2022-2023學(xué)年四川省成都等各市高一下數(shù)學(xué)期末試題分類匯編立體幾何壓軸題1

20222023學(xué)年四川省成都等各市高一下數(shù)學(xué)期末試題分類匯編：立體幾何壓軸題1一、多選題1．已知圓錐頂點(diǎn)為S，高為1，底面圓的直徑長為．若為底面圓周上不同于的任意一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．面積的最大值為C．圓錐的外接球的表面積為D．若，為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為【答案】BCD【分析】對A：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式分析運(yùn)算；對B：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析運(yùn)算；對C：根據(jù)題意可得圓錐的外接球即為的外接圓，利用正弦定理求三角形的外接圓半徑，即可得結(jié)果；對D：將平面與平面展開為一個平面，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取到最小值，結(jié)合余弦定理分析運(yùn)算.【詳解】對A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，A錯誤；對B：面積，在中，，故為鈍角，由題意可得：，故當(dāng)時，面積的最大值為，B正確；對C：由選項(xiàng)B可得：，為鈍角，可得，由題意可得：圓錐的外接球半徑即為的外接圓半徑，設(shè)其半徑為，則，即；故圓錐的外接球的表面積為，C正確；對D：將平面與平面展開為一個平面，如圖所示，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取到最小值，此時，在，，則為銳角，則，在，則，由余弦定理可得，則，故的最小值為，D正確.故選：BCD.2．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，它是三組對棱分別相等的四面體．已知等腰四面體ABCD中，三組對棱長分別是，，，則對該等腰四面體的敘述正確的是（

）A．該四面體ABCD的體積是．B．該四面體ABCD的外接球表面積是32πC．D．一動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿四面體ABCD的表面經(jīng)過棱AD到點(diǎn)C的最短距離是【答案】ABD【分析】將等腰四面體放入長方體中，即可由長方體的性質(zhì)求解AB,利用三角形全等即可判斷C，由展開圖，利用兩點(diǎn)距離最小即可判斷D.【詳解】如圖，將等腰四面體補(bǔ)成長方體，設(shè)該長方體的長、寬、高分別是，，，則解得，，，則該等腰四面體的體積為：．故A正確，由于，，，所以,,故所以,故C錯誤，由于等腰四面體的三條棱分別是長方體的三條面對角線，所以長方體的外接球即為等腰四面體的外接球，而長方體的體對角線長度為，故外接球的半徑為，故表面積為，故B正確，將平面和平面沿著翻折到一個平面內(nèi)，連接,則即為最短距離，由于，，，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與交于點(diǎn),則為與的中點(diǎn)，在中，,故在中，故D正確，故選：ABD．3．四棱錐的四個側(cè)面都是腰長為，底邊長為2的等腰三角形，則該四棱錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】滿足要求的四棱錐有三種情形，對三種情況進(jìn)行討論求出結(jié)果.【詳解】滿足要求的四棱錐有如下三種情形.（1）

如圖，四條側(cè)棱長均為，則四棱錐為正四棱錐，連接交于點(diǎn)，連接，則平面，是四棱錐的高，則，，所以，四棱錐的高為；（2）

如圖，有兩條側(cè)棱長為，作平面，記，，是四棱錐的高，于是，，且.解得，.四棱錐的高為；（3）

如圖，三條側(cè)棱（、、）長為，一條側(cè)棱，，，設(shè)與交于點(diǎn).記.由等腰三角形三線合一可得：,平面，平面，，則平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過O作，因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面，是四棱錐的高，則有，，.因?yàn)椋谑牵?將前面的結(jié)果代入上式，解得或.顯然，故.，在中，由余弦定理得,，，四棱錐的高為.故選：ACD.4．棱長為2的正方體中，是線段上的動點(diǎn)，下列正確的是（

