學(xué)考專題10 不等式性質(zhì)及基本不等式（解析版）

學(xué)考專題10不等式性質(zhì)及基本不等式考點(diǎn)歸納考點(diǎn)歸納等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么性質(zhì)2如果，，那么性質(zhì)3如果，那么性質(zhì)4如果，那么性質(zhì)5如果，，那么作差法比較大小關(guān)系，，不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性性質(zhì)2傳遞性性質(zhì)3可加性性質(zhì)4可乘性性質(zhì)5同向可加性性質(zhì)6同向同正可乘性性質(zhì)7可乘方性性質(zhì)8可開方性若a＞b＞0，m＞0，則eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)，(b－m＞0)；eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)，(b－m＞0)．基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)通常表達(dá)為：（積定和最?。?yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論1基本不等式的推論2（和定積最大）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸方程最值一元二次方程求根公式及韋達(dá)定理一元二次方程求根公式的根為：韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）的兩根為，；則解一元二次不等式“三個(gè)二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系判別式一元二次方程的根有兩個(gè)不等實(shí)根，（設(shè)）有兩個(gè)相等實(shí)根無實(shí)數(shù)根二次函數(shù)的圖象的解集的解集??ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要條件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．a(chǎn)x2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要條件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．解分式不等式①②③④解單絕對(duì)值不等式或，真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、單選題1．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）不等式解集為（

）A．{x|1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x>2或x<1} D．【答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法即得.【詳解】∵，∴，∴不等式解集為．故選：D.2．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求得正確答案.【詳解】，解得或，所以不等式的解集為.故選：D3．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即不等式的解集?故選：D.4．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）不等式的解集為（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】直接解二次不等式即可.【詳解】，即，所以原式的解集為故選：D.5．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】將式子變形再因式分解，即可求出不等式的解集；【詳解】解：依題意可得，故，解得或，所以不等式的解集為或故選：B．6．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）不等式的解集是（

）A．，或 B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式解法直接求解即可.【詳解】由，可得或，所以不等式的解集為，或.故選：A7．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知不等式的解集為空集，則a的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由不等式的解集為空集，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，則滿足，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.8．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計(jì)算可得；【詳解】解：由，解得，即原不等式的解集為；故選：A9．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次不等式與二次函數(shù)圖象的關(guān)系得結(jié)論．【詳解】的圖象是開口向上的拋物線，它與軸的兩交點(diǎn)分別是，，∴不等式的解為或，故選：A．10．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若不等式的解集是，則的值為（

）A．-10 B．-14 C．10 D．14【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出a、b，即可得結(jié)果.【詳解】由題意，和是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得：且，解得：，，所以.故選：B11．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求出或，進(jìn)而求出交集.【詳解】解得：或，故或，∴.故選：A.12．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先通過解二次不等式確定集合范圍，然后根據(jù)集合交集運(yùn)算定義進(jìn)行求解即可.【詳解】，，.故選：A13．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知、，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?、，且，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是.故選：B.14．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)滿足，則的最大值為（

）A．9 B．18C．36 D．81【答案】D【分析】利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.故選：D.15．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）用12cm長的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，則這個(gè)矩形的面積是（

）A．3cm2 B．6cm2 C．9cm2 D．12cm2【答案】C【解析】由已知可得，而矩形的面積，應(yīng)用基本不等式即可求矩形的最大面積.【詳解】設(shè)矩形的長、寬分別為cm，則有，即，∵矩形的面積，∴cm2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，由和定求積的最大值，屬于簡單題.16．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)變形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為故選：C17．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某商場的某種商品的年進(jìn)貨量為10000件，分若干次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨的量相同，且每次進(jìn)貨的運(yùn)費(fèi)為100元，運(yùn)來的貨物除出售外，還需租倉庫存放，一年的租金按一次進(jìn)貨量的一半來計(jì)算，每件2元，為使一年的運(yùn)費(fèi)和租金之和最省，每次進(jìn)貨量應(yīng)為（

）A．200件 B．5000件C．2500件 D．1000件【答案】D【分析】可設(shè)每次進(jìn)x件，總運(yùn)費(fèi)與租金的和為元，可得到函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式，即可得到答案.【詳解】設(shè)每次進(jìn)貨x件，一年的運(yùn)費(fèi)和租金之和為y元.由題意得，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1000時(shí)取等號(hào)成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，關(guān)鍵在于分析實(shí)際問題得到正確的函數(shù)關(guān)系，屬于中檔題．18．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知且，則的最小值為（

）A．3+ B．4 C．2 D．6【答案】A【分析】由題意等式兩邊同除，將等式轉(zhuǎn)化為，利用展開結(jié)合基本不等式可求出最小值.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故選：A19．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知且，則的最小值為（

）A． B．4 C．6 D．12【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)榍?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.20．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)A，B，C，D選項(xiàng)作差與0比較即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，無法判斷，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，故，即，故D錯(cuò)誤．故選：C．21．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解不等式得到或，根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案.【詳解】，即，故或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A22．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）若均為正數(shù)，且，則的最小值等于（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值等于.故選：B23．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知實(shí)數(shù)，滿足，其中，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】利用基本不等式中“1的代換”即可求出最小值.【詳解】實(shí)數(shù)，滿足，其中，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴的最小值是4.所以A選項(xiàng)是正確的.故選：A二、填空題24．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若，則的最小值是.【答案】【分析】由，結(jié)合基本不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)成立.故的最小值為，故答案為：25．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知正數(shù)a，b滿足，則最小值為．【答案】16【分析】根據(jù)題意可知，利用基本不等式中“1”的妙用即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；故答案為：1626．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為.【答案】【分析】利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?、且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)；故答案為：27．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知關(guān)于x的不等式的解集中的一個(gè)元素為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式即可求解.【詳解】由題意可知:是不等式的解，所以，即，解得．故答案為：三、解答題28．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義化簡可得實(shí)數(shù)的值；（2）由基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，所以，，.（2）解：，因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.四、應(yīng)用題29．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為2萬元和8萬元，這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最??？并求出該值．【答案】5km；最小費(fèi)用為8萬元【分析】先設(shè)出，代入自變量及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，求出，從而得到兩項(xiàng)費(fèi)用之和，利用基本不等式求出最小值.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴兩項(xiàng)費(fèi)用之和為．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．即應(yīng)將這家倉庫建在距離車站處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，且最小費(fèi)用為8萬元．30．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某工廠生產(chǎn)某種零件的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一個(gè)零件要增加投入100元，已知總收入（單位：元）關(guān)于產(chǎn)量（單位：個(gè)）滿足函數(shù)：.(1)將利潤（單位：元）表示為產(chǎn)量