廣州市重點中學九年級上學期期末考試數(shù)學試卷及答案解析（共六套）

廣州市重點中學九年級上學期期末考試數(shù)學試卷（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．若二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可變形為（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=153．隨著人們生活水平的提高，我國擁有汽車的居民家庭也越來越多，下列汽車標志中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．如圖，經(jīng)過原點O的⊙P與x、y軸分別交于A、B兩點，點C是劣弧OB上一點，則∠ACB=（）A．80° B．90° C．100° D．無法確定5．在二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的圖象中，若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞6．有x支球隊參加籃球比賽，共比賽了21場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+7．三張外觀相同的卡片分別標有數(shù)字1、2、3，從中隨機一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率是（）A． B． C． D．8．如果將拋物線y=x2+2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那么所得新拋物線的表達式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+1）2 C．y=x2+1 D．y=x2+9．如圖，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，則∠BAB'=（）A．30° B．35° C．40° D．50°10．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的頂點C是弧AB的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，若正方形CDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．點P（2，﹣3）關于原點的對稱點P′的坐標為．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是．13．拋物線y=x2+2x+1的頂點坐標是．14．若⊙O是等邊△ABC的外接圓，⊙O的半徑為2，則等邊△ABC的邊長為．15．用一根長為16cm的鐵絲圍成一個矩形，則圍成矩形面積的最大值是cm2．16．已知正方形ABCD中，點E在邊DC上，DE=2，EC=1（如圖所示）把線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點E落在直線BC上的點F處，則F、C兩點的距離為．三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題6分，共18分）17．設二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（﹣2，2），且過點（1，1），求這個函數(shù)的關系式．18．已知x=﹣1是關于x的方程x2+2ax+a2=0的一個根，求a的值．19．在數(shù)學活動課中，同學們準備了一些等腰直角三角形紙片，從每張紙片中剪出一個扇形制作圓錐玩具模型．如圖，已知△ABC是腰長為4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC紙片中，以C為圓心，剪出一個面積最大的扇形（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）請求出所制作圓錐底面的半徑長．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）20．小明、小林是三河中學九年級的同班同學，在四月份舉行的自主招生考試中，他倆都被同一所高中提前錄取，并將被編入A、B、C三個班，他倆希望能再次成為同班同學．（1）請你用畫樹狀圖法或列舉法，列出所有可能的結(jié)果；（2）求兩人再次成為同班同學的概率．21．已知關于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求m的值及方程的另一根．22．在某市組織的大型商業(yè)演出活動中，對團體購買門票實行優(yōu)惠，決定在原定票價基礎上每張降價80元，這樣按原定票價需花費6000元購買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費了4800元．（1）求每張門票的原定票價；（2）根據(jù)實際情況，活動組織單位決定對于個人購票也采取優(yōu)惠政策，原定票價經(jīng)過連續(xù)二次降價后降為324元，求平均每次降價的百分率．五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）23．如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D．（1）求證：BE=CF；（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．24．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）求證：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O的半徑長．25．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為Q（2，﹣1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D．（1）求該拋物線的函數(shù)關系式；（2）設P（x，y），PD的長度為l，求l與x的函數(shù)關系式，并求l的最大值；（3）當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．若二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4） D．（2，4）【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】先確定出二次函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答．【解答】解：∵二次函數(shù)y=ax2的對稱軸為y軸，∴若圖象經(jīng)過點P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點（2，4）．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數(shù)圖象的對稱性，確定出函數(shù)圖象的對稱軸為y軸是解題的關鍵．2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可變形為（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2【考點】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先移項，再兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．3．隨著人們生活水平的提高，我國擁有汽車的居民家庭也越來越多，下列汽車標志中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，結(jié)合選項所給圖形進行判斷即可．【解答】解：A、是中心對稱圖形，故本選項正確；B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；故選A．【點評】本題考查了中心對稱圖形的知識，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．4．如圖，經(jīng)過原點O的⊙P與x、y軸分別交于A、B兩點，點C是劣弧OB上一點，則∠ACB=（）A．80° B．90° C．100° D．無法確定【考點】圓周角定理；坐標與圖形性質(zhì)．【分析】根據(jù)圓周角定理即可得．【解答】解：∵∠ACB與∠AOB所對的弧是同一段弧，且∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°，故選：B．【點評】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．5．在二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的圖象中，若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】拋物線y=x2﹣2x+3中的對稱軸是直線x=1，開口向上，x＞1時，y隨x的增大而增大．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函數(shù)圖象開口向上，又∵對稱軸是直線x=﹣=1，∴當x＞1時，函數(shù)圖象在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大．故選D．【點評】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的性質(zhì)：當a＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線x=﹣，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大．