2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測第34講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（達(dá)標(biāo)檢測）

第34講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（達(dá)標(biāo)檢測）[A組]—應(yīng)知應(yīng)會(huì)1．（2020春?張家界期末）5與11的等差中項(xiàng)是A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由題意利用等差中項(xiàng)的定義，求得結(jié)果．【解答】解：5與11的等差中項(xiàng)為，故選：．2．（2020春?田家庵區(qū)校級(jí)期末）在等差數(shù)列中，，，則A．8 B．10 C．14 D．16【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程，求出，由此能求出．【解答】解：在等差數(shù)列中，，，，解得，．故選：．3．（2020春?湛江期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式分析可得，計(jì)算可得答案．【解答】解：，；故選：．4．（2020春?綿陽期末）在等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前7項(xiàng)和A．15 B．20 C．35 D．45【分析】先利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式表示出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后把前7項(xiàng)之和用第四項(xiàng)來表示，將的值代入即可求出值．【解答】解：因?yàn)?，所以．故選：．5．（2020春?宣城期末）已知等差數(shù)列中，前項(xiàng)為偶數(shù)）和為126，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為69，且，則數(shù)列公差為A． B．4 C．6 D．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由題意可得，，，，，解可得，．故選：．6．（2020春?珠海期末）已知等差數(shù)列，公差，為其前項(xiàng)和，，則A． B． C． D．【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)出，再由，能求出結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列，公差，，，解得，．故選：．7．（2020春?太原期末）已知等差數(shù)列滿足，，．其前項(xiàng)和為，則使成立時(shí)最大值為A．2020 B．2019 C．4040 D．4038【分析】差數(shù)列的首項(xiàng)，，，可得，．再利用求和公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：等差數(shù)列的首項(xiàng)，，，，．于是，．使成立的最大正整數(shù)是4038．故選：．8．（2020春?張家界期末）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．2020 B．2019 C．0 D．【分析】推導(dǎo)出，解得，由此能求出．【解答】解：是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，設(shè)數(shù)列的公差為，，解得，．故選：．9．（2020?黑龍江二模）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，能求出立夏的日影子長．【解答】解：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，解得，．，立夏的日影子長為15.5尺．故選：．10．（多選）（2020春?龍巖期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論一定正確的是A． B．當(dāng)或10時(shí)，取最大值 C． D．【分析】由題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，求得．故，故正確；該數(shù)列的前項(xiàng)和，它的最值，還跟有關(guān)，不能推出當(dāng)或10時(shí)，取最大值，故錯(cuò)誤．，，故有，故錯(cuò)誤；由于，，故，故正確，故選：．11．（多選）（2020春?寧德期末）公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，下列說法正確的有A． B． C．中最大 D．【分析】推導(dǎo)出，，，由此能求出結(jié)果．【解答】解：公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，，解得，，解得，故錯(cuò)誤；，故正確；，，中最大，故錯(cuò)誤；，，，，，故正確．故選：．12．（2020春?宜賓期末）在等差數(shù)列中，，，則．【分析】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得公差的值，可得結(jié)論．【解答】解：等差數(shù)列中，，，故，則，故答案為：7．13．（2020春?河南期末）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．【分析】由為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出方程組，求出，，由此能求出．【解答】解：為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，解得，，．故答案為：14．14．（2020?十堰模擬）等差數(shù)列中，，，則．【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，進(jìn)而求出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，故；；．故答案為：135．15．（2020春?樂山期末）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)的和為，若，則的值為．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式即可求解．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，，則故答案為：202016．（2020春?懷化期末）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式即可直接求解．【解答】解：是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)?，所以即，因?yàn)?，，則．故答案為：201617．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記為數(shù)列前項(xiàng)的和，若，求．【分析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解，，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解．【解答】解：（1）等差數(shù)列中，，．，即，，（2）由題意可得，，，所以，故18．（2019秋?懷柔區(qū)期末）已知等差數(shù)列滿足，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列滿足，，問：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，．可得，，聯(lián)立解得：，．即可得出．（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，聯(lián)立解得：，．即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，．，，聯(lián)立解得：，．．（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，聯(lián)立解得：，．．，解得．．與數(shù)列的第31項(xiàng)相等．19．（2020?海淀區(qū)二模）已知是公差為的無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為．又___，且，是否存在大于1的正整數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．【分析】分別選擇①②，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及已知條件進(jìn)行求解即可判斷．【解答】解：若選①，，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故，，，由可得可得或（舍，故不存在使得；若選②，，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由，可得，，因?yàn)椋?，解可得或，因?yàn)?，存在在使得?0．（2020春?青羊區(qū)校級(jí)期中）已知，，都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為的等差數(shù)列．（1）若數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若為常數(shù)，，．對(duì)任意，，求出數(shù)列的最大項(xiàng)（用含式子表達(dá)）．【分析】（1）根據(jù)題意得，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式做差，可得；當(dāng)時(shí)，滿足上式，則．（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，即，又，代入得，又，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，得數(shù)列是從第二項(xiàng)起公差為得等差數(shù)列．當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，由，得，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．（3）由（2），當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?，所以，進(jìn)而得，即，即，故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，得當(dāng)時(shí)，，，由已知條件可得，又，，，所以，因而，令，則，得對(duì)任意的時(shí)，，恒成立，得時(shí)，，單調(diào)遞減，進(jìn)而得中最大項(xiàng)．【解答】解：（1）因?yàn)椋?，所以，由，得，?dāng)時(shí)，，兩式做差，可得，當(dāng)時(shí)，滿足上式，則．（2）證明：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，，即，又，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，所以數(shù)列是從第二項(xiàng)起公差為得等差數(shù)列．又當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)時(shí)，由，得，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．（3）解：由（2），當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，即，所以，即，即，故從第二?xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，，另外，由已知條件可得，又，，，所以，因而，令，則，故對(duì)任意的時(shí)，，恒成立，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，中最大項(xiàng)為．[B組]—強(qiáng)基必備1．（2019春?昌江區(qū)校級(jí)期中）數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，設(shè)為的前項(xiàng)和，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值等于．【分析】由，可得，，．又，，時(shí)，．可得，，又由，，，．比較與大小關(guān)系即可得出．【解答】解：，，，．又，，時(shí)，．，，，，，．時(shí)，．．，．故，所以中最大．故答案為：15，2．（2020?宿遷模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，把滿足條件的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為．（1）若數(shù)列的通項(xiàng)為，則是否屬于？（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)：若不存在，說明理由．【分析】（1）直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出首項(xiàng)的取值范圍．（3）利用假設(shè)法的應(yīng)用，建立不等量關(guān)系，進(jìn)一步求出結(jié)果．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，即．?）設(shè)的公差為，因?yàn)椋?/p>