2023-2024學年湖北省高二年級下冊3月聯(lián)考試題數(shù)學模擬試卷（含答案）

2023-2024學年湖北省高二下冊3月聯(lián)考試題數(shù)學模擬試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1,直線4x+2y-1=0與直線QX+4y=0垂直，則Q等于()

A.2B.-2C.1D.-1

2.在數(shù)列5｝中，即+1=檄;第2>1，若%=,，則。2023=()

?-lB?IC?IDI

3.已知點4(2,-6,2)在平面Cr內(nèi)，元=(3,1,2)是平面ɑ的一個法向量，則下列點P中，在平面ɑ

內(nèi)的是()

A.P(L-Ll)B.P(l,3,∣)C.P(l,-3,∣)D.P(-l,-3,-∣)

4,已知正實數(shù)α,b,c,若書>等=a>e,則α,b,C的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC,b>c>aD,b>a>c

5,我國商用中大型無人機產(chǎn)業(yè)己進入發(fā)展快車道，某無人機生產(chǎn)公司2022年投入研發(fā)費用4

億元，計劃此后每年研發(fā)費用比上一年都增加2億元，則該公司一年的研發(fā)費用首次達到22億

元是在()

A.2029年B.2030年C.2031年D.2032年

∈)，'(X2)

6.已知/(x)=X—&~,X(0,+∞)>Vx1>尤26(°1+8,且Xl<刀2恒有"久"->0,

則實數(shù)ɑ的取值范圍是.()

-12?2

A.(_∞,e2]B.(-∞,e)C.(e5,+∞)D七,+8)

7.已知Sn為等比數(shù)列｛%｝的前n項和,。3與52分別為方程/+3X—4=0的兩個根,則55=()

A.-11B.8C.15D.-15

8.希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作儆學匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，

并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做

圓錐曲線：當0<e<l時，軌跡為橢圓;當e=l時，軌跡為拋物線;當e>l時，軌跡為雙曲

線.現(xiàn)有方程Tn(X2+y2+2y+l)=(2χ-y+3)2表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為()

A.(0,8)B.(8,+∞)C.(0,5)D.(5,+∞)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知曲線C的方程為7?+Jr=i(keR),下列結(jié)論正確的是()

A.當k=6時，曲線C為圓

B.當k=O時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為y=±√∑x

C.uk>4t,是“曲線C為焦點在X軸上的橢圓”的充要條件

D.存在實數(shù)k,使得曲線C為等軸雙曲線

10.公差為d的等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S”，若52023<$2021<52022,則下列選項正確的是

()

A.d<0B.冊<0時，n的最小值為2022

C.Sri有最大值D.Sn>0時，H的最大值為4043

11.《九章算術(shù)》里說：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉腌”.如圖，

底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，沿截面PaC將一個“塹堵”截成兩部分，其三棱

錐稱為“鱉般”.在鱉席P-/lBC中，PA1AB,AB=2,其外接球的體積為竽，當此鱉麻的體

積了最大時，下列結(jié)論正確的是()

PK----------------------

X.PA=BC=B.K=y

C.點C到平面P4B的距離為4D.P-ABC內(nèi)切球的半徑為有1

12.已知函數(shù)f(x)=%。一3)2,若/(α)=f(b)=/(C),其中a>b>c,則()

A.1<c<2B.h+c>2

C.α+b+c=6D.abc的取值范圍為(0,4)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.直線X-y+2t=0與曲線y-2x-e*相切，則t=.

14.已知兩個等差數(shù)列｛aj和也｝的前n項和分別為4和%，且強=煞?，貝琮=

15.設(shè)％=8是函數(shù)/(x)=Cosx+√3sin%的一個極值點，則cos20-2sin2θ=.

16.已知雙曲線=l(α>0,b>0)在一三象限的一條漸近線為1,圓M:(X-a/+y2=

8與1交于A,B兩點，若△?!BM是等腰直角三角形，且麗=一5次(其中。為坐標原點)，則雙

曲線C的離心率為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛%｝滿足的=2,｛%+ι-%｝是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列.

(1)求｛a,J的通項公式；

(2)若數(shù)歹式；｝的前n項和Sn,證明：∣≤Sn<l.

anN

18.(本小題12.0分)

已知點4(5,-3)和直線l-.2x-y-8=0,點B是點4關(guān)于直線I的對稱點.

(1)求點B的坐標；

(2)0為坐標原點，且點P滿足IPol=√5∣PB∣若點P的軌跡與直線X+y-m=0沒有公共點，

求m的取值范圍.