）A．的最大值為90° B．C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為4【答案】BC【分析】對A，令，在中，根據(jù)余弦定理求得，再在中根據(jù)余弦定理求解的表達(dá)式，判斷出當(dāng)時，即可；對B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定，證明平面即可；對C，根據(jù)體積公式結(jié)合長方體的性質(zhì)證明即可；對D，把與矩形展開在同一平面內(nèi)，再分析最小值即可【詳解】對A，在正方體中，連接，如圖，而，則，令，在中，，由余弦定理得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，則，中，，，當(dāng)時，，即是鈍角，A不正確；對B，因平面，平面，則，正方形中，，，平面，于是得平面，又平面，因此，，B正確；對C，由題意，到平面的距離為定值，故為定值，C正確；對D，把與矩形展開在同一平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)，如圖，在中，，由余弦定理得：，因點(diǎn)M在線段上，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M與重合時取“=”，所以的最小值為，D錯誤；故選：BC5．如圖，在長方體中，，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．M，N，A，B四點(diǎn)共面B．直線與平面相交C．直線和所成的角為D．平面和平面所成銳二面角的余弦值為【答案】BD【分析】對于A：連接，根據(jù)、、與面位置關(guān)系即可判斷；對于B：為中點(diǎn)，連接，易得，根據(jù)它們與面的位置關(guān)系即可判斷；C：若分別是中點(diǎn)，連接，易知直線和所成的角為，再證明△為等邊三角形即可得大小；D：若分別是中點(diǎn)，求面和面的夾角即可，根據(jù)面面角的定義找到其平面角即可.【詳解】對于A：連接，如下圖面，而面，面，所以M，N，A，B四點(diǎn)不共面，A錯誤；對于B：若為中點(diǎn)，連接，N為棱的中點(diǎn)，由長方體性質(zhì)知：，顯然面，若面，而平面，顯然有矛盾，所以直線與平面相交，B正確；C：若分別是中點(diǎn)，連接，由長方體性質(zhì)易知：，而，故，即直線和所成的角為，設(shè)，由已知，易知，即為等邊三角形，所以為，所以直線和所成的角為，C錯誤；D：若分別是中點(diǎn)，顯然，易知共面，所以平面和平面的夾角，即為面和面的夾角，而面面，長方體中，，如下圖，為和面夾角的平面角，，D正確.故選：BD6．勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能像球一樣來回滾動．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體．如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)：求出正四面體的外接球半徑，進(jìn)而得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，得到答案；B選項(xiàng)，作出截面圖形，求出截面面積；C選項(xiàng)，根據(jù)對稱性得到交線所在圓的圓心和半徑，求出長度；D選項(xiàng)，作出正四面體對棱中點(diǎn)連線，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上求出長度.【詳解】A選項(xiàng)，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為等邊的中心，外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，由正四面體的棱長為2，則，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此時我們再次完整的抽取部分勒洛四面體，如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；B選項(xiàng)，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過正四面體某三個頂點(diǎn)的截面，如圖所示：面積為，B正確；C選項(xiàng)，由對稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點(diǎn)，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長度等于，C錯誤；D選項(xiàng)，將正四面體對棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時連線長度最大，如圖所示：連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，則，則由C選項(xiàng)的分析知：，所以，故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于2，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：勒洛四面體考試中經(jīng)?？疾?，下面是一些它的性質(zhì)：①勒洛四面體上兩點(diǎn)間的最大距離比四面體的棱長大，是對棱弧中點(diǎn)連線，最大長度為，②表面6個弧長之和不是6個圓心角為的扇形弧長之和，其圓心角為，半徑為.7．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，則（

）A．//平面B．的最小值為C．直線與平面、平面、平面所成的角分別為，則D．點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則到平面的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)結(jié)合線面平行判定定理、勾股定理、余弦定理、線面夾角的定義、點(diǎn)到平面的距離，逐項(xiàng)盤點(diǎn)即可得答案.【詳解】對于A，如圖連接在正方體中，因?yàn)?，所四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得，又平面，平面，所以平面，由平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫?，故A正確.對于B，如圖將平面和平面展開到同一個平面，連接的最小值即為，在正方體可得平面，平面，所以，且，所以則平面中，由余弦定理得，即，故B錯誤；對于C，如圖，過作于，

