江蘇省無(wú)錫市宜興市周鐵區(qū)2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

江蘇省無(wú)錫市宜興市周鐵區(qū)2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列語(yǔ)句中正確的是（）A．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等D．經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸2．作⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF，甲、乙兩人的作法分別是：甲：第一步：在⊙O上任取一點(diǎn)A，從點(diǎn)A開(kāi)始，以⊙O的半徑為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)B，C，D，E，F(xiàn).第二步：依次連接這六個(gè)點(diǎn).乙：第一步：任作一直徑AD．第二步：分別作OA，OD的中垂線與⊙O相交，交點(diǎn)從點(diǎn)A開(kāi)始，依次為點(diǎn)B，C，E，F(xiàn).第三步：依次連接這六個(gè)點(diǎn).對(duì)于甲、乙兩人的作法，可判斷()A．甲正確，乙錯(cuò)誤 B．甲、乙均錯(cuò)誤C．甲錯(cuò)誤，乙正確 D．甲、乙均正確3．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

(-1，2)，則該圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)()A．(1，2) B．(-1，-2) C．(-2，1) D．(2，-1)4．若兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：4，則它們的周長(zhǎng)之比為（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：15．下列實(shí)數(shù)中，介于與之間的是()A． B． C． D．6．如圖，分別與相切于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．7．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．若點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，∠ACB=20°，則∠ADC的度數(shù)是A．55° B．60° C．65° D．70°8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3)，下列說(shuō)法正確的是()A．y隨x的增大而增大 B．函數(shù)的圖象只在第一象限C．當(dāng)x<0時(shí)，必y<0 D．點(diǎn)(-2,-3)不在此函數(shù)的圖象上9．下列函數(shù)中，y關(guān)于x的二次函數(shù)是()A．y＝ax2+bx+c B．y＝x(x﹣1)C．y= D．y＝(x﹣1)2﹣x210．已知反比例函數(shù)y=的圖象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，y1＜y2，則m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞二、填空題(每小題3分,共24分)11．用紙板制作了一個(gè)圓錐模型，它的底面半徑為1，高為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_(kāi)________．12．某種商品每件進(jìn)價(jià)為10元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元（10≤x≤20且x為整數(shù)）出售，可賣(mài)出（20﹣x）件，若使利潤(rùn)最大，則每件商品的售價(jià)應(yīng)為_(kāi)____元．13．已知方程x2﹣3x﹣5=0的兩根為x1，x2，則x12+x22=_________．14．用半徑為6cm，圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓半徑為_(kāi)______cm．15．已知扇形的弧長(zhǎng)為4π，圓心角為120°，則它的半徑為_(kāi)____．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)．若AB=8，則EF=_____．17．在Rt△ABC中，，，，則的值等于__．18．在中，，，，則____________三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)與．求a，b的值；點(diǎn)C是該二次函數(shù)圖象上A，B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，寫(xiě)出四邊形OACB的面積S關(guān)于點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式，并求S的最大值．20．（6分）（1016內(nèi)蒙古包頭市）一幅長(zhǎng)10cm、寬11cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：1．設(shè)豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm1．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（1）若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的，求橫、豎彩條的寬度．21．（6分）如圖所示，是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖，燈柱的高為10米，燈柱與燈桿的夾角為.路燈采用錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域的長(zhǎng)為13.3米，從，兩處測(cè)得路燈的仰角分別為和，且.求燈桿的長(zhǎng)度.22．（8分）如圖，在中，是邊上的高，且．