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC-4'B'C'中，AABC是邊長為4的等邊三角形，AA'=2,AB'=2√3>平面

4B8'4'JL平面ABC,E為線段48'的中點.

(1)求證：CE1AB';

(2)求直線CE與平面AA1CC所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形’對于拋物線Gy=

2ad給出如下三個條件：

①焦點為F(OA);②準線為'=-1；③與直線4y-l=0相交所得弦長為1.

(I)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線C的方程;

(11)已知4ABQ是(1)中拋物線的“阿基米德三角形”，點Q是拋物線C在弦AB兩端點處的兩條

切線的交點，若直線AB經(jīng)過點(0,3),試判斷點Q是否在一條定直線上?如果是，求出定直線方

程;如果不是，請說明理由.

21.(本小題12.0分)

已知正項數(shù)列｛αtl｝的前n項和為Szr若即=1,∣αn=yfs^l+JSn-I(TI≥2且n∈N*).

(1)求證：數(shù)列｛店｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

n

(2)若勾=2-an,求｛bn｝前n項和7".

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=(x2—2x)lnx+(a—?)?2+2(1—a)x,a>0.

(1)討論/^(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的范圍.

答案和解析

L【正確答案】B

【分析】

本題考查平面內(nèi)兩直線垂直，考查推理能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用平面內(nèi)兩直線垂直，得αX4+2X4=(),解之即可.

解：因為直線4x+2y-I=O與直線αx+4y=O垂直，

所以αX4+2X4=0,

解得α=-2.

故選8.

2.【正確答案】D

【分析】

本題主要考察數(shù)列的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

解：α=I<1?α=2α=g<1,?,.α=^?a2=∣>1>?'?≈4=^?a3—3=?<1,α=2a4=?

1?21?3??5?

…，

可以看出四個循環(huán)一次，故。2023=α4×505+3=α3=ξ?

3.【正確答案】A

【分析】

本題考查平面的法向量，屬于基礎(chǔ)題.

解：對于選項4ΛP=(-1,5,-1)，

所以9?元=-1x3+5Xl-IX2=0，

故P(l,-1,1)在平面ɑ內(nèi).

4.【正確答案】B

【分析】

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

利用對數(shù)函數(shù)的圖象得b>l>c>0,令f(x)=等，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

得函數(shù)f(x)圖象，再利用圖象得l<b<e<α或e≤b<α,最后綜合得結(jié)論.

解：因為α>e,所以見衛(wèi)>0，而見g=工'工>0且c>0，因此0<c<l,

aaccc

又因為學>皿>0,所以b>l,因此b>l>c>O,

ha

令/(X)=竽則/(X)=手，

因此由∕,(x)>0得OVXVe,由∕,(x)VO得%>e,

所以函數(shù)/(乃在(0,e)上單調(diào)遞增，在［%+8)上單調(diào)遞減，且當時，/(%)>0,

因為與>9>0,所以f(b)>∕(α),而α>e,

所以結(jié)合函數(shù)/(x)單調(diào)性知：l<b<e<α或e≤6<α,綜上所述α>b>c,

故選：B.

5.【正確答案】C

【分析】

本題主要考察等差數(shù)列的實際應(yīng)用，考察等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

解：

依題意，該公司每年研發(fā)費用依次成等差數(shù)列，設(shè)為｛%｝，

可得%=4,公差d=2,

則該公司第n年的研發(fā)費用為a”=a?+(n-l)d=2n+2,

令2n+2≥22,

則n≥10,

所以從2022年開始第10年，即2031年的費用首次達到22億元.

6.【正確答案】D

【分析】

本題考查利用導數(shù)由函數(shù)單調(diào)性求參，屬于中檔題.

解：由題意知VX1，無2€(。，+8),且XlCX2,恒有Xlf(Xl)>亞/(%2)，

則y=χ∕(χ)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

設(shè)g(x)—Xf(X)—x(x—芋)=X2—aex,

則g'(x)=2x-ae*≤0,f亙成立，則a》,，

令O=奈則t'(χ)=等2

當％∈(0,1)時t7(%)>0;當%∈(1,+8)時，t,(χ)<0,

故t(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

7O

故tQ)max=MD=所以a≥7

7.【正確答案】A

【分析】

本題考查等比數(shù)列的求和與通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

利用已知條件，求出爐+3%-4=0的兩個根分別是1和-4,分類討論t?和S2的值，利用等比數(shù)

列的求和和通項公式建立q和即的方程，解出方程，即可求解.

解：方程/+3x—4=0的兩個根為1和—4,

由題意可得di或傕蠢4'

43=1,

當時,箕=L，-、4無解?