于，平面于，連接由正方體易得平面，平面，又直線與平面、平面、平面所成的角分別為，所以，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在矩形中可得，所以，在中，，所以，即，故C正確；對于D，連接，連接交平面于，過作交于在正方體中可得，，平面，因?yàn)槠矫妫?，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因?yàn)槠矫?，所以平面，即平面，因?yàn)檎叫蔚拿鎸蔷€，所以為正三角形，又，所以，則，因?yàn)檎襟w的體對角線，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)槠矫?，所以到平面的距離為，由于點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則為中點(diǎn)，于是到平面的距離為，故D正確.故選：ACD.8．魏晉時期著名數(shù)學(xué)家劉徽解釋了《九章算術(shù)商功》中記錄的空間幾何體“塹堵、陽馬、鱉臑”的形狀和產(chǎn)生過程，即：“邪解立方得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也”，其意思是：把正方體或長方體斜向分解成兩個塹堵，再把塹堵斜向分解得到一個陽馬和一個鱉臑，兩者的體積比為定值．如圖，在長方體被平面截得兩個“塹堵”，其中一個“塹堵”又被平面截為一個“陽馬”和一個“鱉臑”，則下列說法正確的是（

）A．“陽馬”是一個底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”為四個面全是直角三角形的三棱錐B．“陽馬”的體積是“鱉臑”的體積的2倍C．“陽馬”的最長棱和“鱉臑”的最長棱不相等D．若，“鱉臑”的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且該球的表面積為，則長方體的體積的最大值為2【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)長方體的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和判定分析判斷，對于B，根據(jù)棱錐的體積公式計(jì)算判斷，對于C，計(jì)算出各個棱長后分析判斷，對于D，根據(jù)鱉臑”的外接球就是長方體的外接球，求出長方體的對角線【詳解】對于A，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危矫?，所以“陽馬”是一個底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，因?yàn)槠矫?，平面，所以，同理可得，又因?yàn)?，，所以都為直角三角形，所以“鱉臑”為四個面全是直角三角形的三棱錐，正確，對于B，設(shè)，則，，所以“陽馬”的體積是“鱉臑”的體積的2倍，正確，對于C，設(shè)，則“陽馬”的最長棱為，“鱉臑”的最長棱為，所以“陽馬”的最長棱和“鱉臑”的最長棱相等，錯誤，對于D，設(shè)“鱉臑”的外接球的半徑為，則由“鱉臑”的外接球的表面積為，得，解得因?yàn)椤镑M臑”的外接球與長方體的外接球是同一個球，所以，設(shè)，則，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則長方體的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以長方體的體積的最大值為2，正確，故選：ABD9．如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，為面對角線上的一個動點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．線段上存在點(diǎn)，使平面C．線段上存在點(diǎn)，使平面平面D．設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】ABD【分析】對于A選項(xiàng)，利用等體積法判斷；對于B、C、D三個選項(xiàng)可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確．對于B,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則，,，，，所以，，，設(shè)（），則所以，平面即解之得當(dāng)為線段上靠近的四等分點(diǎn)時，平面.故B正確對于C，設(shè)平面的法向量則，取得設(shè)平面的法向量,則取,得,平面平面設(shè),即,解得，，不合題意線段上不存在點(diǎn),使平面//平面，故C錯誤．對于D，平面的法向量為則因?yàn)樗运缘淖畲笾禐椋蔇正確．故選：ABD10．在棱長為4的正方體中，，，，，分別是，，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，為底面上的動點(diǎn)，且面，則（

