數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器

.><4.6>為了求切比雪夫濾波器在橢圓上極點的位置,我們首先要這樣確定,在大圓和小圓上以等角度等間隔排列的那些點：這些點對于虛軸呈對稱分布,并且沒有一個點落在虛軸上；但當N為奇數(shù)時要有一個點落在實軸上,而當N為偶數(shù)時,就都不會落在實軸上。切比雪夫濾波器的極點落在橢圓上,起縱坐標由相應(yīng)的大圓上點的縱坐標來表示,起橫坐標由相應(yīng)的小圓上點的橫坐標來表示。切比雪夫濾波器是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動的濾波器。在通帶波動的為"I型切比雪夫濾波器",在阻帶波動的為"II型切比雪夫濾波器"。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快,但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應(yīng)曲線之間的誤差最小,但是在通頻帶內(nèi)存在幅度波動。5.雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器5.1設(shè)計原理脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點,可以采用非線性頻率壓縮方法,將整個頻率軸上的頻率X圍壓縮到-π/T～π/T之間,再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說,第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系,消除了多值變換性,也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。圖5.1雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上,可以通過以下的正切變換實現(xiàn)：〔式5.1〕式中,T仍是采樣間隔。當Ω1由-π/T經(jīng)過0變化到π/T時,Ω由-∞經(jīng)過0變化到+∞,也即映射了整個jΩ軸。將式〔5.1〕寫成〔式5.2〕將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面,令jΩ=s,jΩ1=s1,則得：〔式5.3〕再將S1平面通過以下標準變換關(guān)系映射到Z平面：〔式5.4〕從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：〔式5.5〕〔式5.6〕式〔5.5〕與式〔5.6〕是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系,這種變換都是兩個線性函數(shù)之比,因此稱為雙線性變換。式〔5.1〕與式〔5.5〕的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點要求。首先,把z=ejω,可得：〔式5.7〕即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次,將s=σ+jΩ代入式〔5.7〕,得：〔式5.8〕因此：〔式5.9〕由此看出,當σ<0時,|z|<1；當σ>0時,|z|>1。也就是說,S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi),S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外,S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此,穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。5.2雙線性變換的優(yōu)缺點雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比,其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個jΩ軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周,即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式〔5.5〕所示,重寫如下：〔式5.10〕上式表明,S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系,如圖5.1所示。由圖5.1看出,在零頻率附近,模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當Ω進一步增加時,ω增長得越來越慢,最后當Ω→∞時,ω終止在折疊頻率ω=π處,因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象,從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖5.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的,如式〔5.7〕與圖5.1所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系,就產(chǎn)生了新的問題。首先,一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器,不再保持原有的線性相位了；其次,這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的,即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)〔這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性〕,不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變,如圖5.2所示。圖5.