第4講 均值不等式及其應(yīng)用（解析版）

第4講均值不等式及其應(yīng)用基礎(chǔ)知識1.均值不等式ab≤a(1)均值不等式成立的條件:.

(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

2.幾個重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R).

(2)ba+ab≥(a,b同號(3)ab≤a+b22(a,b∈R)(4)a+b22≤a2+b22(a3.算術(shù)平均值與幾何平均值給定兩個正數(shù)a,b,數(shù)稱為a,b的算術(shù)平均值;數(shù)ab稱為a,b的幾何平均值.均值不等式可敘述為:

.

4.利用均值不等式求最值問題已知x>0,y>0.(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,x+y有最小值,是(簡記:積定和最小).

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,xy有最大值,是(簡記:和定積最大).

1.(1)a>0,b>0(2)a=b2.(1)2ab(2)23.a+b4.(1)2p(2)p常用結(jié)論1.若x≠0,則x+1x≥2,當(dāng)且僅當(dāng)2.若ab≠0,則ba+ab3.若ab>0,x≠0,則ax+bx≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)x=±4.若a>0,b>0,則21a+1b≤ab≤a+分類訓(xùn)練探究點一直接用均值不等式例1(1)(多選題)若正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列說法錯誤的是 ()A.ab有最小值1B.a+b有最小值2C.1a+1bD.a2+b2有最小值2(2)已知3a=4b=12,則下列不等式不成立的是 ()A.a+b>4 B.ab>4C.(a-1)2+(b-1)2>2 D.a2+b2<3[總結(jié)反思]利用均值不等式比較大小,主要有兩個思路:一是直接建立不等關(guān)系比較大小;二是觀察待比較式子的結(jié)構(gòu)特征,合理選取均值不等式或其變形形式,結(jié)合不等式的性質(zhì)比較大小.例1[思路點撥](1)根據(jù)a,b都是正數(shù),a+b=1以及均值不等式即可得出ab≤14,從而判斷A中說法錯誤,再據(jù)此判斷B,D中說法錯誤,C中說法正確;(2)根據(jù)3a=4b=12即可得出a=1+log34,b=1+log43,再根據(jù)log34·log43=1,log34+log43>2即可判斷出選項A,B,C中的不等式都成立,D中不等式不成立(1)ABD(2)D[解析](1)∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時取等號,∴ab≤14,∴ab有最大值14,A中說法錯誤;(a+b)2=a+b+2ab≤1+214=2,即a+b≤2,∴a+b有最大值2,B中說法錯誤;1a+1b=a+bab=1ab≥4,∴1a+1b有最小值4,C中說法正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×14(2)∵3a=4b=12,∴a=log312=1+log34,b=log412=1+log43,∴a+b=2+log34+log43>2+2log34·log43=4,ab=2+log34+log43>4,(a-1)2+(b-1)2=(log34)2+(log43)2>2log34·log43=2,A,B,C中不等式成立.∵a>2,∴a變式題(多選題)下列函數(shù)中,最小值為4的是 ()A.y=x2+B.y=sinx+4sinx(0<x<πC.y=ex+4e-xD.y=x2+1變式題CD[解析]對于A,函數(shù)的定義域為{x|x≠0},當(dāng)x<0時,y<0,顯然其最小值不可能為4,故A不符合題意;對于B,∵0<x<π,∴0<sinx≤1,而y=sinx+4sinx在(0,1]上單調(diào)遞減,∴y≥5,故B不符合題意;對于C,y=ex+4e-x≥2ex·4e-x=4,當(dāng)且僅當(dāng)ex=4e-x,即x=ln2時,等號成立,故C符合題意;對于D,令t=x2+1,則t∈[1,+∞),y=t+4t≥2探究點二變形用均值不等式求最值微點1配湊法求最值例2(1)已知實數(shù)a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,則a+2b的最小值是A.32 B.22C.3 D.2(2)已知x>54,則函數(shù)y=4x+14x[總結(jié)反思]均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,利用均值不等式求最值時,要根據(jù)式子的特征靈活變形,先配湊出積、和為常數(shù)的形式,再利用均值不等式求解.