6．有x支球隊參加籃球比賽，共比賽了21場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【分析】設這次有x隊參加比賽，由于賽制為單循環(huán)形式三張外觀相同的卡片分別標有數(shù)字1、2、3，從中隨機一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率是（）A． B． C． D．【考點】列表法與樹狀圖法．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，而兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3有2種情況，∴兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3概率==．故選A．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．解題的關鍵是要注意是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．如果將拋物線y=x2+2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那么所得新拋物線的表達式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+1）2 C．y=x2+1 D．y=x2+【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】先求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式拋物線解析式寫出即可．【解答】解：拋物線y=x2+1的頂點坐標為（0，2），向左平移1個單位，向下平移2個單位后的拋物線的頂點坐標為（﹣1，0），所以，平移后的拋物線的解析式為y=（x+1）2．故選B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用根據(jù)規(guī)律利用點的變化確定函數(shù)解析式9．如圖，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，則∠BAB'=（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】由平行線的性質(zhì)可求得∠C′CA的度數(shù)，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC=AC′，然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠AC′C的度數(shù)，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠CAC′的度數(shù)，從而得到∠BAB′的度數(shù)．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠C′CA=∠CAB=65°．∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=65°．∴∠CAC′=180°﹣65°﹣65°=50°．∴∠BAB′=50°．故選D．【點評】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到∠C′CA=65°以及AC=AC′是解題的關鍵．10．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的頂點C是弧AB的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，若正方形CDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4【考點】扇形面積的計算；正方形的性質(zhì)．【分析】連結(jié)OC，根據(jù)勾股定理可求OC的長，根據(jù)題意可得出陰影部分的面積=扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積，依此列式計算即可求解．【解答】解：連接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的頂點C是的中點，∴∠COD=45°，∴OC=CD=2，∴陰影部分的面積=扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積=×π×（2）2﹣×22=π﹣2．故選：A．【點評】考查了正方形的性質(zhì)和扇形面積的計算，解題的關鍵是得到扇形半徑的長度．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．點P（2，﹣3）關于原點的對稱點P′的坐標為（﹣2，3）．【考點】關于原點對稱的點的坐標．【專題】常規(guī)題型．【分析】由關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，即可求出答案．【解答】解：因為關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，所以：點（2，﹣3）關于原點的對稱點的坐標為（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．【點評】考查了關于原點對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是x1=﹣4，x2=4．【考點】解一元二次方程﹣直接開平方法．【專題】計算題．【分析】方程變形后，開方即可求出解．【解答】解：方程變形得：x2=16，開方得：x=±4，解得：x1=﹣4，x2=4．故答案為：x1=﹣4，x2=4【點評】此題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握平方根的定義是解本題的關鍵．13．拋物線y=x2+2x+1的頂點坐標是（﹣1，0）．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】把a、b、c的值直接代入頂點的公式中計算即可．【解答】解：∵a=1，b=2，c=1，∴﹣=﹣=﹣1，==0，故答案是（﹣1，0）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握頂點的計算公式．14．若⊙O是等邊△ABC的外接圓，⊙O的半徑為2，則等邊△ABC的邊長為．【考點】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】首先連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于D，由⊙O是等邊△ABC的外接圓，即可求得∠OBC的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得OD的長，又由垂徑定理即可求得等邊△ABC的邊長．【解答】解：連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于D，∴BC=2BD，∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，∴∠BOC=×360°=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB===30°，∵⊙O的半徑為2，∴OB=2，∴BD=OB?cos∠OBD=2×cos30°=2×=，∴BC=2BD=2．∴等邊△ABC的邊長為2．故答案為：2．【點評】本題考查了垂徑定理，圓的內(nèi)接等邊三角形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識．此題難度不大，解題的關鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用與輔助線的作法．15．用一根長為16cm的鐵絲圍成一個矩形，則圍成矩形面積的最大值是16cm2【考點】二次函數(shù)的應用．【分析】先根據(jù)題意列出函數(shù)關系式，再求其最值即可．【解答】解：設矩形的一邊長為xcm，所以另一邊長為（8﹣x）cm，其面積為s=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴周長為16cm的矩形的最大面積為16cm2．故答案為：16．【點評】此題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用及求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法：第一種可由圖象直接得出；第二種是配方法；第三種是公式法．常用的是后兩種方法，當二次系數(shù)a的絕對值是較小的整數(shù)時，用配方法較好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比較簡單．16．已知正方形ABCD中，點E在邊DC上，DE=2，EC=1（如圖所示）把線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點E落在直線BC上的點F處，則F、C兩點的距離為1或5．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】題目里只說“旋轉(zhuǎn)”，并沒有說順時針還是逆時針，而且說的是“直線BC上的點”，所以有兩種情況，即一個是逆時針旋轉(zhuǎn)，一個順時針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．【解答】解：旋轉(zhuǎn)得到F1點，∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C旋轉(zhuǎn)得到F2點，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B=DE=2，F(xiàn)2C=F2B+【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題6分，共18分）17．