）A．B．三棱錐的外接球的球心到面的距離為C．多面體為三棱臺D．在底面上的軌跡的長度是【答案】ACD【分析】在平面中，由中位線定理、平行直線判斷定理，以及平行的傳遞性可得，可判斷選項(xiàng)A正確；確定三棱錐的外接球的球心在直線上位置，即可求出球心到面的距離，可判斷選項(xiàng)B錯誤；根據(jù)棱臺的定義判斷多面體為三棱臺，可判斷選項(xiàng)C正確；找到過點(diǎn)與面平行的平面，即可找到點(diǎn)的軌跡，可判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】根據(jù)題意，可知平面，如圖畫出平面，取的中點(diǎn)，連接，在中，由中位線定理可知，所以為中點(diǎn)，則在中，由中位線定理得，，由，得，由平行線性質(zhì)，所以，可得所以，選項(xiàng)A正確；依題意，由于為直角三角形，則其外心為點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?，可知三棱錐的外接球的球心在直線上（如圖），設(shè)，由中，得，即，解得，，則球心到面的距離為，選項(xiàng)B錯誤；由題意，可知平面平面，延長，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，由于，且，所以為的中點(diǎn)，同理為的中點(diǎn)，所以與重合，即多面體三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，故多面體為三棱臺，選項(xiàng)C則正確；取的中點(diǎn)，連接，由題意易知，平面，平面，所以平面，同理平面，平面，平面，，所以平面平面，當(dāng)點(diǎn)時，平面，所以平面，則在底面上的軌跡為，且，選項(xiàng)D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長．（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長．（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．11．如圖，平面四邊形是由正方形和直角三角形組成的直角梯形，，，現(xiàn)將沿斜邊翻折成（不在平面內(nèi)），若為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（

）A．與不可能垂直B．三棱錐體積的最大值為C．若都在同一球面上，則該球的表面積是D．直線與所成角的取值范圍為（）【答案】BCD【分析】對于A選項(xiàng)：根據(jù)線面垂直的判斷定理，由，當(dāng)時，平面，則；對于B選項(xiàng)：取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)，則平面平面時，三棱錐體積的最大值，從而可判斷；對于C，根據(jù)，可得都在同一球面上，且球的半徑為，從而可判斷；對于D選項(xiàng)：由可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，即可求得與所成角的取值范圍.【詳解】解：對于A選項(xiàng)：由，則，當(dāng)時，且，此時滿足平面，因此，故A錯誤；對于B，取的中點(diǎn)，連接，則，且，因?yàn)?，?dāng)平面平面時，三棱錐體積的最大值，在中，，則，此時，所以三棱錐體積的最大值為，故B正確；對于C，因?yàn)椋远荚谕磺蛎嫔?，且球的半徑為，所以該球的表面積是，故C正確；對于D，作，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所有，，所以，所以，所以，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，所以與夾角為，與夾角為，又不在平面內(nèi)，，，所以與所成角的取值范圍，所以正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行與垂直的判定定理及異面直線所成的角，多面體的外接球問題，棱錐的體積問題，考查了折疊問題，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力與空間想象能力，有一定的難度.12．如圖，在菱形中，，，將沿折起，使A到，點(diǎn)不落在底面內(nèi)，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，以下說法正確的是（