例2[思路點撥](1)先配湊,再利用均值不等式,即可求解a+2b的最小值;(2)先將y=4x+14x(1)B(2)7[解析](1)∵a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,∴a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)]·1a+1+1b+1-3=1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1-3≥3+22-3=22,當(dāng)且僅當(dāng)(2)∵x>54,∴4x-5>0,∴y=4x+14x-5=(4x-5)+14x-5+5≥2+5=7,當(dāng)且僅當(dāng)4x-5微點2常數(shù)代換法求最值例3(1)已知a,b>0,2a+b=2,則ab+1a的最小值為 (A.32 B.2+C.52 D.2(2)若正實數(shù)x,y滿足4x+y=xy,且x+y4>a2-3a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為 (A.[-1,4] B.(-1,4)C.[-4,1] D.(-4,1)[總結(jié)反思]常數(shù)代換法主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求ax+by的最值”的問題,通常先將ax+by轉(zhuǎn)化為ax+by·例3[思路點撥](1)先把式子變形,再利用均值不等式求出它的最小值;(2)由已知可得4y+1x=1,從而x+y4=x+y41x+4y=2+y4x(1)B(2)B[解析](1)∵a,b>0,2a+b=2,∴ab+1a=ab+2a+b2a=1+ab+b2a≥1+2(當(dāng)且僅當(dāng)b=2a,即a=2-2,b=2(2)因為正實數(shù)x,y滿足4x+y=xy,所以4y+1x=1,所以x+y4=x+y41x+4y=2+y4x+4xy≥2+2y4x·4xy=4,當(dāng)且僅當(dāng)y4x=4xy且4y+1x=1,即x=2,y=8時取等號.因為x+y4微點3消元法求最值例4若正數(shù)a,b滿足1a+1b=1,則1a-1+4bA.4 B.6C.9 D.16例4[思路點撥]思路一:由正數(shù)a,b滿足1a+1b=1,判斷a-1的符號,將1a+1b=1變形為a-思路二:由1a+1b=1求出a,代入1a-1思路三:由1a+1b=1求出1a-1A[解析]方法一:因為正數(shù)a,b滿足1a+1b=1,所以a>1,b>1.1a+1b=1可變形為a+bab=1,所以a+b=ab,所以ab-a-b=0,所以(a-1)(b-1)=1,所以a-1=1b-1.因為a-1>0,所以1a-1+4b-1=1a-1+4(a-1)≥21方法二:由1a+1b=1,可得a=bb-1,所以1a-1+4b-1=b-1+4b-1.由a,b均為正數(shù)且1a+1b=1,可得a>1,b>1,所以1a-1+4b-1=b-1方法三:由1a+1b=1,可得1a-1=ba,1b-1=ab,所以1a-1+4b-1=ba+4ab≥2?應(yīng)用演練1.【微點1】若log2x+log4y=1,則x2+y的最小值為 ()A.2 B.23C.4 D.221.C[解析]∵log2x+log4y=log4x2+log4y=log4(x2y)=1,∴x2y=4(x>0,y>0),則x2+y≥2x2y=4,當(dāng)且僅當(dāng)x2=y=2時等號成立,則x2+y的最小值為4.2.【微點1】已知實數(shù)a,b滿足ab>0,則aa+b-aa+2A.2-2 B.2+2C.3-22 D.3+222.C[解析]∵ab>0,∴aa+b-aa+2b=a(a+2b-a-b)(a+3.【微點2】若直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)過圓x2+y2+2x-4y+1=0的圓心,則9a+1b的最小值是 (A.16 B.10 C.12 D.3.A[解析]由題意可得圓x2+y2+2x-4y+1=0的圓心坐標(biāo)為(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1(a>0,b>0),則9a+1b=9a+1b(a+b)=10+9ba+ab≥10+29ba·ab=16,當(dāng)且僅當(dāng)9ba=a4.【微點3】已知正數(shù)x,y滿足3xy+y2-4=0,則3x+5y的最小值為 ()A.1 B.4 C.8 D.164.C[解析]因為正數(shù)x,y滿足3xy+y2-4=0,所以3x+y=4y所以3x+5y=3x+y+4y=4y+4y≥24y當(dāng)且僅當(dāng)4y=4y,即y=所以3x+5y的最小值為8,故選C.探究點三均值不等式的實際應(yīng)用例5如圖1-4-1,將寬和長分別為x,y(x<y)的兩個矩形部分重疊放在一起后形成的正十字形的面積為5.(注:正十字形指的是原來的兩個矩形的頂點都在同一個圓上,且兩矩形的長邊所在的直線互相垂直的圖形)(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.(2)當(dāng)x,y取何值時,該正十字形的外接圓的面積最小?并求出其最小值.