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器,雙線性變換后,仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器,但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變,這種頻率的畸變,可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變,然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計6.1設(shè)計流程圖數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計流程圖如下：開始開始確定確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標把把數(shù)字濾波器頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征ChebyshevIChebyshevII型濾波器參數(shù)計算〔模擬域〕創(chuàng)建Chebyshev濾波器原型創(chuàng)建Chebyshev濾波器原型表達式從零極點增益形式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式表達式從零極點增益形式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式實現(xiàn)低通到高通濾波器類型的轉(zhuǎn)換實現(xiàn)低通到高通濾波器類型的轉(zhuǎn)換采用雙線性變換法,從模擬高通到數(shù)字高通采用雙線性變換法,從模擬高通到數(shù)字高通繪出頻率響應(yīng)繪出頻率響應(yīng)與幅頻曲線繪出輸入信號與繪出輸入信號與輸出信號波形繪出輸入信號繪出輸入信號與輸出信號頻譜圖結(jié)束結(jié)束圖6.1數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計流程圖6.2程序設(shè)計與運行結(jié)果6.2.1設(shè)計過程數(shù)字濾波器的各項指標：fp=3000;fr=1500;fs=15000;rp=1;rs=50;把數(shù)字濾波器的頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征：WP=fp*2*pi;WR=fr*2*pi;ChebyshevII型濾波器參數(shù)計算〔模擬域〕：[N,wn]=cheb1ord<WP,WR,rp,rs,'s'>;創(chuàng)建Chebyshev濾波器原型：[Z,P,K]=cheb1ap<N,rp>;表達式從零極點增益形式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式：[A,B,C,D]=zp2ss<Z,P,K>;實現(xiàn)低通到高通濾波器類型的轉(zhuǎn)換：[AA,BB,CC,DD]=lp2hp<A,B,C,D,wn>;采用雙線性變換法,從模擬高通到數(shù)字高通：[a,b,c,d]=bilinear<AA,BB,CC,DD,fs>;表達式從狀態(tài)方程形形式轉(zhuǎn)換成傳輸函數(shù)形式：[P,Q]=ss2tf<a,b,c,d>;繪出頻率響應(yīng)與幅頻曲線：figure<1>;subplot<211>;freqz<P,Q>;[H,W]=freqz<P,Q>;axis<[0,1,-100,20]>;subplot<212>;plot<W*fs/<2*pi>,abs<H>>;gridon;xlabel<'頻率/Hz'>;ylabel<'幅值'>;繪出輸入信號與輸出信號波形：n=0:399;t=n/fs;x=sin<2*pi*1500*t>+2*sin<2*pi*3000*t>+3*sin<2*pi*4000*t>;figure<2>;subplot<211>;plot<t,x>;axis<[0,0.005,-6,6]>;title<'輸入信號'>;gridon;y=filter<P,Q,x>;ya=y*sinc<fs*<ones<length<n>,1>*t-<n/fs>'*ones<1,length<t>>>>;subplot<212>;plot<t,ya>;axis<[0,0.005,-6,6]>;title<'輸出波形'>;gridon;繪出輸入信號與輸出信號頻譜圖：X=fft<x,512>;fx=15000*<0:511>/512;figure<3>;subplot<211>;plot<fx,X>;title<'輸入信號頻譜圖'>;gridon;YA=fft<ya,512>;fy=15000*<0:511>/512;subplot<212>;plot<fy,YA>;title<'輸出信號頻譜圖'>;gridon;6.2.2運行結(jié)果1.頻率響應(yīng)與幅頻曲線。圖6.2頻率響應(yīng)與幅頻曲線2.輸入信號與輸出信號波形。圖6.3輸入信號與輸出信號波形3.輸入信號與輸出信號頻譜圖。圖6.4輸入信號與輸出信號頻譜圖7小結(jié)這次課設(shè)下來,對設(shè)計帶通數(shù)字濾波器的整個過程有了很好的掌握,懂得了設(shè)計濾波器的基本方法,對雙線性變換法,切比雪夫濾波器有了一定了解,同時呢也熟悉了MATLAB的環(huán)境,鞏固了相關(guān)知識。最大的收獲是初步了解了數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計方法,加深了對濾波器的認識,一切從零開始,雖然沒有以絕對完美結(jié)束,但在這么短的時間內(nèi)能夠設(shè)計成功已經(jīng)出乎意料之外了,總之,收獲還是很大的。在課程設(shè)計的過程中,我學(xué)到了很多東西,比如設(shè)計濾波器的一些基本函數(shù)的用法,各種模擬濾波器的特性,設(shè)計濾波器的一些基本方法。但更為重要的是,我對于解決一個問題的思路更加清晰,找到了屬于自己的方法。當然,在設(shè)計的過程中,不可能避免的遇到了很多問題,如剛開始思路比較混亂,沒有明確的方向。主要是如何將理論計算的模型轉(zhuǎn)換為仿真模型。因為在理論上,將低通轉(zhuǎn)換成高通,一般是變換將高通頻率特征轉(zhuǎn)換成低通原型頻率特征；而在軟件設(shè)計中,是對其傳遞函數(shù)進行修改,即變換其z域的表達式,設(shè)計初期一直不知道如何將其聯(lián)系起來。后來發(fā)現(xiàn),其實變換傳遞函數(shù),也就是變換頻率特征,是將變換后的頻率代入原低通模型,而后得到高通模型的。通過這次課程設(shè)計,最重要的不是學(xué)到了多少東西,而是學(xué)會了在面對問題時,如何通過各種資源,各種途徑去尋找解決問題的方法,這將會使自己受益終生。8參考文獻[1]《數(shù)字信號處理與其MATLAB實現(xiàn)》,VinayK.Ingle主編,電子工業(yè),1998年出版。[2]《Dig