設二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（﹣2，2），且過點（1，1），求這個函數(shù)的關系式．【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．【專題】計算題．【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則可設頂點式y(tǒng)=a（x+2）2+2，然后把點（1，1）代入求出a的值即可．【解答】解：設這個函數(shù)的關系式為y=a（x+2）2+2，把點（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，解得a=﹣，所以這個函數(shù)的關系式為y=﹣（x+2）2+2．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．18．已知x=﹣1是關于x的方程x2+2ax+a2=0的一個根，求a的值．【考點】一元二次方程的解．【專題】計算題．【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到關于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值為1．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．19．在數(shù)學活動課中，同學們準備了一些等腰直角三角形紙片，從每張紙片中剪出一個扇形制作圓錐玩具模型．如圖，已知△ABC是腰長為4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC紙片中，以C為圓心，剪出一個面積最大的扇形（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）請求出所制作圓錐底面的半徑長．【考點】作圖—應用與設計作圖；等腰直角三角形；扇形面積的計算；圓錐的計算．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2根據(jù)勾股定理得到AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CD⊥AB，根據(jù)弧長的公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示：扇形CEF為所求作的圖形；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4，∴AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，∴CD=，設圓錐底面的半徑長為r，依題意得：2πr=，∴r=，答：所制作圓錐底面的半徑長為．【點評】本題考查了作圖﹣應用與設計作圖，等腰直角三角形的性質(zhì)，弧長的計算，正確的作出圖形是解題的關鍵．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）20．小明、小林是三河中學九年級的同班同學，在四月份舉行的自主招生考試中，他倆都被同一所高中提前錄取，并將被編入A、B、C三個班，他倆希望能再次成為同班同學．（1）請你用畫樹狀圖法或列舉法，列出所有可能的結(jié)果；（2）求兩人再次成為同班同學的概率．【考點】列表法與樹狀圖法．【分析】（1）畫樹狀圖法或列舉法，即可得到所有可能的結(jié)果；（2）由（1）可知兩人再次成為同班同學的概率．【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：由樹形圖可知所以可能的結(jié)果為AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；（2）由（1）可知兩人再次成為同班同學的概率==．【點評】本題涉及列表法和樹狀圖法以及相關概率知識，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．已知關于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求m的值及方程的另一根．【考點】根與系數(shù)的關系；根的判別式．【分析】（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出實數(shù)m的取值范圍；（2）設方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關系即可得出關于m、x1的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）依題意得：△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（m﹣2）=12﹣4m＞0，解得：m＜3．∴若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，實數(shù)m的取值范圍為m＜3．（2）設方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關系得：，解得：，∴m的值為﹣1，該方程的另一根為﹣3．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系、根的判別式以及解二元一次方程組，解題的關鍵是：（1）熟練掌握“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關系找出關于m、x1的二元一次方程組．22．在某市組織的大型商業(yè)演出活動中，對團體購買門票實行優(yōu)惠，決定在原定票價基礎上每張降價80元，這樣按原定票價需花費6000元購買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費了4800元．（1）求每張門票的原定票價；（2）根據(jù)實際情況，活動組織單位決定對于個人購票也采取優(yōu)惠政策，原定票價經(jīng)過連續(xù)二次降價后降為324元，求平均每次降價的百分率．【考點】一元二次方程的應用；分式方程的應用．【分析】（1）設每張門票的原定票價為x元，則現(xiàn)在每張門票的票價為（x﹣80）元，根據(jù)“按原定票價需花費6000元購買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費了4800元”建立方程，解方程即可；（2）設平均每次降價的百分率為y，根據(jù)“原定票價經(jīng)過連續(xù)二次降價后降為324元”建立方程，解方程即可．【解答】解：（1）設每張門票的原定票價為x元，則現(xiàn)在每張門票的票價為（x﹣80）元，根據(jù)題意得=，解得x=400．經(jīng)檢驗，x=400是原方程的根．答：每張門票的原定票價為400元；（2）設平均每次降價的百分率為y，根據(jù)題意得400（1﹣y）2=324，解得：y1=0.1，y2=1.9（不合題意，舍去）．答：平均每次降價10%．【點評】本題考查了一元二次方程與分式方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）23．如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D．（1）求證：BE=CF；（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=CD；（2）由菱形的性質(zhì)得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AEB=∠ABE，根據(jù)平行線得性質(zhì)得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【解答】（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴BE=CF；（2）解：∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質(zhì)．24．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）求證：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O的半徑長．【考點】切線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥AD，而AD⊥DP，則肯定判斷OC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；（2）根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，則∠BCE=45°，再利用圓周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，則∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根據(jù)等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判斷△PCF是等腰三角形；（3）連結(jié)OE．由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BCE=45°，設⊙O的半徑為r，則OF=6﹣r，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵PD為⊙O的切線，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：連結(jié)OE．