）A．存在某一位置，使得B．異面直線，所成的角為定值C．四面體的表面積的最大值為D．當(dāng)二面角的余弦值為時，四面體的外接球的半徑為【答案】ACD【分析】假設(shè)存在某一位置，使得，根據(jù)空間線面垂直的判定，可判斷A；作出異面直線，所成的角，結(jié)合余弦定理計(jì)算可判斷B；利用基本不等式結(jié)合三棱錐表面積的計(jì)算，可判斷C；判斷四面體為正四面體，補(bǔ)成正方體，可求得外接球半徑，判斷D.【詳解】對于A，不妨假設(shè)存在某一位置，使得，連接交于點(diǎn)O，連接，取的中點(diǎn)為N，連接，為線段的中點(diǎn)，故；由于在菱形中，，而為線段的中點(diǎn)，故，由于平面，故平面，平面，故，而，故，即為正三角形，則，故，又，且，故,由于，故，因?yàn)?，滿足，即當(dāng)時，使得，A正確；對于B，因?yàn)椋十惷嬷本€，所成的角即為或其補(bǔ)角，而，由于長不是定值，故不是定值，即異面直線，所成的角不為定值，B錯誤；對于C，由題意可知,因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故的最大值為2，而，則四面體的表面積的最大值為，C正確；對于D，因?yàn)?，故為二面角的平面角，即，所以，即，而，則四面體為正四面體，故將其補(bǔ)成如圖所示正方體，且正方體棱長為，則該正方體的外接球即為四面體的外接球，正方體的體對角線長即為外接球直徑，則外接球半徑為，即四面體的外接球半徑為，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了空間線線、線面位置以及異面直線所成角以及幾何體表面積和體積問題以及多面體外接球問題，綜合性強(qiáng)，難度較大，解答的關(guān)鍵是要能靈活應(yīng)用空間幾何的相關(guān)知識，充分發(fā)揮空間想象，結(jié)合相關(guān)定義解決問題.二、單選題13．如圖，三棱錐中，平面ABC，，，，點(diǎn)C到PA的距離，若BH和平面CDH所成角的正弦值為，則BC長度為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】利用線面垂直的判定定理證明平面，再由，進(jìn)而證明平面，進(jìn)而可證明為和平面所成的角，則，求出，設(shè)，由，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)槠矫妫瑒t平面，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋?平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，由平面，所以平面，所以為和平面所成的角，因?yàn)閯t，所以，則，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，設(shè)，所以，又，又因?yàn)?，所以，解得?故選：A.14．如圖1，在以為底邊的等腰中，，分別是，上的點(diǎn)，，，將沿折起，得到如圖2所示的四棱錐.若為的中點(diǎn)，平面，則二面角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，連接交于點(diǎn)，易得，，故，則即為二面角的平面角，即可得解.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)?，，所以，所以，，將沿折起，則，所以即為二面角的平面角，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所?故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；（2）空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.15．如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個動點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，可得，進(jìn)而可得出題中所求角等于直線與直線的夾角，然后過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，找出使得最大和最小時的位置，進(jìn)而可求得所求角的余弦值的取值范圍.【詳解】連接交平面于點(diǎn)，延長線段至點(diǎn)，使得，連接、、，如下圖所示：已知在正方體中，底面，平面，，又四邊形為正方形，所以，，，平面，平面，，同理，，平面，三棱錐的體積為，，，可得，所以，線段的長被平面與平面三等分，且與兩平面分別垂直，而正方體的棱長為，所以，，如下圖所示：其中，不妨設(shè)，由題意可，所以，，可得，所以，點(diǎn)在平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上.因?yàn)?，所以，直線與直線的夾角即為直線與直線所成角.接下來要求出線段與的長，然后在中利用余弦定理求解.如圖，過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可知，，且，所以，，.如圖所示，，當(dāng)點(diǎn)在處時，最大，當(dāng)點(diǎn)在處時，最小.這兩種情況下直線與直線夾角的余弦值最大，為；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時，為直角，此時余弦值最小為.綜上所述，直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是確定點(diǎn)的軌跡，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.16．設(shè)正三棱錐的底面的邊長為2，側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，設(shè)為等邊的中心，連接，由正三棱錐的性質(zhì)可得平面，為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，從而結(jié)合已知可求出高，進(jìn)而可求出其體積.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，設(shè)為等邊的中心，連接，則平面，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以，所以，所以為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，因?yàn)榈冗叺倪呴L為2，所以，因?yàn)閭?cè)面與底面所成的二面角的余弦值為，所以，解得，所以，所以三棱錐的體積為，故選：D