（1）求的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)．23．（8分）如圖，為固定一棵珍貴的古樹(shù)，在樹(shù)干處向地面引鋼管，與地面夾角為，向高的建筑物引鋼管，與水平面夾角為，建筑物離古樹(shù)的距離為，求鋼管的長(zhǎng)．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：)24．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿AB方向，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；若兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0），△BPQ的面積為S（cm2）．（1）t＝2秒時(shí)，則點(diǎn)P到AB的距離是cm，S＝cm2；（2）t為何值時(shí)，PQ⊥AB；（3）t為何值時(shí)，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；（4）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．25．（10分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC邊上一點(diǎn)，且DA＝DB，O是AB的中點(diǎn)，CE是△BCD的中線．(1)如圖a，連接OC，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關(guān)系：；(2)點(diǎn)M是射線EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線ON，使∠MON＝∠ADB，ON與射線CA交于點(diǎn)N．①如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，當(dāng)∠AON＝15°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段ME的長(zhǎng)度(用含m的代數(shù)式表示)．26．（10分）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D在圓上，B、C兩點(diǎn)在圓內(nèi)，請(qǐng)僅用沒(méi)有刻度的直尺作圖．（1）如圖1，已知圓心O，請(qǐng)作出直線l⊥AD；（2）如圖2，未知圓心O，請(qǐng)作出直線l⊥AD．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解析】分析：根據(jù)垂徑定理及逆定理以及圓的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行判定分析即可得出答案．詳解：A、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；B、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦；C、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；D、經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸；故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查的是圓的一些基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．理解圓的性質(zhì)是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．2、D【分析】根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，正六邊形的定義解答即可.【詳解】（1）如圖1，由作法知，△AOB,△BOC,△COD,△DOE,△EOF,△AOF都是等邊三角形，∴∠ABO=∠CBO=60°,∴∠ABC=120°,同理可證：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,∵AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴六邊形ABCDEF是正六邊形，故甲正確；（2）如圖2，連接OB，OF，由作法知，OF=AF，AB=OB，∵OA=OF=OB，∴△AOF，△AOB是等邊三角形，∴∠OAF=∠OAB=60°,AB=AF,∴∠BAF=120°,同理可證，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴六邊形ABCDEF是正六邊形，故乙正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的知識(shí)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，以及正六邊形的定義，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．3、A【分析】先確定出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，

∴若圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，2），

則該圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，確定出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為y軸是解題的關(guān)鍵．4、A【解析】∵兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：4，

∴它們的相似比為1：1，(相似三角形的面積比等于相似比的平方)

∴它們的周長(zhǎng)之比為1：1．

故選A．【點(diǎn)睛】相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比．5、A【解析】估算無(wú)理數(shù)的大小問(wèn)題可解．【詳解】解：由已知0.67,1.5,∵因?yàn)?,,>3∴介于與之間故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)大小的估算，解題關(guān)鍵是對(duì)無(wú)理數(shù)大小進(jìn)行估算．6、A【分析】連接OA，OB，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠OAP=90°，∠OBP=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠AOB，最后根據(jù)圓周角定理解答．【詳解】解：連接OA，OB，

∵PA，PB分別與⊙O相切于A，B點(diǎn)，

∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，

∴∠AOB=360°-90°-90°-66°=114°，

由圓周角定理得，∠C=∠AOB=57°，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．7、C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．【詳解】∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，即45°+70°+∠ADC=180°，解得：∠ADC=65°，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答．8、C【解析】∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），∴k=2×3=6＞0，∴圖象在第一、三象限．∴只有C正確．故選C．9、B【分析】判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)）后，能寫(xiě)成y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是.【詳解】A.當(dāng)a=0時(shí)，y=ax2+bx+c=bx+c，不是二次函數(shù)，故不符合題意；B.y=x（x﹣1）=x2-x，是二次函數(shù)，故符合題意；C.的自變量在分母中，不是二次函數(shù)，故不符合題意；D.y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1，不是二次函數(shù)，故不符合題意；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，據(jù)此求解即可.10、D【解析】試題解析：根據(jù)題意，在反比例函數(shù)y=的圖象上，當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，y1＜y2，故可知該函數(shù)在第二象限時(shí)，y隨x的增大而增大，即1-2m＜0，解得，m＞．故選D．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：S=π×1×=3π，

故填：3π．【點(diǎn)睛】此題考查了圓錐的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解本題的關(guān)鍵．12、1【解析】本題是營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題，基本等量關(guān)系：利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，每件利潤(rùn)＝每件售價(jià)﹣每件進(jìn)價(jià)．再根據(jù)所列二次函數(shù)求最大值．【詳解】解：設(shè)利潤(rùn)為w元，則w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣1）2+25，∵10≤x≤20，∴當(dāng)x＝1時(shí)，二次函數(shù)有最大值25，故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．13、1．【解析】試題解析：∵方程的兩根為故答案為1.點(diǎn)睛：一元二次方程的兩個(gè)根分別為14、1．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)題意得1πr=，解得r=1，即圓錐的底面圓半徑為1cm．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，掌握公式正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．15、6【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得．【詳解】解：∵l=nπr180，∵l=4π，n=120∴4π=120πr180，

解得：r=6，

【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，牢記弧長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．16、2【詳解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，∴CD=AB=4，∵AF=DF，AE=EC，∴EF=CD=2，故答案為2.17、【分析】首先由勾股定理求出另一直角邊AC的長(zhǎng)度，再利用銳角三角函數(shù)的定義求解．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，

∴，

∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義：在直角三角形中，銳角的余弦為鄰邊比斜邊．18、【分析】根據(jù)題意利用三角函數(shù)的定義可以求得AC，再利用勾股定理可求得AB．【詳解】解：由題意作圖如下：∵∠C=90°，，，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.三、解答題(共66分)19、（1）（2）最大值為1．