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，設⊙O的半徑為r，則OF=6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，∴r2+（6﹣r）2=（2）2，解得，r1=4，r2=2，當r1=4時，OF=6﹣r=2（符合題意），當r2=2時，OF=6﹣r=4（不合題意，舍去），∴⊙O的半徑r=4．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和等腰三角形的判定．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關問題．25．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為Q（2，﹣1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D．（1）求該拋物線的函數(shù)關系式；（2）設P（x，y），PD的長度為l，求l與x的函數(shù)關系式，并求l的最大值；（3）當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）設y=a（x﹣2）2﹣1，將C（0，3）代入求得a的值，從而得到拋物線的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，從而可得到點A、B的坐標，設直線AC的函數(shù)關系式為y=mx+n，將A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n的值，故此可得到AC的解析式為y=﹣x+3上，設D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依據(jù)l=Dy﹣Py列出l與x的函數(shù)關系式，依據(jù)二次根式的性質(zhì)可求得PD的最大值；（3）①當點P為直角頂點時，點P與點B重合，②當點A為直角頂點時，可證明∠DAO=∠PAO，然后可證明點D與P關于x軸對稱，設D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依據(jù)關于x軸對稱點的縱坐標互為相反數(shù)可列出關于x的方程，從而可求得x的值，故此可求得點P的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點為Q（2，﹣1），∴設y=a（x﹣2）2﹣1，將C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，解得：a=1，∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∵點A在點B的右邊，∴A（3，0），B（1，0）設直線AC的函數(shù)關系式為y=mx+n，將A（3，0），C（0，3）代入上式得，，解得：，∴y=﹣x+3．∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y軸，∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴l(xiāng)=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=∴當時，l取得最大值為．（3）分兩種情況：①當點P為直角頂點時，如圖1，點P與點B重合，由（2）可知B（1，0），∴P（1，0）．②當點A為直角頂點時，如圖2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD=45°，當∠DAP=90°時，∠OAP=45°，∴AO平分∠DAP，又∵PD∥y軸，∴PD⊥AO，∴P與D關于x軸對稱，∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，整理得x2﹣5x+6=0，∴x1=2，x2=3（舍去），當x=2時，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，∴P的坐標為P（2，﹣1）．∴滿足條件的P點坐標為P（1，0），P（2，﹣1）．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)、依據(jù)l=Dy﹣Py列出l與x的函數(shù)關系式是解答問題（2）的關鍵，證得點D與P關于x軸對稱，利用關于x軸對稱點的特點列出關于x的方程是解答問題（3）的關鍵．廣州市重點中學九年級上學期期末考試數(shù)學試卷（二）一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1．下列方程中關于x的一元二次方程的是（）A．x2+=0 B．x3+x﹣1=0 C．x2﹣2xy+y2=0 D．x2+2x﹣3=02．下列是電視臺的臺標，屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．拋物線y=2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）4．反比例函數(shù)y=經(jīng)過（）象限．A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0時，原方程應變形為（）A．（x+2）2=11 B．（x﹣2）2=11 C．（x+4）2=23 D．（x﹣4）2=236．小玲在一次班會中參與知識搶答活動，現(xiàn)有語文題6個，數(shù)學題5個，英語題9個，她從中隨機抽取1個，抽中數(shù)學題的概率是（）A． B． C． D．7．成語“水中撈月”所描述的事件是（）事件．A．必然 B．隨機 C．不可能 D．無法確定8．如圖，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)100°，得到△OA1B1，求∠A1OB的度數(shù)（）A．100° B．70° C．40° D．30°9．如圖，已知二次函數(shù)y1=x2﹣x的圖象與正比例函數(shù)y2=x的圖象交于點A（3，2），與x軸交于點B（2，0），若y1＜y2，則x的取值范圍是（）A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜310．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點C為OA的中點，CE⊥OA交于點E，以點C為圓心，OA的長為直徑作半圓交CE于點D．若OA=4，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題6小題，每小題4分，共24分）11．二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的開口方向是向．12．方程x2﹣9=0的解是．13．平面直角坐標系中，點P（1，﹣3）關于原點對稱的點的坐標是．14．已知反比例函數(shù)的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的取值范圍是．15．如圖，已知△ABC是圓內(nèi)接三角形，若∠OCB=15°，則∠A=度．16．如圖，2016年里約奧運會上，某運動員在10米跳臺跳水比賽時估測身體（看成一點）在空中的運動路線是拋物線y=﹣x2+x（圖中標出的數(shù)據(jù)為已知條件），運動員在空中運動的最大高度離水面為米．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）17．解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．18．江門市統(tǒng)計局與國家統(tǒng)計局江門調(diào)查隊聯(lián)合發(fā)布2015年江門市國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報．公報顯示，經(jīng)初步核算，2015年江門全市實現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）2420億元，而2013年生產(chǎn)總值（GDP）為2000億元，如果2014、2015年江門市GDP逐年增加，求這兩年我市GDP的年平均增長率．19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A′與點A是對應點，點B′與點B是對應點，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，求AA′的長．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題7分，共21分）20．有三張卡片（形狀、大小、質(zhì)地都相同），正面分別寫上整式x+1，x，3．將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張卡片，再從剩下的卡片中隨機抽取另一張、第一次抽取的卡片上的整式作為分子，第二次抽取的卡片上的整式作為分母．（1）請寫出抽取兩張卡片的所有等可能結(jié)果（用樹狀圖或列表法求解）；（2）試求抽取的兩張卡片結(jié)果能組成分式的概率．21．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′．（1）在正方形網(wǎng)格中，畫出△AB′C′；（2）計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積．22．已知平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB、AD的長是關于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數(shù)根．（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形；（2）求出此時菱形的邊長．五、解答題（三）（本大題3小題，每小題9分，共27分）23．