.17．已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得內(nèi)切球半徑，再畫圖設(shè)底面半徑為，利用三角函數(shù)值代換表達(dá)出表面積的公式，再設(shè)，根據(jù)基本不等式求最小值即可【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為，底面圓周上一點(diǎn)為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：A.三、填空題18．已知直四棱柱，，底面為平行四邊形，側(cè)棱底面，以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線的長度為.【答案】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用弧長公式、勾股定理、線面垂直計(jì)算求解.【詳解】如圖，連接，直四棱柱，，所以，在中，由余弦定理有：，代入數(shù)據(jù)，解得，所以，即，又，，所以平面，在平面上，以點(diǎn)為圓心，作半徑為1的圓，交棱于點(diǎn)，得到弧，在上任取一點(diǎn)與都構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可知弧上任取一點(diǎn)到點(diǎn)的長度為2，所以以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線的長度為弧的長，因?yàn)?，所以根?jù)弧長公式有：弧的長度為.故答案為：.19．如圖，在三棱柱中，，E是棱AB上一點(diǎn)，且滿足，若平面把三棱柱分成大、小兩部分，則大、小兩部分的體積比為．【答案】【分析】取的三等分點(diǎn)，連接，可得，設(shè)三棱柱的底面面積為，高為，得到三棱柱的體積為，進(jìn)而求得三棱臺的體積為，即可求解.【詳解】如圖所示，由在三棱柱中，是棱上一點(diǎn)，且滿足，即點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，取的三等分點(diǎn)，連接，可得，設(shè)三棱柱的底面面積為，高為，則三棱柱的體積為，因?yàn)榉謩e為的三等分點(diǎn)，可得，即，所以三棱臺的體積為，所以兩部分的體積比為.故答案為：.20．某兒童玩具的實(shí)物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由，，，四條等長的線段組成，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在的直線豎直向上，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意可得兩兩連接后所得到的四面體為正四面體，且是其外接球的球心，設(shè)出棱長，在直角三角形中建立等式關(guān)系，求得，的長度，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，，，相等且兩兩所成的角相等，兩兩連接后所得到的四面體為正四面體，且是其外接球的球心，延長交面于，連接，則為的外心，設(shè)，則，，,，因?yàn)?，所以解得?故答案為：.21．如圖，在邊長為的正方形中，分別為、的中點(diǎn)，現(xiàn)將，，分別沿折起使點(diǎn)重合，重合后記為點(diǎn)，得到三棱錐，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【分析】由題意可知折疊成的三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，可得三棱錐的外接球的直徑等于以為長、寬、高的長方體的對角線，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得三棱錐中，，因?yàn)閮蓛纱怪保匀忮F的外接球直徑，所以三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：22．如圖，直四棱柱中，底面為平行四邊形，，點(diǎn)是半圓弧上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，點(diǎn)是半圓弧上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若三棱錐的外接球表面積為，則的取值范圍是．【答案】【分析】先由余弦定理求出，從而得到，確定BC的中點(diǎn)E為三棱錐的外接球球心在平面的投影，再證明出為AD的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，即EN⊥平面ABCD，故球心在線段EN上，從而確定當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)N重合時，三棱錐的外接球半徑最小，點(diǎn)P與或重合，此時最長，故三棱錐的外接球半徑最大，畫出圖形，求出相應(yīng)的外接球半徑和表面積，最后結(jié)合點(diǎn)是半圓弧上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，故最大值取不到，求出表面積的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫?，因?yàn)?，由勾股定理逆定理得：，直四棱柱中，底面為平行四邊形，故⊥CD，點(diǎn)是半圓弧上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，故BC為直徑，取BC的中點(diǎn)E，則E為三棱錐的外接球球心在平面的投影，設(shè)與AD相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)N，連接EM，ED，則EM=ED因?yàn)椋剩嗜切蜠EM為等邊三角形，，即為AD的中點(diǎn)，同理可得：N為的中點(diǎn)，連接EN，則EN⊥平面ABCD，故球心在線段EN上，顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)N重合時，三棱錐的外接球半徑最小，假如點(diǎn)P與或重合，此時最長，故三棱錐的外接球半徑最大，如圖1，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，連接OC，設(shè)，則OE=2R，，由勾股定理得：，即，解得：，此時外接球表面積為；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與或重合時，連接，其中，設(shè)，則，由勾股定理得：，，故，解得：，此時外接球半徑為，故外接球表面積為，但因?yàn)辄c(diǎn)是半圓弧上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，故最大值取不到，綜上：的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】幾何體外接球問題，通常要找到幾何體的一個特殊平面，利用正弦定理或幾何性質(zhì)找到其外心，求出外接圓的半徑，進(jìn)而找到球心的位置，根據(jù)半徑相等列出方程，求出半徑，再求解外接球表面積或體積.23．如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，且，，則該四棱錐的外接球的表面積為.【答案】【分析】將四棱錐補(bǔ)成長方體，求出長方體的對角線長，即可得外接球的半徑，進(jìn)而得表面積.【詳解】將四棱錐補(bǔ)成長方體如圖：則此四棱錐的外接球即為長方體的外接球，長方體的對角線長為，所以四棱錐的外接球的直徑為3，即半徑，則該四棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.24．如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．若側(cè)面的中心為，為側(cè)面內(nèi)的一個動點(diǎn)，平面，且的軌跡長度為，則三棱柱的表面積為．【答案】/【分析】連接交于，取的中點(diǎn)，過作，分別交于，連接，由面面平行的判定定理可證得平面平面，所以的軌跡為線段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面積.【詳解】