$2=一4,a1÷α2=Ql(I+q)=-4,

發(fā)廠時，[aq2=-4,

當1

lɑ?+與=Ql(I+q)=L

ɑl=_1,

解得

q=-2,

所以S,,=匚鏟,

故S5=≡?K=-IL

8.【正確答案】C

【分析】

本題考查圓錐曲線的定義，屬于較難題.

將式子變形，根據(jù)題目意思即可求解.

解：方程m(%2+y2+2y+1)=(2x—y+3)2,m>0,

即為m[x2+(y+I)2]=(2%-y+3)2,

可得訴i?JX2+(y+1)2=12%—y+31，

則J"+。+'√5

人J∣2x-y+3∣-標，

√5

可得動點Pay)到定點(0,-1)和定直線2x-y+3=0的距離的比為常數(shù)篇,

由雙曲線的定義，可得當>1,

√7∏

解得0<m<5.

9.【正確答案】AB

【分析】

本題考查圓、橢圓、雙曲線的方程及簡單的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

解：曲線C的方程為工+共=l(∕cCR)

當k=6時，方程為/+y2=2,曲線C為圓，所以/正確；

當k=O時，曲線C為9―5=1,是雙曲線，其漸近線方程為y=±缶，所以B正確；

“6<k<8”是“曲線C為焦點在X軸上的橢圓”的充要條件，

所以“k>4'是”曲線C為焦點在X軸上的橢圓”的必要而不充分條件，所以C不正確；

若曲線C為等軸雙曲線，貝∣J(k-4)(8-k)<0jgk-4+8-k=0,無解，所以。不正確.

10.【正確答案】ACD

【分析】

本題主要考查等差數(shù)列的前Tl項和，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及前幾項和的函數(shù)性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

解：對于A:由$2023VS202iV52()22可得a2023+a2022V。，。2023<。。2022>故等差數(shù)列｛冊｝的公

差d=?2023-a2022V°，故力正確；

對于B:由A得，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且。2023<0"2022>0,故斯VO時，幾的最小值為2023,

故3錯誤；

對C：由4得，d<0,故Sn=BJI2+(%-9)n是關(guān)于n的開口向下的二次函數(shù)，其有最大值，沒有

最小值，故C正確；

αι+4044

對于D：因為數(shù)列｛%｝的前2022項均為正數(shù)，且S.=4044(°)=2022(a1+a4044)=

a

2022(a2022+2023)<θ,

S4043=4043('+24043)=4043。2022>°，

Sfl>0時，n的最大值為4043,故。正確；

故選：ACD.

IL【正確答案】ACD

【分析】

本題考查空間幾何體的基本知識，處理球的外接和內(nèi)切的知識求法，考察等體積法的使用，屬于較難

題.

解：由題可知，PC的中點即為P—ABC的外接球的球心,

設(shè)外接球的半徑為R,則以R3=當Ξ,得R=3,

PA2+AB2+BC2=PC2=4R2,所以PA=32,

鱉膈P-ABC的體積VP-zIBC=?×^AB-BC-PA=^-(2BC-PA)

1,,16

≤N?(BC2+PA2)=-?-

O?

當且僅當BC=P4=4時，

(VPTBC)max=冬故”項正確，B項錯誤;

因為三棱柱為直三棱柱，故8C1平面P4B,

所以點C到平面P4B的距離為IBCl=4,故C項正確；

設(shè)P-ABC的內(nèi)切球半徑為r,由等體積法

1111116

VP-ABC=9X(5力BBC+AB?PA+~^AC?PA+5PB?BC)?r=-?-

■3乙乙乙乙?

，得(16+16㈢)?r=32，

所以r=蓋T=與i,故。項正確.

12.【正確答案】BCD

【分析】

本題考查利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，及利用導數(shù)研究方程的根問題，屬于較難題.

解：因為f(x)=x(x-3)2,所以1(X)=3∕-12X+9=3(X-3)(X-1),

令f'(x)=O,解得：X=I或X=3,

當/(x)>0時，X>3或X<1,所以/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,1)

和(3,+8)；

當∕,(x)<0時，1<x<3,所以f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3),

/(X)的圖象如右圖所示

設(shè)f(Q)=f(b)=/(C)=t,則OVtV4,0<c<l<6<3<α<4,故選項A錯誤;

又/(?)-t=(%—α)(x—b)(%一c),所以x(x-3)2-t=(%-α)(x-6)(x-c),

即％3—6X2+9%—t=%3—(α+b+c)x2+(αZ?+αc÷be):X—abc,

對照系數(shù)得α+b+c=6,故選項C正確；

abc=t∈(0,4),故選項D正確；

因為3<α<4,所以3V6-(b+c)V4,解得2vb+cV3,故選項8正確.