如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線y=與直線y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交點，AB⊥x軸于點B且S△ABO=．（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標；（3）求△AOC的面積．24．如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為，OP=1，求BC的長．25．如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點．（1）求這個拋物線的解析式；（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1．下列方程中關于x的一元二次方程的是（）A．x2+=0 B．x3+x﹣1=0 C．x2﹣2xy+y2=0 D．x2+2x﹣3=0【考點】A1：一元二次方程的定義．【分析】根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．【解答】解：A、x2+=0，不是一元二次方程，故此選項錯誤；B、x3+x﹣1=0，不是一元二次方程，故此選項錯誤；C、x2﹣2xy+y2=0，不是一元二次方程，故此選項錯誤；D、x2+2x﹣3=0，是一元二次方程，故此選項正確；故選：D．2．下列是電視臺的臺標，屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】R5：中心對稱圖形．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念即可求解．【解答】解：A、是中心對稱圖形，故此選項正確；B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：A．3．拋物線y=2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用拋物線頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k直接求出頂點坐標即可．【解答】解：∵拋物線y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k），∴y=2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（3，1）．故選B．4．反比例函數(shù)y=經(jīng)過（）象限．A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四【考點】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)判斷即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=中k=1＞0，∴圖象在一三象限，故選A．5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0時，原方程應變形為（）A．（x+2）2=11 B．（x﹣2）2=11 C．（x+4）2=23 D．（x﹣4）2=23【考點】A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】先把方程變形為x2﹣4x=7，然后把方程兩邊加上4后利用完全平方公式寫為（x﹣2）2=11即可．【解答】解：x2﹣4x=7，x2﹣4x+4=11，所以（x﹣2）2=11．故選B．6．小玲在一次班會中參與知識搶答活動，現(xiàn)有語文題6個，數(shù)學題5個，英語題9個，她從中隨機抽取1個，抽中數(shù)學題的概率是（）A． B． C． D．【考點】X4：概率公式．【分析】由小玲在一次班會中參與知識搶答活動，現(xiàn)有語文題6道，數(shù)學題5道，綜合題9道，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵小玲在一次班會中參與知識搶答活動，現(xiàn)有語文題6道，數(shù)學題5道，綜合題9道，∴她從中隨機抽取1道，抽中數(shù)學題的概率是：==，故選：C．7．成語“水中撈月”所描述的事件是（）事件．A．必然 B．隨機 C．不可能 D．無法確定【考點】X1：隨機事件．【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念進行解答即可．【解答】解：水中撈月是不可能事件，故選C．8．如圖，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)100°，得到△OA1B1，求∠A1OB的度數(shù)（）A．100° B．70° C．40° D．30°【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)∠A1OB=∠BOB1﹣∠AOB即可求解．【解答】解：∠BOB1=100°，∠AOB=30°，則∠A1OB=∠BOB1﹣∠AOB=100°﹣30°=70°．故選B．9．如圖，已知二次函數(shù)y1=x2﹣x的圖象與正比例函數(shù)y2=x的圖象交于點A（3，2），與x軸交于點B（2，0），若y1＜y2，則x的取值范圍是（）A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜3【考點】HC：二次函數(shù)與不等式（組）；HA：拋物線與x軸的交點．【分析】直接利用已知函數(shù)圖象得出y1在y2下方時，x的取值范圍即可．【解答】解：如圖所示：若y1＜y2，則二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的下面，此時x的取值范圍是：0＜x＜3．故選：D．10．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點C為OA的中點，CE⊥OA交于點E，以點C為圓心，OA的長為直徑作半圓交CE于點D．若OA=4，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【考點】MO：扇形面積的計算；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】連接OE，根據(jù)CE⊥OA且OA=4可知OC=2，求出cos∠EOC=，由此可得出∠COE的度數(shù)，進而得出∠BOE的度數(shù)，根據(jù)S陰影=S扇形AOB﹣S扇形ACD﹣S扇形BOE﹣S△COE即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OE，如圖所示：∵C為OA的中點，CE⊥OA且OA=4，∴OC=2，∴cos∠EOC==，CE==2，∴∠COE=60°．∵∠AOB=90°，∴∠BOE=30°，∴S陰影=S扇形AOB﹣S扇形ACD﹣S扇形BOE﹣S△COE=﹣﹣﹣×2×2=﹣2．故選：D．二、填空題（本大題6小題，每小題4分，共24分）11．二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的開口方向是向上．【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的性質(zhì)由a=1＞0即可得到拋物線的開口向上．【解答】解：∵a=1＞0，∴拋物線的開口向上．故答案為上．12．方程x2﹣9=0的解是x=±3．【考點】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】這個式子左邊是一個平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．【解答】解：x2﹣9=0即（x+3）（x﹣3）=0，所以x=3或x=﹣3．故答案為：x=±3．13．平面直角坐標系中，點P（1，﹣3）關于原點對稱的點的坐標是（﹣1，3）．【考點】R6：關于原點對稱的點的坐標．【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可直接得到答案．【解答】解：點P（1，﹣3）關于原點對稱的點的坐標是（﹣1，3），故答案為：（﹣1，3）．14．已知反比例函數(shù)的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的取值范圍是k＜1．【考點】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得1﹣k＞0，解得即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)圖象的每一條曲線上，y隨x的增大而減小，∴1﹣k＞0，解得：k＜1．故答案為：k＜1．15．如圖，已知△ABC是圓內(nèi)接三角形，若∠OCB=15°，則∠A=75度．【考點】MA：三角形的外接圓與外心．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBC=∠OCB=15°，求出∠AOB，根據(jù)圓周角定理計算即可．【解答】解：∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=15°，∴∠AOB=150°，由圓周角定理得，∠A=∠AOB=75°，故答案為：75．16．如圖，2016年里約奧運會上，某運動員在10米跳臺跳水比賽時估測身體（看成一點）在空中的運動路線是拋物線y=﹣x2+x（圖中標出的數(shù)據(jù)為已知條件），運動員在空中運動的最大高度離水面為米．【考點】HE：二次函數(shù)的應用．【分析】直接利用配方法得出二次函數(shù)的最值，進而得出運動員在空中運動的最大高度離水面的距離．【解答】解：∵y=﹣x2+x=﹣（x2﹣x）=﹣（x﹣）2+，∴y的最大值為：，∴運動員在空中運動的最大高度離水面為：10+=10（m）．故答案為：10．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）17．