圖1-4-1[總結(jié)反思]利用均值不等式解決實際應(yīng)用題的基本思路:(1)設(shè)變量時一般把要求的變量定義為函數(shù);(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后,再利用均值不等式求得函數(shù)的最值;(3)求最值時注意定義域的限制.例5[思路點撥](1)根據(jù)幾何圖形的面積即可得到函數(shù)的解析式,并求出函數(shù)的定義域;(2)設(shè)正十字形的外接圓的直徑為d,由圖可知d2=x2+y2=x2+x2+52x2,利用均值不等式求出解:(1)由題意可得2xy-x2=5,則y=x2∵y>x>0,∴x2+52x∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=x2+52x(2)設(shè)正十字形的外接圓的直徑為d,由圖可知d2=x2+y2=x2+x2+52x2=5x24+54當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=5+12時,正十字形的外接圓的直徑d取得最小值5+5則外接圓的半徑的最小值為10+25∴正十字形的外接圓的面積的最小值為π×10+2542=5+58變式題新能源汽車環(huán)保、節(jié)能,以電代油,減少排放,既符合我國的國情,也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.某公司投資144萬元用于新能源汽車充電樁項目,第一年該項目的維修保養(yǎng)費為24萬元,以后每年增加8萬元,該項目每年可給公司帶來100萬元的收入.假設(shè)第n年年底,該項目的純利潤為f(n)萬元.(純利潤=累計收入-累計維修保養(yǎng)費-投資成本)(1)寫出f(n)的表達(dá)式,并求該項目從第幾年開始盈利?(2)若干年后,該公司為了投資新項目,決定轉(zhuǎn)讓該項目,現(xiàn)有以下兩種處理方案:①年平均利潤最大時,以72萬元轉(zhuǎn)讓該項目;②純利潤最大時,以8萬元轉(zhuǎn)讓該項目.你認(rèn)為以上哪種方案最有利于該公司的發(fā)展?請說明理由.變式題解:(1)由題意,每年的維修保養(yǎng)費是以24為首項,8為公差的等差數(shù)列,故前n年的累計維修保養(yǎng)費為24n+n(n-1)2×8=4n2+則f(n)=100n-(4n2+20n)-144=-4n2+80n-144.令f(n)=-4n2+80n-144>0,解得2<n<18,∵n∈N*,∴該項目從第3年開始盈利.(2)假設(shè)選方案①:設(shè)年平均利潤為y萬元,則y=f(n)n=80-4n+36n≤80-4×2當(dāng)且僅當(dāng)n=36n,即n=∴共獲利6×32+72=264(萬元),此時n=6.假設(shè)選方案②:f(n)=-4n2+80n-144=-4(n-10)2+256,當(dāng)n=10時,f(n)max=256,∴共獲利256+8=264(萬元),此時n=10.綜上可知,兩種方案都獲利264萬元,但方案①只需要6年,而方案②需要10年,故選擇方案①最有利于該公司的發(fā)展.同步作業(yè)1.已知x≥1,則當(dāng)x+4x取得最小值時,x的值為 (A.1 B.2 C.3 D.41.B[解析]因為x≥1,所以x+4x≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=2時取等號.2.若正實數(shù)a,b滿足1a+12b=ab,則ab的最小值為A.2 B.22C.4 D.82.A[解析]由1a+12b=ab≥212ab,當(dāng)且僅當(dāng)1a=12b時取等號,可得ab≥3.函數(shù)f(x)=x+2x+2(x>-2)的最小值是 (A.2 B.22C.22+2 D.22-23.D[解析]依題意知f(x)=x+2x+2=x+2+2x+2-2,因為x+2>0,所以x+2+2x+2≥2(x+2)·2x+2=22,當(dāng)且僅當(dāng)x+2=2x4.已知正實數(shù)x,y滿足x+y=2,則1x+2y的最小值是 (A.32+2 B.2C.3 D.424.A[解析]因為正實數(shù)x,y滿足x+y=2,所以1x+2y=12·1x+2y(x+y)=123+yx+2xy≥32+12×2yx·2xy=32+2,當(dāng)且僅當(dāng)y2=2x2,即x=22-2,y=4-5.(多選題)已知a>0,b>0,且2a+1b=1,則 (A.b>1 B.ab≤8 C.4a2+1b2≥125.ACD[解析]對于A,∵2a=1-1b=b-1b>0,∴b>1,故A正確;對于B,2a+1b=1≥22ab,當(dāng)且僅當(dāng)2a=1b,即a=4,b=2時取等號,∴ab≥8,故B錯誤;對于C,4a2+1b2=2a+1b2-2×2a×1b≥2a+1b2-122a+1b2=122a+1b2=12,當(dāng)且僅當(dāng)2a=1b,即a=4,b=2時取等號,故C正確;對于D,a+2b=2a+1b(a+2b)=故選ACD.6.用一段長為8cm的鐵絲圍成一個矩形模型,則這個矩形模型的最大面積為.

