壓軸大題11 歸納總結(jié)梳理數(shù)列綜合問(wèn)題（原卷版）

壓軸大題11歸納總結(jié)梳理數(shù)列綜合問(wèn)題壓軸壓軸秘籍1．公式法(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式①當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；②當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).2．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)能求和的數(shù)列，再求解．3．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對(duì)數(shù)型.等4．倒序相加法把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．5．錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．萬(wàn)能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，6．并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、解答題1．（2022·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？既＃?shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．2．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為.已知，___________.從①；②；③中選出一個(gè)能確定{}的條件，補(bǔ)充到上面橫線處，并解答下面的問(wèn)題.(1)求{}的通項(xiàng)公式：(2)求數(shù)列{}的前20項(xiàng)和.3．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.4．（2023春·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和記為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)無(wú)窮數(shù)列，，…，…對(duì)任意自然數(shù)和，不等式均成立，證明：數(shù)列是等差數(shù)列．5．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知無(wú)窮數(shù)列A：，，…滿足：①，，…且；②，設(shè)為所能取到的最大值，并記數(shù)列：，，….(1)若數(shù)列A為等差數(shù)列且，求其公差d；(2)若，求的值；(3)若，，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.6．（2023秋·江蘇蘇州·高三江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，，.(1)求，的值，并證明是等比數(shù)列；(2)證明：.7．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，（i）求證；（ii）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．9．（2022·江蘇南京·南京市第五高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，若，，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明為等差數(shù)列；(3)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令為的前項(xiàng)的和，求．10．（2022·江蘇鹽城·江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．11．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在①成等比數(shù)列，且；②且這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入下面的橫線上并解答.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若_______.注.如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(2)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前n項(xiàng)和為，若存在正整數(shù)m，使得，求q的值.12．（2022春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差不為零，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，，求使得成立的所有值.13．（2022秋·江蘇鹽城·高三期中）若無(wú)窮數(shù)列{}滿足如下兩個(gè)條件，則稱{}為無(wú)界數(shù)列：①（n=1，2，3......）②對(duì)任意的正數(shù)，都存在正整數(shù)N，使得n>N，都有.(1)若，（n=1，2，3......），判斷數(shù)列{}，{}是否是無(wú)界數(shù)列；(2)若，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于一切，都有成立？若存在，求出k的范圍；若不存在說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列{}是單調(diào)遞增的無(wú)界數(shù)列，求證：存在正整數(shù)m，使得.14．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2，求k的值；(2)將的所有極值點(diǎn)按照從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，若成等差數(shù)列，求k的值．15．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過(guò)點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左?中?右三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左?中?右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門(mén)將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門(mén)將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?6．（2022·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，若無(wú)窮數(shù)列滿足以下性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，（且）．②的最大值為k．(1)若數(shù)列為公比為q的等比數(shù)列，求q的取值范圍，使得為數(shù)列．(2)若數(shù)列滿足：，使得成等差數(shù)列，①數(shù)列是否可能為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；②記數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且，判斷與的單調(diào)性，并求出時(shí)，n的值．17．（2022秋·江蘇南通·高三啟東中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，都有其中，且為常數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及(2)當(dāng)時(shí)，將數(shù)列的前項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)的順序恰為等比數(shù)列的前項(xiàng)，記的前項(xiàng)和為，若存在，使得對(duì)任意，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（2022秋·江蘇常州·高三常州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.數(shù)列滿足各項(xiàng)均不為0，，其前n項(xiàng)的乘積.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記數(shù)列的前項(xiàng)的和，求使得不等式成立的正整數(shù)m的最小值.19．（2023秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)代排球賽為5局3勝制，每局25分，決勝局15分.前4局比賽中，一隊(duì)只有贏得至少25分，并領(lǐng)先對(duì)方2分時(shí)，才勝1局.在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對(duì)方2分的一方獲勝.在一個(gè)回合中，贏的球隊(duì)獲得1分，輸?shù)那蜿?duì)不得分，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方.經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩支球隊(duì)在每一個(gè)回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為；當(dāng)乙隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為.(1)假設(shè)在第1局比賽開(kāi)始之初，甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)，求甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；(2)當(dāng)兩支球隊(duì)比拼到第5局時(shí)，兩支球隊(duì)至少要進(jìn)行15個(gè)回合，設(shè)甲隊(duì)在第個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為.假設(shè)在第5局由乙隊(duì)先開(kāi)球，求在第15個(gè)回合中甲隊(duì)開(kāi)球的概率，并判斷在此回合中甲、乙兩隊(duì)開(kāi)球的概率的大小.20．（2022秋·江蘇宿遷·高三沭陽(yáng)縣建陵高級(jí)中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式．(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求.22．（2022秋·江蘇·高三江蘇省新海高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)和，它們的圖像分別為曲線和.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：曲線和有唯一交點(diǎn)；(3)設(shè)直線與兩條曲線共有三個(gè)不同交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，求證：成等比數(shù)列.23．（2023春·江蘇南京·高三南京市第二十九中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；（3）當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù).24．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)一模）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（Ⅰ）求的值和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.25．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，滿足.（1）求證：；（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）若，公差，問(wèn)是否存在，，使得？如果存在，求出所有滿足條件的，，如果不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.26．（2023·江蘇南通·三模）設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，，是和的等比中項(xiàng)，的前項(xiàng)和為，.（1）求和的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）求.27．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；28．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：若無(wú)窮數(shù)列滿足是公比為q的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.設(shè)數(shù)列中，，.（1）若，且數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，請(qǐng)判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”