夯基專題7三角恒等變換講義-高三數(shù)學二輪專題復(fù)習

夯基專題7三角恒等變換考向一和差考向一和差角公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）（）．強調(diào)：1．運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練，準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)的多種變形等．2．應(yīng)熟悉公式的逆用和變形應(yīng)用，公式的正用是常見的，但逆用和變形應(yīng)用則往往容易被忽視，公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應(yīng)用后，才能真正掌握公式的應(yīng)用．【典例精講】例1.(2023·廣東省江門市·聯(lián)考)已知sinα=33，cos(α-β)=13，且0<α<3πA.239 B.539 C.例2.(2023·江蘇省南京市·期末考試)(多選)已知tanα=1-sinβcosβA.sin(α+β)=cosα B.2cos2α=【拓展提升】練11.(2023·福建省福州市月考)已知角α∈(0,π2)，tanπ12=sinα-練12.(2023·遼寧省沈陽市·模擬題)如圖，函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π

)的圖象與坐標軸交于點A，B，C，直線BC交f(x)的圖象于點D，O(坐標原點)為△ABD的重心(三條邊中線的交點)，其中A(-π,0)，則tanB=

．

考向考向二倍角公式【核心知識】二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）（2）升冪公式降冪公式，．（3）．（4）變形式：sin2α=2tanα【典例精講】例3.(2023·江蘇省南京市·聯(lián)考題)已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cosα=5，則sinA.53 B.23 C.1例4.(2023·福建省龍巖市·模擬題)水滴型潛艇的線型特點是首部呈圓鈍的紡錘形，潛艇的橫剖面幾乎都為圓截面，艇身從中部開始向后逐漸變細，尾部呈尖尾狀，小劉利用幾何作圖軟件畫出了水滴的形狀(如圖)，由線段AB,AC和優(yōu)弧BC圍成，其中BC連線豎直、AB,AC與圓弧相切，已知“水滴”的水平寬度與豎直高度之比為74，則cos∠BAC=(

)

A.437 B.1725 C.【拓展提升】練21.(2023·廣東省佛山市·月考試卷)(多選)已知fx=sin2x+π4，若a=flg5A.a+b=0 B.a-b=0

C.a+b=1 D.a-b=考向三合一變形（輔助角公式）練22.(2023·山東省臨沂市·月考試卷)如圖是古希臘數(shù)學家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，直徑分別為直角三角形ABC的斜邊AB、直角邊BC、AC，N為AC的中點，點D在以AC為直徑的半圓上.已知以直角邊AC，BC為直徑的兩個半圓的面積之比為3，sin∠DAB=35考向三合一變形（輔助角公式）【核心知識】把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的形式。，其中．常見形式有：sinx+cosx=sinx+【典例精講】例5.(2023·湖北省重點中學·聯(lián)考題)若λsin170°+tan10°A.3 B.32 C.2例6.(2023·湖北省黃岡市期中)已知函數(shù)f(x)=ln(sinx+cosx)的定義域為A，當x∈AA.-22,1 B.-1,2【拓展提升】練31.(2023·廣東省中山市月考)在△ABC中，A=π12，則3sinA-A.22 B.32 C.練32.(2023·湖南省張家界市·模擬題)已知α為銳角，1+3tan80°=1考考向四三角恒等變換技巧【核心知識】三角恒等變換主要有以下四變:（1）變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其方法通常是“配湊”（2）變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有切化弦、弦化切、正余弦互化等（3）變冪：通過“升冪與降冪”，把三角函數(shù)式的各項變成同次，目的是有利于應(yīng)用公式（4）變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征變形,使其更貼近某個公式或某個期待的目標,其方法有:常值代換、配方法等.（1）拆角、拼角技巧：；α＝（α＋β）－β；；．（2）①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；③三角變換的關(guān)鍵是找到條件和結(jié)論中的角和式子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系．變換中可以通過適當?shù)夭鸾?、湊角或?qū)κ阶诱w變形達到目的．【典例精講】例7.(2023·廣東省中山市·月考試卷)2cos48°-23A.22 B.1 C.-1 例8.(2023·江蘇省南京市·模擬題)(多選)已知f(θ)=cos4θ+cos3θ，且θ1，θ2，θ3是f(θ)A.π7∈{θ1,θ2,θ【拓展提升】練41.(2023·江蘇省泰州市月考)(多選)已知sinα=55，cos2β=7A.α<β B.α>2β C.β>π6 練42.(2023·安徽省蚌埠市月考)求值：

(1)sin?50°(1+3tan【答案解析】例1.解：因為sin?α=33<22，0<α<3π4，

所以0<α<π4，則cosα=1-sin2α=63，

因為0<α<例2.解：由tanα=sinαcosα=1-sinβsinαcosα=1-sinβcos由cosβ≠0，則sinβ≠1，1-sinβ≠0，所以2cos故選：AB練11.解：因為tanπ12=sinπ12cosπ12=sinα-sinπ12cosα+cosπ12，

所以sinπ12(cosα+cosπ12練12.解：因為O為△ABD的重心，A(-π,0)，所以O(shè)A=23AC=π，

所以AC=32π，即C(π2,0)，所以πω=T2=3π2，ω=23，

因為f(x)=2sin(ωx+φ)過點例3.解：由3cos2α-8cosα=5，得3(2cos2α-1)-8cosα-5=0，

即3cos2α-4cosα-4=0，解得cosα=2(舍去)或cosα=-23．

∵α∈(0,π)例4.解：設(shè)優(yōu)弧

BC

的圓心為

O

，半徑為

R

，“水滴”的水平寬度、豎直高度分別為

AD

、

MN

，連接

OB,OC

，由題意可得

AO+R2R=74

，解得因為

AB⊥OB

，則

sin∠BAO=BO根據(jù)對稱可得

∠BAC=2∠BAO

，所以

cos∠BAC=cos故選：B．練21.解：fx

∵a=flg

∴a+b=1+

a-b=1+sin2lg52練22.解：∵以直角邊AC，BC為直徑的兩個半圓的面積之比為3，

∴AC：BC=3，即tan∠CAB=13，∴∠CAB=π6，

設(shè)∠DAB=α，則π6<α<π2，且∠DNC=2(α-π6)=2α-π例5.解：λsin170°+tan10°=33，

λsin10°+例6.解：由題可知sinx+cosx>0，

且sinx+cosx=2sin(x+π4)>0，

∴x+π4∈(2kπ,π+2kπ)，k∈Z練31.解：在△ABC中，A=π12，

則3sinA-cos(B+C)，

=3sinA-cos(π-A)，

=練32.解：因為

1+3=sin40所以

sinα=sin又因為

α

為銳角，所以

α=50°故答案為：

50例7.解：2cos48°-2=2cos(90°-42°)-3sin72°例8.解：∵f(θ)=cos4θ+cos3θ=0

∴cos?4θ=-cos?3θ=cos?(π-3θ)，

∴4θ=π-3θ+2kπ,k∈Z,或4θ=2π-(π-3θ)+2kπ,k∈Z,

∴θ=π7+27kπ,k∈Z,或θ=π+2kπ,k∈Z,對于C，cosθ1cosθ2對于D，cos==12sin?π7·sin?6π練41.解：因為cos2β=1-2sin2β=