含有一個量詞的命題的否定:全稱量詞命題p:?x∈M,p(x),它的否定是.

存在量詞命題q:?x∈M,q(x),它的否定是.

2.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q,則p是q的條件,q是p的條件

p是q的條件

p?q且q?/pp是q的條件

p?/q且q?pp是q的條件

p?qp是q的條件

p?/q且q?/p常用結(jié)論1.充要條件的兩個結(jié)論:(1)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則p是r的充分不必要條件;(2)若p是q的充分不必要條件,則?q是?p的充分不必要條件.2.充分、必要條件與集合的關(guān)系使p成立的對象構(gòu)成的集合為A,使q成立的對象構(gòu)成的集合為Bp是q的充分條件A?Bp是q的必要條件B?Ap是q的充分不必要條件A?Bp是q的必要不充分條件B?Ap是q的充要條件A=B分類訓練探究點一全稱量詞與存在量詞角度1全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷例1(1)(多選題)[2020·重慶模擬]下列命題為真命題的是 ()A.?x∈R,3x>1 B.?x>1,2x+1C.?x∈R,cosx=0 D.?x∈R,lgx>1(2)[2020·海口模擬]能夠說明“?x∈N*,2x≥x2”是假命題的一個x的值為.

[總結(jié)反思]全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法:命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱量詞命題真所有對象使命題為真否定為假假存在一個對象使命題為假否定為真存在量詞命題真存在一個對象使命題為真否定為假角度2含有一個量詞的命題的否定例2(1)[2020·淄博一模]設m∈R,命題“存在m>0,使方程x2+x-m=0有實根”的否定是 ()A.對任意m>0,方程x2+x-m=0無實根B.對任意m≤0,方程x2+x-m=0有實根C.存在m>0,使方程x2+x-m=0無實根D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有實根(2)命題“?n∈N,f(n)?N且f(n)≤n”的否定是()A.?n∈N,f(n)∈N且f(n)≤nB.?n∈N,f(n)?N且f(n)>nC.?n∈N,f(n)∈N或f(n)>nD.?n∈N,f(n)∈N且f(n)>n(3)命題“實數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是.

[總結(jié)反思]全稱量詞命題與存在量詞命題的否定:①改寫量詞:確定命題所含量詞的類型,省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞,再對量詞進行改寫.②否定結(jié)論:對原命題的結(jié)論進行否定.探究點二根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍例3(1)[2020·新余模擬]已知命題p:“?x∈R,ax2+x+1≤0”是假命題,則a的取值范圍為 ()A.a<14 B.a≥C.a>14 D.a>14或(2)[2020·安徽六安一中月考]若存在x∈1e,e,使不等式2xlnx+x2-mx+3≤0成立,則實數(shù)m的最小值為.

[總結(jié)反思]根據(jù)命題的真假求參數(shù)的一般步驟:(1)根據(jù)題目條件,推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況);(2)求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍;(3)根據(jù)每個命題的真假情況,求出參數(shù)的取值范圍.變式題(1)[2020·衡陽一模]若“?x∈R,sinx-3cosx=a”為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.[-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)(2)[2020·云南師大附中月考]命題“?x∈(0,+∞),x2-2x-m≥0”為真命題,則實數(shù)m的最大值為.

探究點三充分、必要條件的判定1.[2020·天津卷]設a∈R,則“a>1”是“a2>a”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.[2020·南昌三模]“k=1”是“函數(shù)f(x)=ex-keA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.如果x,y是實數(shù),那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的 ()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件[總結(jié)反思]充分條件、必要條件的判定方法有定義法、集合法和等價轉(zhuǎn)化法.三種不同的方法適用于不同的類型:定義法適用于定義、定理的判斷問題;集合法多適用于命題中涉及參數(shù)的取值范圍的推斷問題;等價轉(zhuǎn)化法適用于條件和結(jié)論中帶有否定性詞語的命題.探究點四充分、必要條件的應用例4(1)[2019·全國卷Ⅱ]設α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是 ()A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面(2)[2020·衡陽三模]設條件p:|2x+3|<1,條件q:x2-(2a+2)x+a(a+2)≤0,若q是p的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是.

[總結(jié)反思]充分條件、必要條件的應用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上,解題時通常把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.解題過程中要注意檢驗區(qū)間的端點值.變式題(1)(多選題)[2020·煙臺模擬]“關(guān)于x的不等式x2-2ax+a>0對任意x∈R恒成立”的一個必要不充分條件是 ()A.0<a<1 B.0≤a≤1C.0<a<12 D.a(2)已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要條件,則k的取值范圍為 (A.(-∞,1] B.[1,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)同步作業(yè)1.[2020·開封二模]已知p:?x>0,x-1x≥0,則?p為 (A.?x>0,x-1x<B.?x≤0,x-1x<C.?x>0,x-1x<D.?x≤0,x-1x2.下列命題中為假命題的是 ()A.?x∈R,lnx<0B.?x∈(-∞,0),ex>0C.?x>0,5x>3xD.?x∈(0,+∞),12x<13x3.[2020·安徽淮北一中月考]已知非零向量a,b滿足|a|=|b|,則“|a+2b|=|2a-b|”是“a⊥b”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知a,b都是實數(shù),那么“a>b”是“l(fā)na>lnb”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.對于常數(shù)m,n,“方程mx2+ny2=1表示的曲線是橢圓”是“mn>0”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.設n∈N*,則一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=.

7.[2020·浙江杭州二中模擬]在△ABC中,“cosA<cosB”是“tanA>tanB”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件8.[2020·廣東茂名模擬]已知p:?x∈[0,+∞),a<12x+1,若p為真命題,則實數(shù)a的取值范圍為 ()A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-2,2) D.[-2,2]9.[2020·綿陽南山中學模擬]若|x-a|<1成立的充分不必要條件是1<x<32,則a的取值范圍是 (A.12<a<2 B.12≤C.a≤12或a≥2 D.a<12或10.[2020·南昌一模]已知r>0,x,y∈R,p:|x|+|y|2≤1,q:x2+y2≤r2,若p是q的必要不充分條件,則實數(shù)r的取值范圍是A.0,255 B.(0,1]C.255,+∞ D.[2,+∞)11.(多選題)[2020·登州模擬]下列命題中是真命題的是 ()A.?x∈R,x-2>lnxB.?x,y∈R,x2+y2>2x-2y-3C.命題“?x>0,x2+x>0”的否定是“?x>0,x2+x≤0”D.“-2≤a≤2”是“實系數(shù)一元二次方程x2+ax+1=0無實根”的充分不必要條件12.(多選題)[2020·青島模擬]下面四個說法中正確的是 ()A.“直線a∥直線b”的充要條件是“直線a平行于直線b所在的平面”B.“直線l垂直于平面α內(nèi)的所有直線”的充要條件是“直線l⊥平面α”C.“直線a,b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a,b不相交”D.“平面α∥平面β”的必要不充分條件是“α內(nèi)存在不共線的三點到β的距離相等”13.(多選題)[2020·泰州模擬]定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),若f'(x)<f(x),則不等式exf(2x)<e4f(3x-4)成立的一個充分不必要條件是 ()A.-1<x<2 B.2<x<5C.4<x<7 D.