學(xué)考專題05 指數(shù)對(duì)數(shù)冪函數(shù)（解析版）

學(xué)考專題05指數(shù)對(duì)數(shù)冪函數(shù)考點(diǎn)歸納考點(diǎn)歸納指數(shù)的基本知識(shí)根式的基本性質(zhì)①的定義域?yàn)?的定義域?yàn)棰?，定義域?yàn)棰?，定義域?yàn)棰?，定義域?yàn)棰?，定義域?yàn)橹笖?shù)的基本性質(zhì)①零指數(shù)冪:;②負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:③正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:;④負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:指數(shù)的基本計(jì)算①同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算②同底數(shù)冪的除法運(yùn)算③冪的乘方運(yùn)算④積的乘方運(yùn)算指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式一般地，函數(shù)，叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，；時(shí),當(dāng)時(shí)，；時(shí),在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)數(shù)的定義如果，那么把叫做以為底，的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)對(duì)數(shù)的分類一般對(duì)數(shù)：底數(shù)為，，記為常用對(duì)數(shù)：底數(shù)為10，記為，即：自然對(duì)數(shù)：底數(shù)為e（e≈2.71828…），記為，即：對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則①兩個(gè)基本對(duì)數(shù)：①，②②對(duì)數(shù)恒等式：①，②。③換底公式：；推廣1：對(duì)數(shù)的倒數(shù)式推廣2：。④積的對(duì)數(shù)：；⑤商的對(duì)數(shù)：；⑥冪的對(duì)數(shù)：?，?，?，?對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及一般形式形如：的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：當(dāng)時(shí)，即過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)（5）在上為減函數(shù)真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）計(jì)算的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：故選：D2．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零列不等式求解即可.【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.3．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意列出不等式求解即可.【詳解】由題意得，，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：D4．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（

）A．（-∞，2） B．[1，2） C．[1，2] D．[1，+∞）【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的真數(shù)大于0即可求解.【詳解】由題意得，∴．故選:A．5．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零建立不等式可求解.【詳解】由題意得，解得，故函數(shù)的定義域是.故選：C.6．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列結(jié)論正確的是（

）A．若則 B．若，則C．若則 D．若，則【答案】A【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性判斷每個(gè)不等式是否正確.【詳解】由可得，因此A正確；由可得，因此B不正確；，與大小關(guān)系不確定，因此C不正確；因不知的正負(fù)，由無(wú)法得出，因此D不正確．故選：A.7．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義辨析即可【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的形式可判斷B正確，A為一次函數(shù)，C為指數(shù)函數(shù)，D為對(duì)數(shù)函數(shù)故選：B8．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)可能是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可得合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，ABCD四個(gè)選項(xiàng)中最有可能是對(duì)數(shù)函數(shù)的是A選項(xiàng).故選：A.9．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中是減函數(shù)且值域?yàn)镽的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由冪函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】解：對(duì)A：函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：函數(shù)為和上的增函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：由冪函數(shù)的性質(zhì)知為減函數(shù)且值域?yàn)镽，故選項(xiàng)D正確；故選：D.10．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小.【詳解】由已知得，，且，，所以，故選：A.11．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意，將代入到中，即可求得答案.【詳解】由題意，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，故選：D12．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算以及根式的含義，直接可求得答案.【詳解】因?yàn)?，故，故選：D13．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即得.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知為增函數(shù)，故排除BD；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)過(guò)點(diǎn)，排除C.故選：A．14．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)（a>0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（）A．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象所過(guò)定點(diǎn)的性質(zhì)求解．【詳解】令x－1＝0，則x＝1，此時(shí)，y＝a0－3＝－2，∴圖象過(guò)定點(diǎn)（1，－2）．故選：D．15．（2023·廣東·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，定義域?yàn)镽的函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函數(shù)的定義域，即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，符合題意.故選：D.16．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義求值.【詳解】，．故選：D．17．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，，，根據(jù)在上是增函數(shù)，所以，即.故選：D.18．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)，先求得，再求即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：B19．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)則（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【分析】先根據(jù)分段函數(shù)求出，再根據(jù)分段函數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選：D.20．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出，，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得解.【詳解】，，，.故選：D.21．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，，因此?故選：A.22．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知三個(gè)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，故選：D二、填空題23．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，.【答案】3【分析】代入點(diǎn)的坐標(biāo)，確定冪函數(shù)即可.【詳解】由題可知，則，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：.24．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）若，則.【答案】/【分析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，由此求得的值.【詳解】依題意，所以.故答案為：25．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)且（且）的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析定點(diǎn)【詳解】令，得，此時(shí)故過(guò)定點(diǎn)26．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)直接計(jì)算即可.【詳解】由，則，故答案為：2．27．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在冪函數(shù)的圖象上，則＝.【答案】27【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)求解，【詳解】令，得，此時(shí)，故定點(diǎn)，設(shè)，則，得，故，故答案為：2728．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則的值為【答案】－3【分析】由分段函數(shù)的定義計(jì)算，注意自變量的取值范圍．【詳解】，，∴．故答案為：．三、解答題29．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義化簡(jiǎn)可得實(shí)數(shù)的值；（2）由基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，所以，，.（2）解：，因?yàn)椋苫静坏仁娇傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.四、應(yīng)用題30．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）為落實(shí)中央“精準(zhǔn)扶貧”政策，讓市民吃上放心蔬菜，某企業(yè)于2020年在其扶貧基地投入300萬(wàn)元研發(fā)資金用于蔬菜的開發(fā)與種植，并計(jì)劃今后10年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金數(shù)比上一年增長(zhǎng).（1）以2021年為第1年，分別計(jì)算該企業(yè)第1年、第2年投入的研發(fā)資金數(shù)，并寫出第年該企業(yè)投入的研發(fā)資金數(shù)（萬(wàn)元）與的函數(shù)關(guān)系式以及函數(shù)的定義域；（2）該企業(yè)從哪年開始，每年投入的研發(fā)資金數(shù)將超過(guò)600萬(wàn)元？【答案】（1），；（2）從年開始，每年