連接交于，取的中點(diǎn)，過作，分別交于，連接，易得，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，平面，因?yàn)?，且都在面?nèi)，所以平面平面，所以的軌跡為線段，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，故三棱柱的表面積為.故答案為：.25．在平面四邊形中，，，，則的最大值為.【答案】【分析】設(shè)，利用三角函數(shù)函數(shù)得，再利用余弦定理結(jié)合三角恒等變換即可得到最值.【詳解】設(shè)，，則，代入數(shù)據(jù)得，，，在中運(yùn)用余弦定理得，即，，所以當(dāng)，即時，的最大值為3，則的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于引角，設(shè)，再利用三角函數(shù)和余弦定理得到，最后結(jié)合誘導(dǎo)公式和三角恒等變換即可求出最值.26．如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)分別為側(cè)棱，底邊的中點(diǎn).平面與的延長線交于點(diǎn)，，則該正四棱錐的外接球的表面積為.【答案】/【分析】設(shè)，則在中由余弦定理可得，在中由余弦定理可得，則可求得，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，正四棱錐外接球的球心在上，設(shè)為，再在中可求出外接球的半徑，從而可求出外接球的表面積.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椤危浴?，所以，所以，因?yàn)樵诘妊?，，，所以由余弦定理得，化簡得，因?yàn)椋栽谥杏捎嘞叶ɡ淼茫?，化簡得，解得，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以平面，且正四棱錐外接球的球心在上，設(shè)為，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，所以所以，所以，設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，則，因?yàn)?，所以，解得，所以正四棱錐的外接球的表面積為,故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查四棱錐與其外接球問題，考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分別和中利用余弦定理結(jié)合已知條件列方程可求出正四棱錐的棱長，從而可求出其外接球的半徑，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.27．已知為球的球面上的三個點(diǎn)，且，球心到平面的距離為，若球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為.【答案】/【分析】取中點(diǎn)，得到，，進(jìn)而得到三棱錐體積表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】如下圖所示，取中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即是外接圓圓心，所以球心到平面的距離為,因?yàn)榍虻谋砻娣e為，則球的半徑，即，在直角中，，所以，設(shè)，則，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時三棱錐體積取得最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合問題.關(guān)鍵要找出中點(diǎn)是外接圓圓心，進(jìn)而結(jié)合棱錐體積公式進(jìn)行計(jì)算.本題考查數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.四、解答題28．如圖，在斜三棱柱中，，等腰的斜邊，在底面ABC上的投影恰為AC的中點(diǎn).(1)求二面角的正弦值；(2)求的長；(3)求到平面的距離.【答案】(1)1(2)(3).【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，則平面，然后由面面垂直的判定可得平面平面，從而可得二面角為直二面角；（2）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則，再結(jié)合可得平面，則，從而可得為菱形，進(jìn)而可求得結(jié)果；（3）利用等體積法求解即可.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)樵诘酌鍭BC上的投影恰為AC的中點(diǎn).所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以二面角的正弦值?.（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫嬗忠驗(yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為菱形，所以，因?yàn)榈妊男边?，所以，所以，所以，所以在直角中，，所以，所以為等邊三角形，所?（3）設(shè)到平面的距離為，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?29．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，底面，平面平面，點(diǎn)在棱上，且.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在線段上取點(diǎn)使得，連接，，由題可得四邊形為平行四邊形，則，由線面平行的判定定理，即可得出答案．（2）在平面中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由平面平面，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，即，由底面，可得，進(jìn)而可得平面，則為二面角的平面角，在直角梯形中，設(shè)，由，解得，即可得出答案．【詳解】（1）證明：在線段上取點(diǎn)使得，連接，，因?yàn)?