解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．【考點】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】移項后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移項得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3或x2=．18．江門市統(tǒng)計局與國家統(tǒng)計局江門調(diào)查隊聯(lián)合發(fā)布2015年江門市國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報．公報顯示，經(jīng)初步核算，2015年江門全市實現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）2420億元，而2013年生產(chǎn)總值（GDP）為2000億元，如果2014、2015年江門市GDP逐年增加，求這兩年我市GDP的年平均增長率．【考點】AD：一元二次方程的應用．【分析】設這兩年我市GDP的年平均增長率為x，根據(jù)2013年生產(chǎn)總值（GDP）為2000億元，2015年江門全市實現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）2420億元，列出方程，求解即可．【解答】解：設這兩年我市GDP的年平均增長率為x，依題意得：2000（1+x）2=2420，解得x1=0.1x2=﹣2.1（不合題意，舍去），答：這兩年我市GDP的年平均增長率為10%．19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A′與點A是對應點，點B′與點B是對應點，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，求AA′的長．【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；KO：含30度角的直角三角形．【分析】利用直角三角形的性質(zhì)得出AB=4，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)得出AB′=2，進而得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2∴∠CAB=30°，AB=4，∵由已知可得：AB=A′B′=4，AC=A′C，∴∠A′AC=∠A′=30°，又∵∠A′B′C=∠B=60°∴∠A′AC=∠B′CA=30°，∴AB′=B′C=2，∴AA′=2+4=6．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題7分，共21分）20．有三張卡片（形狀、大小、質(zhì)地都相同），正面分別寫上整式x+1，x，3．將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張卡片，再從剩下的卡片中隨機抽取另一張、第一次抽取的卡片上的整式作為分子，第二次抽取的卡片上的整式作為分母．（1）請寫出抽取兩張卡片的所有等可能結(jié)果（用樹狀圖或列表法求解）；（2）試求抽取的兩張卡片結(jié)果能組成分式的概率．【考點】X6：列表法與樹狀圖法；61：分式的定義．【分析】（1）列舉出不放回的2次實驗的所有情況即可；（2）看抽取的兩張卡片結(jié)果能組成分式的情況占總情況的多少即可．【解答】解：（1）樹狀圖：列表法：（2）共有6種情況，能組成的分式的有，，，4種情況，所以P分式=．21．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′．（1）在正方形網(wǎng)格中，畫出△AB′C′；（2）計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積．【考點】R8：作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；MO：扇形面積的計算．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應點旋轉(zhuǎn)后位置進而得出答案；（2）利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面積公式求出即可．【解答】解：（1）如圖所示：△AB′C′即為所求；（2）∵AB==5，∴線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積為：=π．22．已知平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB、AD的長是關于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數(shù)根．（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形；（2）求出此時菱形的邊長．【考點】LA：菱形的判定與性質(zhì)；AA：根的判別式．【分析】（1）根據(jù)題意△=0，構(gòu)建方程，解方程即可．（2）把m=1代入方程，解方程即可解決問題．【解答】解：（1）四邊形ABCD為菱形，則方程有兩個相等的實數(shù)根，∴△=b2﹣4ac=（﹣m）2﹣4（﹣）=0，即m2﹣2m+1=0，解得m=1，所以當m=1時，四邊形ABCD為菱形．（2）把m=1代入原方程得x2﹣x+=0，解得所以菱形的邊長為．五、解答題（三）（本大題3小題，每小題9分，共27分）23．如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線y=與直線y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交點，AB⊥x軸于點B且S△ABO=．（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標；（3）求△AOC的面積．【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【分析】（1）設出A坐標（x，y），表示出OB與AB，進而表示出三角形ABO面積，由已知面積確定出反比例函數(shù)k的值，進而確定出一次函數(shù)；（2）聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式，求出A與C坐標即可；（3）由一次函數(shù)解析式求出D坐標，確定出OD的長，三角形AOC面積=三角形AOD面積+三角形COD面積，求出即可．【解答】解：（1）設A點坐標為（x，y），且x＜0，y＞0，則S△ABO=?|OB|?|AB|=?（﹣x）?y=，∴xy=﹣3，又∵y=，∴k=﹣3，∴所求的兩個函數(shù)的解析式分別為y=﹣，y=﹣x+2；（2）A、C兩點坐標滿足，解得：，，∴交點A為（﹣1，3），C為（3，﹣1）；（3）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．∴直線y=﹣x+2與y軸的交點D的坐標為（0，2），則S△AOC=×2×1+×2×3=4．24．如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為，OP=1，求BC的長．【考點】MD：切線的判定．【分析】（1）由垂直定義得∠A+∠APO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根據(jù)對頂角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到BC是⊙O的切線；（2）設BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到（）2+x2=（x+1）2，然后解方程即可．【解答】（1）證明：連接OB，如圖，∵OP⊥OA，∴∠AOP=90°，∴∠A+∠APO=90°，∵CP=CB，∴∠CBP=∠CPB，而∠CPB=∠APO，∴∠APO=∠CBP，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；（2）解：設BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，∵OB2+BC2=OC2，∴（）2+x2=（x+1）2，解得x=2，即BC的長為2．25．如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點．（1）求這個拋物線的解析式；（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．【考點】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）首先求得A、B點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）本問要點是求得線段MN的表達式，這個表達式是關于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值；（3）本問要點是明確D點的可能位置有三種情形，如答圖2所示，不要遺漏．其中D1、D2在y軸上，利用線段數(shù)量關系容易求得坐標；D3點在第一象限，是直線D1N和D2M的交點，利用直線解析式求得交點坐標．【解答】解：（1）∵分別交y軸、x軸于A、B兩點，∴A、B點的坐標為：A（0，2），B（4，0），將x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2，將x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，∴拋物線解析式為：y=﹣x2+x+2；（2）如答圖1，設MN交x軸于點E，則E（t，0），BE=4﹣t．∵tan∠ABO===，∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．