【分析】（1）將與代入，用待定系數(shù)法可求得；（2）過(guò)A作x軸的垂直，垂足為，連接CD、CB，過(guò)C作，軸，垂足分別為E，F(xiàn)，則，關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為，再求二次函數(shù)的最值即可.【詳解】解：將與代入，得，解得：；如圖，過(guò)A作x軸的垂直，垂足為，連接CD、CB，過(guò)C作，軸，垂足分別為E，F(xiàn)，；；，則，關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為，，當(dāng)時(shí)，四邊形OACB的面積S有最大值，最大值為1．【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)與幾何.解題關(guān)鍵點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合列出面積表達(dá)式，求二次函數(shù)的最值.20、（1）；（1）橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為1cm．【分析】（1）由橫、豎彩條的寬度比為3：1知橫彩條的寬度為xcm，根據(jù)“三條彩條面積=橫彩條面積+1條豎彩條面積﹣橫豎彩條重疊矩形的面積”，列出函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)即可；（1）根據(jù)“三條彩條所占面積是圖案面積的”，可列出關(guān)于x的一元二次方程，整理后求解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，橫彩條的寬度為xcm，∴y=10×x+1×11?x﹣1×x?x=﹣3x1+54x，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣3x1+54x；（1）根據(jù)題意，得：﹣3x1+54x=×10×11，整理，得：x1﹣18x+31=0，解得：x1=1，x1=16（舍），∴x=3，答：橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為1cm．考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式；一元二次方程的應(yīng)用．21、2.8米【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則米.設(shè).根據(jù)正切函數(shù)關(guān)系得，可進(jìn)一步求解.【詳解】解：由題意得，.過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則米.設(shè).，.在中，，.，..（米）.，.（米）.答：燈桿的長(zhǎng)度為2.8米.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形應(yīng)用.構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形性質(zhì)求解是關(guān)鍵.22、（1）；（2）【分析】(1)是邊上的高，且，就可以得出，可得∠A=∠BCD，由直角三角形的性質(zhì)可求解；

(2證明，可得，再把代入可得答案．【詳解】（1）證明：在中，∵是邊上的高，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）由（1）知是直角三角形，在中，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是關(guān)鍵．23、鋼管AB的長(zhǎng)約為6m【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，于是得到CF=DE=6，AF=CFtan30°．在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，則CF=DE=6，AF=CFtan30°=62，∴AD=AF+DF=21.5，在Rt△ABD中，AB(21.5)46(m)．答：鋼管AB的長(zhǎng)約為6m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度．24、（1），；（2）；（3）；（4）S＝﹣t2+3t，S的最大值為．【分析】（1）作PH⊥AB于H，根據(jù)勾股定理求出AB，證明△BHP∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出PH，根據(jù)三角形的面積公式求出S；（2）根據(jù)△BQP∽△BCA，得到＝，代入計(jì)算求出t即可；（3）過(guò)Q作QG⊥BC于G，證明△QBG∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案；（4）根據(jù)△QBG∽△ABC，用t表示出QG，根據(jù)三角形的面積公式列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，由勾股定理得，AB＝＝＝10cm，∴0＜t≤5，經(jīng)過(guò)ts時(shí)，BP＝t，AQ＝2t，則BQ＝10﹣2t，（1）如圖1，作PH⊥AB于H，當(dāng)t＝2時(shí)，BP＝2，BQ＝10﹣2t＝6，∵∠BHP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BHP∽△BCA，∴＝，即＝，解得：PH＝，∴S＝×6×＝，故答案為：；；（2）當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，∠BQP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BQP∽△BCA，∴＝，即＝，解得，t＝，則當(dāng)t＝時(shí)，PQ⊥AB；（3）如圖2，過(guò)Q作QG⊥BC于G，∵QB＝QP，QG⊥BC，∴BG＝GP＝t，∵∠BGQ＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△QBG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，t＝，∴當(dāng)t＝時(shí)，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；（4）由（3）可知，△QBG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，QG＝﹣t+6，∴S＝×t×（﹣t+6），＝﹣t2+3t，＝﹣（t﹣）2+，則當(dāng)t＝時(shí)，S的值最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用以及三角形的面積計(jì)算，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25、（1）∠ECO＝∠OAC；（2）①OM＝ON，理由見(jiàn)解析，②EM的值為m+m或m﹣m【分析】(1)結(jié)論：∠ECO＝∠OAC．理由直角三角形斜邊中線定理，三角形的中位線定理解決問(wèn)題即可．(2