6.4cm2[解析]設(shè)矩形模型的長和寬分別為xcm,ycm,則x>0,y>0,由題意可得2(x+y)=8,所以x+y=4,所以矩形模型的面積S=xy≤(x+y)24=47.已知x,y為正實數(shù),則4xx+3y+3A.53 B.C.32 D.7.D[解析]∵x,y為正實數(shù),∴4xx+3y+3yx=41+3yx+1+3yx-1≥241+3yx·(1+3yx)-8.若4x+4y=1,則x+y的取值范圍是 ()A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)C.(-∞,1] D.[1,+∞)8.A[解析]由均值不等式可得,若4x+4y=1,則1=4x+4y≥24x·4y=24x+y當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-12時取等號,所以4x+y≤14=4-19.已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,若a3-a2=5,則a4+8a2的最小值為 ()A.40 B.20 C.10 D.59.A[解析]∵a2>0,a3-a2=5,∴a4+8a2=(a2+5)2a2+8a2=9a2+25a2+10≥29a2·25a2+1010.已知xy=1,且0<y<22,則x2+4yA.4 B.9C.22 D.4210.A[解析]由xy=1,且0<y<22,可知x>2,所以x-2y>0,x2+4y2x-2y=(x-2y)2+4xyx-211.若兩個正實數(shù)x,y滿足1x+4y=2,且不等式x+y4<m2-m有解,則實數(shù)m的取值范圍是A.(-1,2)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)11.D[解析]若不等式x+y4<m2-m有解,則m2-m>x+y4min.∵1x+4y=2,∴12x+2y=1,則x+y4=x+y412x+2y=12+24+2xy+y8x≥1+22xy·y8x=1+2×14=2,當(dāng)且僅當(dāng)2xy=y8x,即x=1,y=4時取等號,∴x+y4min=2.由m2-m>2得m2-m-12.(多選題)下列說法正確的是 ()A.x+1x(x>B.x2+2C.x2D.2-3x-4x的最大值是2-412.AB[解析]由均值不等式可知,當(dāng)x>0時,x+1x≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1x,即x=1時取等號,故A正確;x2+2x2+2=x2+2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號,故B正確;x2+5x2+4=x2+4+1x2+4,令t=x2+4,則t≥2,因為y=t+1t在[2,13.(多選題)已知a>0,