又N點在拋物線上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2，∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t，∴當t=2時，MN有最大值4；（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，D點的可能位置有三種情形，如答圖2所示．（i）當D在y軸上時，設D的坐標為（0，a）由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，從而D為（0，6）或D（0，﹣2），（ii）當D不在y軸上時，由圖可知D3為D1N與D2M的交點，易得D1N的方程為y=x+6，D2M的方程為y=x﹣2，由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）故所求的D點坐標為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．廣州市重點中學九年級上學期期末考試數(shù)學試卷（三）一、選擇題（本題共有12小題，每小題3分，共36分）1．2cos45°的值等于（）A． B． C． D．2．某種零件模型如圖所示，該幾何體（空心圓柱）的主視圖是（）A． B． C． D．3．二次函數(shù)y=﹣2（x﹣3）2+1的頂點坐標為（）A． C．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，AB=5，則cosB的值（）A． B． C． D．5．某校安排三輛車，組織九年級學生團員去敬老院參加學雷鋒活動，其中小王與小菲都可以從這三輛車中任選一輛搭乘，則小王與小菲同車的概率為（）A． B． C． D．6．下列性質(zhì)中正方形具有而菱形沒有的是（）A．對角線互相平分 B．對角線相等C．對角線互相垂直 D．一條對角線平分一組對角7．如圖，在?ABCD中，E是BC的中點，且∠AEC=∠DCE，則下列結(jié)論不正確的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四邊形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC8．某市商品房的均價原為18150元/m2，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后均價為15000元/m2．設平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A．18150（1﹣x）2=18150﹣15000 B．18150（1﹣x2）=15000C．18150（1﹣2x）=15000 D．18150（1﹣x）2=150009．關于二次函數(shù)y=﹣2x2+3，下列說法中正確的是（）A．它的開口方向是向上B．當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大C．它的頂點坐標是（﹣2，3）D．當x=0時，y有最小值是310．一個三角形的兩邊長為3和6，第三邊的長是方程（x﹣3）（x﹣4）=0的根，則這個三角形第三邊的長是（）A．3 B．4 C．3或4 D．3和411．如圖，菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C的坐標為（3，4）．反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為（）A．32 B．24 C．20 D．1212．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y=bx+c和反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）A． B． C． D．二、填空題（本題共有4小題，每小題3分，共12分）13．若關于x的方程x2﹣x+c=0有一根是x=3，則另一個根是．14．為了估計湖里有多少條魚，先從湖里捕撈50條魚都做上標記，然后放回湖中去，經(jīng)過一段時間，待有標記的魚完全混合于魚群后，第二次再捕撈200條魚，發(fā)現(xiàn)其中10條有標記，那么你估計湖里大約有魚．15．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，E、F、G、H分別是各邊的中點，若AC=8，BD=6，則四邊形EFGH的面積是．16．如圖，已知雙曲線（k≠0）與直線y=x交于A、C兩點，AB⊥x軸于點B，若S△ABC=4，則k=．三．解答題（本題共有7小題，共52分）17．解方程：5x2﹣6x+1=0．18．計算：．19．一個口袋中有1個黑球和若干個白球，這些球除顏色外其他都相同．已知從中任意摸取一個球，摸得黑球的概率為．（1）求口袋中白球的個數(shù)；（2）如果先隨機從口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求兩次摸出的球都是白球的概率．用列表法或畫樹狀圖法加以說明．20．光明中學九年級（1）班開展數(shù)學實踐活動，小李沿著東西方向的公路以50m/min的速度向正東方向行走，在A處測得建筑物C在北偏東60°方向上，20min后他走到B處，測得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距離．（已知≈1.732）21．（8分）如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CE∥AB交MN于E，連結(jié)AE、CD．（1）求證：AD=CE；（2）試判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由．22．天虹商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m件與每件的銷售價x元滿足一次函數(shù)關系m=kx+b，當銷售單價定為35元時，每天可銷售57件；當銷售單價定為40元時，每天可銷售42件．（1）求m與x的函數(shù)關系式；（2）請寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y元與每件的銷售價x元之間的函數(shù)關系式；（3）當每件的銷售單價定為多少元時，商場每天所獲的利潤最高？最高利潤為多少？23．如圖，在平面直角坐標系中，?ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），將?ABCD繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到?A′B′CD′，A′D′與BC相交于點E．（1）求經(jīng)過點D、A、A′的拋物線的函數(shù)關系式；（2）求?ABCD與?A′B′CD′的重疊部分（即△CED’）的面積；（3）點P是拋物線上點A、A′之間的一動點，是否存在點P使得△APA′的面積最大？若存在，求出△APA′的最大面積，及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題（本題共有12小題，每小題3分，共36分）1．2cos45°的值等于（）A． B． C． D．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】將45°角的余弦值代入計算即可．【解答】解：∵cos45°=，∴2cos45°=．故選B．【點評】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．2．某種零件模型如圖所示，該幾何體（空心圓柱）的主視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【分析】根據(jù)主視圖是從正面看得到的圖形，可得答案．【解答】解：從正面看是一個矩形被分成三部分，分割線是虛線，故選：B．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．3．二次函數(shù)y=﹣2（x﹣3）2+1的頂點坐標為（）A． C．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k，其頂點坐標是（h，k），對照求二次函數(shù)y=﹣2（x﹣3）2+1的頂點坐標．【解答】解：∵二次函數(shù)y=﹣2（x﹣3）2+1是頂點式，∴頂點坐標為（3，1）．故選：D．【點評】此題主要考查了頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），考查了學生的應用能力，是中考中考查重點注意必須熟練掌握其性質(zhì)．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，AB=5，則cosB的值（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)勾股定理計算出BC長，再根據(jù)余弦定義可得答案．【解答】解：∵AC=4，AB=5，∴BC===3，∴cosB==．故選：B．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，關鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．5．某校安排三輛車，組織九年級學生團員去敬老院參加學雷鋒活動，其中小王與小菲都可以從這三輛車中任選一輛搭乘，則小王與小菲同車的概率為（）A． B． C． D．【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】計算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】列舉出所有情況，看在同一輛車的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【解答】解：設3輛車分別為A，B，C，共有9種情況，在同一輛車的情況數(shù)有3種，所以坐同一輛車的概率為，故選A．