第4講 均值不等式及其應用（原卷版）

第4講均值不等式及其應用基礎知識1.均值不等式ab≤a(1)均值不等式成立的條件:.

(2)等號成立的條件:當且僅當時取等號.

2.幾個重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R).

(2)ba+ab≥(a,b同號(3)ab≤a+b22(a,b∈R)(4)a+b22≤a2+b22(a3.算術平均值與幾何平均值給定兩個正數(shù)a,b,數(shù)稱為a,b的算術平均值;數(shù)ab稱為a,b的幾何平均值.均值不等式可敘述為:

.

4.利用均值不等式求最值問題已知x>0,y>0.(1)如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值,是(簡記:積定和最小).

(2)如果和x+y是定值p,那么當且僅當x=y時,xy有最大值,是(簡記:和定積最大).

常用結論1.若x≠0,則x+1x≥2,當且僅當2.若ab≠0,則ba+ab3.若ab>0,x≠0,則ax+bx≥2ab,當且僅當x=±4.若a>0,b>0,則21a+1b≤ab≤a+分類訓練探究點一直接用均值不等式例1(1)(多選題)若正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列說法錯誤的是 ()A.ab有最小值1B.a+b有最小值2C.1a+1bD.a2+b2有最小值2(2)已知3a=4b=12,則下列不等式不成立的是 ()A.a+b>4 B.ab>4C.(a-1)2+(b-1)2>2 D.a2+b2<3[總結反思]利用均值不等式比較大小,主要有兩個思路:一是直接建立不等關系比較大小;二是觀察待比較式子的結構特征,合理選取均值不等式或其變形形式,結合不等式的性質(zhì)比較大小.變式題(多選題)下列函數(shù)中,最小值為4的是 ()A.y=x2+B.y=sinx+4sinx(0<x<πC.y=ex+4e-xD.y=x2+1探究點二變形用均值不等式求最值微點1配湊法求最值例2(1)已知實數(shù)a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,則a+2b的最小值是A.32 B.22C.3 D.2(2)已知x>54,則函數(shù)y=4x+14x[總結反思]均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,利用均值不等式求最值時,要根據(jù)式子的特征靈活變形,先配湊出積、和為常數(shù)的形式,再利用均值不等式求解.微點2常數(shù)代換法求最值例3(1)已知a,b>0,2a+b=2,則ab+1a的最小值為 (A.32 B.2+C.52 D.2(2)若正實數(shù)x,y滿足4x+y=xy,且x+y4>a2-3a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為 (A.[-1,4] B.(-1,4)C.[-4,1] D.(-4,1)[總結反思]常數(shù)代換法主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求ax+by的最值”的問題,通常先將ax+by轉(zhuǎn)化為ax+by·微點3消元法求最值例4若正數(shù)a,b滿足1a+1b=1,則1a-1+4bA.4 B.6C.9 D.16?應用演練1.【微點1】若log2x+log4y=1,則x2+y的最小值為 ()A.2 B.23C.4 D.222.【微點1】已知實數(shù)a,b滿足ab>0,則aa+b-aa+2A.2-2 B.2+2C.3-22 D.3+223.【微點2】若直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)過圓x2+y2+2x-4y+1=0的圓心,則9a+1b的最小值是 (A.16 B.10 C.12 D.4.【微點3】已知正數(shù)x,y滿足3xy+y2-4=0,則3x+5y的最小值為 ()A.1 B.4 C.8 D.16探究點三均值不等式的實際應用例5如圖1-4-1,將寬和長分別為x,y(x<y)的兩個矩形部分重疊放在一起后形成的正十字形的面積為5.(注:正十字形指的是原來的兩個矩形的頂點都在同一個圓上,且兩矩形的長邊所在的直線互相垂直的圖形)(1)求y關于x的函數(shù)解析式.(2)當x,y取何值時,該正十字形的外接圓的面積最小?并求出其最小值.圖1-4-1[總結反思]利用均值不等式解決實際應用題的基本思路:(1)設變量時一般把要求的變量定義為函數(shù);(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后,再利用均值不等式求得函數(shù)的最值;(3)求最值時注意定義域的限制.變式題新能源汽車環(huán)保、節(jié)能,以電代油,減少排放,既符合我國的國情,也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.某公司投資144萬元用于新能源汽車充電樁項目,第一年該項目的維修保養(yǎng)費為24萬元,以后每年增加8萬元,該項目每年可給公司帶來100萬元的收入.假設第n年年底,該項目的純利潤為f(n)萬元.(純利潤=累計收入-累計維修保養(yǎng)費-投資成本)(1)寫出f(n)的表達式,并求該項目從第幾年開始盈利?(2)若干年后,該公司為了投資新項目,決定轉(zhuǎn)讓該項目,現(xiàn)有以下兩種處理方案:①年平均利潤最大時,以72萬元轉(zhuǎn)讓該項目;②純利潤最大時,以8萬元轉(zhuǎn)讓該項目.你認為以上哪種方案最有利于該公司的發(fā)展?請說明理由.同步作業(yè)1.已知x≥1,則當x+4x取得最小值時,x的值為 (A.1 B.2 C.3 D.42.若正實數(shù)a,b滿足1a+12b=ab,則ab的最小值為A.2 B.22C.4 D.83.函數(shù)f(x)=x+2x+2(x>-2)的最小值是 (A.2 B.22C.22+2 D.22-24.已知正實數(shù)x,y滿足x+y=2,則1x+2y的最小值是 (A.32+2 B.2C.3 D.425.(多選題)已知a>0,b>0,且2a+1b=1,則 (A.b>1 B.ab≤8 C.4a2+1b2≥126.用一段長為8cm的鐵絲圍成一個矩形模型,則這個矩形模型的最大面積為.

7.已知x,y為正實數(shù),則4xx+3y+3A.53 B.C.32 D.8.若4x+4y=1,則x+y的取值范圍是 ()A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)C.(-∞,1] D.[1,+∞)9.已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,若a3-a2=5,則a4+8a2的最小值為 ()A.40 B.20 C.10 D.510.已知xy=1,且0<y<22,則x2+4yA.4 B.9C.22 D.4211.若兩個正實數(shù)x,y滿足1x+4y=2,且不等式x+y4<m2-m有解,則實數(shù)m的取值范圍是A.(-1,2)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)12.(多選題)下列說法正確的是 ()A.x+1x(x>B.x2+2C.x2D.2-3x-4x的最大值是2-413.(多選題)已知a>0,b>0,且a+b=1,則 ()A.a2+b2≥1B.2a-C