，又，，所以，則，且，所以．又因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形．所以，又平面，平面，所以平面．?）在平面中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面，所以，，所以為二面角的平面角，在直角梯形中，設(shè)，由，可得所以，則，即，所以，所以二面角的正弦值為．30．如圖，斜三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面⊥平面．(1)求證：直線平面；(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)，若三角形是等邊三角形且邊長為2，側(cè)棱，且異面直線與互相垂直，求異面直線與所成角；(3)若，在三棱柱內(nèi)放置兩個半徑相等的球，使這兩個球相切，且每個球都與三棱柱的三個側(cè)面及一個底面相切．求三棱柱的高．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，從而，得到線面平行；（2）先證明出為三等分點(diǎn)，然后運(yùn)用余弦定理求出可得；（3）因?yàn)樵谌庵鶅?nèi)放置兩個半徑相等的球，使這兩個球相切，且每個球都與三棱柱的三個側(cè)面及一個底面相切，故小球的半徑即為三棱柱直截面的內(nèi)切圓的半徑，利用面積公式得到內(nèi)切圓半徑，畫出立體幾何圖形，結(jié)合相關(guān)關(guān)系求出三棱柱的高.【詳解】（1）斜三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)锳C=BC，為的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，因?yàn)槠矫妗推矫?，交線為AB，CD平面ABC，所以CD⊥平面，故⊥平面，所以,又與互相垂直，,面故面,得.即為直角三角形，在中，為中點(diǎn)，，所以為的三等分點(diǎn)，設(shè)，由余弦定理可得：解之：，所以故⊥平面，在中，.與所成的角為（3）過作于，過作于，連為直截面，小球半徑為的內(nèi)切圓半徑因?yàn)?，所以，故AC⊥BC，則設(shè)所以，由解得，；由最小角定理由面,易知，內(nèi)切圓半徑為：則【點(diǎn)睛】定義法求解二面角，需要先作出輔助線，找到二面角的平面角，再求出各邊長，利用余弦定理求解該角的余弦值，或根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)求出該角的正弦，余弦或正切值，得到答案.31．如圖，在四棱臺中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，均為銳角.(1)求證：；(2)若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到；（2）幾何法：通過面面垂直作過二面角的平面角，通過幾何計(jì)算求解；空間向量法：建立坐標(biāo)系用空間向量求解.【詳解】（1）底面是菱形，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解法一：由（1）知面，又平面，平面平面，作交線，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，則面，又平面，所以.再作，垂足為，面，面，所以面，又面則，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫?，所以到底面的距離也為.作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面＝，平面，所以平面，所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，所以，因?yàn)?，所以，所?所以二面角的平面角的余弦值為.解法二：由（1）知面，又平面，平面平面，作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面＝，平面，所以平面，如圖，建立直角坐標(biāo)系：為原點(diǎn)，為軸方向，軸.因?yàn)槠矫?，所以到底面的距離也為.所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，在空間直角坐標(biāo)系中：，設(shè)，則則，設(shè)平面的法向量為，，取設(shè)平面的法向量為，，取所以，由題知二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值為.32．如圖，在五邊形中，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，．沿，將，折起，使得，重合于點(diǎn)，得到四棱錐，為側(cè)棱靠近的三等分點(diǎn)．(1)求與所成的角；(2)求平面與平面所成銳二面角的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理可得面，然后由余弦定理可得，再結(jié)合勾股定理即可得到，從而可得面，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，先由條件找到所求二面角，然后通過計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題可知，，，，且，．又，面，面，所以面．又面，所以．在中，由余弦定理可得，．在中，，由余弦定理可得，，所以，即．又，面，面，所以面．又面，所以．故與所成的角為．

（2）

因?yàn)椋?，所以，．又，所以延長，必交于一點(diǎn)．所以平面平面．又面，過點(diǎn)作，連接，則或其補(bǔ)角為所求．又，所以．又，所以．在中，由余弦定理可得，．設(shè)點(diǎn)到的距離為，在中，運(yùn)用等面積法則有．所以，在中，．所以平面與平面所成銳二面角的正切值為．33．如圖，在三棱錐中，.點(diǎn)是的中點(diǎn)，，連接.(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，利用等腰三角形性質(zhì)求得，利用勾股定理得，從而利用線面垂直證面面垂直即可；（2）利用等體積法求解距離即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接.，在中，.在中，