【點評】考查概率的求法；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．得到在同一輛車的情況數(shù)是解決本題的關鍵．6．下列性質(zhì)中正方形具有而菱形沒有的是（）A．對角線互相平分 B．對角線相等C．對角線互相垂直 D．一條對角線平分一組對角【考點】正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【分析】菱形的對角線垂直且互相平分，正方形的對角線垂直相等且互相平分．【解答】解：因為菱形的對角線垂直且互相平分，正方形的對角線垂直相等且互相平分．所以對角線相等是正方形具有而菱形不具有的．故選B．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，要熟記菱形和正方形的性質(zhì)．7．如圖，在?ABCD中，E是BC的中點，且∠AEC=∠DCE，則下列結(jié)論不正確的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四邊形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC【考點】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】本題要綜合分析，但主要依據(jù)都是平行四邊形的性質(zhì)．【解答】解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴===故S△AFD=4S△EFB；B、由A中的相似比可知，BF=DF，正確．C、由∠AEC=∠DCE可知正確．D、利用等腰三角形和平行的性質(zhì)即可證明．故選：A．【點評】解決本題的關鍵是利用相似求得各對應線段的比例關系．8．某市商品房的均價原為18150元/m2，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后均價為15000元/m2．設平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A．18150（1﹣x）2=18150﹣15000 B．18150（1﹣x2）=15000C．18150（1﹣2x）=15000 D．18150（1﹣x）2=15000【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】增長率問題．【分析】此題利用基本數(shù)量關系：商品原價×（1﹣平均每次降價的百分率）=現(xiàn)在的價格，列方程即可．【解答】解：由題意可列方程是：18150（1﹣x2）=15000．故選B．【點評】此題考查一元二次方程的應用最基本數(shù)量關系：商品原價×（1﹣平均每次降價的百分率）=現(xiàn)在的價格．9．關于二次函數(shù)y=﹣2x2+3，下列說法中正確的是（）A．它的開口方向是向上B．當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大C．它的頂點坐標是（﹣2，3）D．當x=0時，y有最小值是3【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】探究型．【分析】分別根據(jù)拋物線的圖象與系數(shù)的關系、拋物線的頂點坐標公式及拋物線的增減性對各選項進行逐一分析．【解答】解：A、∵二次函數(shù)y=﹣2x2+3中，x=﹣2＜0，∴此拋物線開口向下，故本選項錯誤；B、∵拋物線的對稱軸x=﹣=0，∴當x＞﹣1時函數(shù)圖象在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，故本選項正確；C、拋物線的頂點坐標為（0，3），故本選項錯誤；D、∵拋物線開口向下，∴此函數(shù)有最大值，故本選項錯誤．故選B．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，即二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x=﹣，當a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大．10．一個三角形的兩邊長為3和6，第三邊的長是方程（x﹣3）（x﹣4）=0的根，則這個三角形第三邊的長是（）A．3 B．4 C．3或4 D．3和4【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系．【分析】先解方程，求出x的值，再根據(jù)三角形三邊關系舍去不合題意的解．【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x1=3，x2=4，當x=3時，3+3=6（不合題意，舍去），∴x=4，即這個三角形第三邊的長是4．故選：B．【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三邊關系，此題比較簡單，易于掌握．11．如圖，菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C的坐標為（3，4）．反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為（）A．32 B．24 C．20 D．12【考點】菱形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出AO=CO=5，即可得出B點坐標，進而求出k的值．【解答】解：∵菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C的坐標為（3，4），∴CO==5，∴AO=BC=5，∴B（8，4），∴k=xy=4×8=32．故選；A．【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理和反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)，得出B點坐標是解題關鍵．12．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y=bx+c和反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）A． B． C． D．【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象開口方向與對稱軸判斷出a、b的正負情況，再根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點判斷出c=0，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關系判斷出兩圖象的大致情況即可得解．【解答】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下，∴a＜0，∵對稱軸x=﹣＜0，∴b＜0，∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標原點，∴c=0，∴一次函數(shù)y=bx+c過第二四象限且經(jīng)過原點，反比例函數(shù)y=位于第二四象限，縱觀各選項，只有C選項符合．故選C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷出a、b、c的情況是解題的關鍵，也是本題的難點．二、填空題（本題共有4小題，每小題3分，共12分）13．若關于x的方程x2﹣x+c=0有一根是x=3，則另一個根是﹣2．【考點】根與系數(shù)的關系．【專題】計算題．【分析】設方程的另一個根是t，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到3+t=1，然后解一次方程求t即可．【解答】解：設方程的另一個根是t，根據(jù)題意得3+t=1，解得t=﹣2，即方程另一個根是﹣2．故答案為﹣2．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=﹣，x1x2=．14．為了估計湖里有多少條魚，先從湖里捕撈50條魚都做上標記，然后放回湖中去，經(jīng)過一段時間，待有標記的魚完全混合于魚群后，第二次再捕撈200條魚，發(fā)現(xiàn)其中10條有標記，那么你估計湖里大約有魚1000條．【考點】用樣本估計總體．【分析】在樣本中“捕撈200條魚，發(fā)現(xiàn)其中10條有標記”，即可求得有標記的所占比例，而這一比例也適用于整體，據(jù)此即可解答．【解答】解：設湖中有x條魚，則200：10=x：50，解得x=1000．故答案為：1000條．【點評】本題考查的是通過樣本去估計總體，只需將樣本“成比例地放大”為總體即可．15．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，E、F、G、H分別是各邊的中點，若AC=8，BD=6，則四邊形EFGH的面積是12．【考點】矩形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】計算題．【分析】根據(jù)E、F、G、H分別是各邊的中點，利用三角形中位線定理求出EH和EF，判定四邊形EFGH是矩形，然后即可四邊形EFGH的面積．【解答】解：∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，∴EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且=BD，∴EH∥FG，EH=FG，同理EF∥HG，EF=HG，又∵AC⊥BD，∴四邊形EFGH是矩形，∴四邊形EFGH=EF×EH=AC×BD=×8××6=12．【點評】此題主要考查學生對三角形中位線定理和矩形的判定與性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題難度不大，屬于中檔題．16．如圖，已知雙曲線（k≠0）與直線y=x交于A、C兩點，AB⊥x軸于點B，若