指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算一、知識(shí)要點(diǎn)：〔1〕n次方根的定義：一般地，假設(shè)那么x叫做a的n次方根。叫做根式，n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)?！?〕方根的性質(zhì)：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：正數(shù)的n次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根為負(fù)數(shù)，記作：。②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)〔互為相反數(shù)〕，記作：。③負(fù)數(shù)沒有偶次方根。④0的任何次方根為0。〔3〕根據(jù)n次方根的定義，易得到以下常用公式：①當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)，()=a.②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=|a|=.〔4〕正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義①(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)②(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)〔5〕指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):〔6〕對(duì)數(shù)的定義：如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作?！?〕對(duì)數(shù)恒等式?！?〕對(duì)數(shù)運(yùn)算法那么：如果a>0，a1，M>0，N>0有〔9〕對(duì)數(shù)換底公式：(a>0,a1，m>0,m1,N>0)?！?0〕兩個(gè)常用的推論:①，②〔a,b>0且均不為1〕．二、例題選講1、計(jì)算〔1〕；〔2〕；〔3〕。2、化簡以下各式〔結(jié)果用有理數(shù)指數(shù)冪表示〕：〔1〕；〔2〕；〔3〕．3、求的值；求的值。4、設(shè)，為不等于1的正數(shù)，且，求證：5、計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕6、設(shè)，，且，求的最小值。7、〔1〕，求的值?！?〕正實(shí)數(shù)滿足，①求的值；②試比擬的大小。變式：設(shè)，那么的值為.8、假設(shè)，求的值。9、〔1〕，，用表示；〔2〕設(shè)，用表示；〔3〕，用表示．三、千錘百煉1．〔〕等于．2．＝．3．關(guān)于x的方程2a－7a+3=0有一個(gè)根是2,那么a=．方程其余的根為．4．，那么的值為．5．假設(shè)2〔x－2y〕＝x＋y，那么的值為．6．函數(shù)是任意實(shí)數(shù)且，證明：參考答案：例1、分析：根據(jù)方根的性質(zhì)，將函數(shù)進(jìn)行化簡,再作圖．解：它的圖象是兩條射線．變式1：解：〔1〕原式=.(2)原式=(3)原式＝(4)原式＝．例2、解：〔１〕原式＝．〔２〕原式＝．〔３〕原式＝．例3、解：先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，多重根式先內(nèi)后外；除法先化簡分子分母，然后再進(jìn)行指數(shù)的加減；注意帶括號(hào)運(yùn)算．〔１〕原式＝．〔２〕原式＝．〔３〕原式＝．例4、解：〔１〕原式＝．〔２〕原式＝．〔３〕原式＝＝＝＝當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以原式＝．〔４〕原式＝．例5、分析：從條件中解出的值，然后代入求值，這種方法可行但太繁瑣．如果注意所求式子與條件的關(guān)系，整體代入求值，那么計(jì)算簡便．解：〔１〕因?yàn)榍遥玻病常玻场常蛘撸海玻础常?、解：〔１〕．〔２〕由〔１〕可知所以．例7、分析：先將原式化簡，寫成關(guān)于的指數(shù)冪的形式，然后再分析指數(shù)的可能情形．解：．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為整數(shù)．故式子能化成關(guān)于的整數(shù)指數(shù)冪的可能情形有３種．例8、證：從而，，．例9、解：〔１〕原式＝．〔２〕原式＝＝．〔３〕原式＝＝．〔４〕原式＝．〔５〕原式＝．例10、解：〔１〕，．〔２〕．〔３〕，．例11、解：令，∵，，∴．由得，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，．例1２、解：〔１〕．〔２〕設(shè)，那么①．②，．，從而．變式：解：，．例1３、分析：在求解過程中，要注意真數(shù)要大于０的限制條件．解：，，或，由題意知，所以，．例1４、解法一〔對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)〕：設(shè)，那么，，，，．，．解法二〔利用換底公式〕：，，．例1５、分析：由于指數(shù)較為復(fù)雜，考慮取對(duì)數(shù)，從而使冪運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，降底難度．解：〔１〕設(shè)，那么．〔２〕設(shè)，那么，所以，同理，，所以原式＝０．三、穩(wěn)固練習(xí)：1．D；2．C；3． B；４．；5．；６．２；７．解:2a－7a+3=0,a=或a=3.a=時(shí),方程為:8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log3a=2時(shí),方程為:·2－·2+3=0x=2或x=－1－log2８．解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。９．解：由