13.【正確答案】一:

【分析】

本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)切點為(均,yo)，列式求解即可.

解：不妨設(shè)切點為(XO,y°),

則曲線y=2x—e*中，則y'=2—ex,

ly0=x0+2tCt=-|

則應(yīng)有2—1。=1,解得，Xo=O,

x

.yo=2x0-e°Qo__1

故答案為-?.

14.【正確答案】?

O

【分析】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.

解：兩個等差數(shù)列｛31｝和｛br,｝的前n項和分別為4n和∣Bn,

H—=2二一1

口第―n+3'

。92劭Ql+@17

加2仇歷+如

17

-?(ɑl+。17)/17

15^Ξ瓦I

^2^(^1+匕15)

2×17_1_33_11

15+3=18=^6^

15.【正確答案】一2

【分析】

本題考查函數(shù)的極值點，及正余弦齊次式的計算，屬于中檔題.

解：由題知∕z(x)=-sinx+√3cosx

???X=8是函數(shù)f(χ)=cos%+√3sinx的一個極值點,

???/'(8)=-Sine+√3cos0=。,即SinJ=√3cosθ,

cos20-3sin2Θ_-8COS20

故cos2θ—2sin20

sin20+cos204COS20

16.【正確答案】苧

【分析】

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查共線向量基本定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及運算求解能

力，是中檔題.

求出雙曲線的一條漸近線方程，圓M的圓心和半徑,設(shè)。A=t,由已知向量等式可得OB=St,AB=4t,

得到t=l,過M作MDJ.4B,且。為48的中點，運用直角三角形的勾股定理和點到直線的距離公

式解得α,b,c,再由離心率公式求解.

解：雙曲線C：圣一苴=19>06>0)的一條漸近線，的方程為丫="，

圓M：(X-α)2+y2=8的圓心為M(α,0),半徑為r=2√Σ,

由△力8M為等腰直角三角形，可得AB=√Σr=4,

設(shè)。力=3由旗=59，可得。8=5t,AB=43

由4t=4,得t=1,

過M作MD?LZB,且。為AB的中點，On=3,AB=4,AD=2,

則M到直線I的距離為MD=7=鼻，

√az+oz

在直角三角形OMO中，MD2=OM2-OD2,

在直角三角形AMD中，MD2=AM2-AD2,

即有a2—9=8—4,解得a=V13>

即MD=2=1之，解得b=%,

√αz+?z3

17.【正確答案】解：(1)由題意得%+ι-αn=4+2(九-1)=2九+2,an-an.1=2n,

an=(αn-ɑn-l)+(αn-l一Qn-2)+…+(α2-αl)+aI

當九≥2時，=2π+(2n-2)+???+6+4+2

=24-------------2-----------=nz+n

當幾=1時，也符合上式，

2

故Q71=n÷n.

1111

(2)證明：因為Z=熊兩=:前

所以Sn=(IT)+(>[)+…+(A??)=l-??

又???Sn在N*上遞增，且0＜擊≤g

1

?*??≤SπV1?

本題主要考察等差數(shù)列的通項公式，考察數(shù)列與不等式，考察累加法和裂項相消法求和，屬于中檔題.

18.【正確答案】解：(1)設(shè)點B(α,b),由題意知線段ZB的中點M(等,殍)在直線/上，

故：2x竽-殍-8=0,①

又???直線4B垂直于直線I,故線=-；，②

聯(lián)立①②式解得：(ɑ?1.,故點B的坐標為(1,—1);

I?！籎L

(2)設(shè)點P(Xy),由題IPOl=百∣PB∣,則IPOI2=3|PB/，故好+y2=3[Q一i)2+⑶+1)2卜

化簡得(％—?∣)24-(y+|)2=|,

又???直線與圓沒有公共點，???＞史,

√2√2

解得∏l∈(—∞,—V3)U(V3,+8).

本題考查點關(guān)于直線的對稱問題，求與圓相關(guān)的軌跡問題，已知直線與圓的位置關(guān)系求參，屬于中檔

題.

19.【正確答案】解：（1）證明：取力B中點。，連接DC,DE,

CA—CB?CD1AB

又???平面ABC1平面ABB'A',平面ABCn平面ABB'A'=AB,

：.CD1平面ABB'A'

.?.CD148'即AB'1CD

XvAB'2+BB'2=AB2.?.AB'1BB',AB'1ED

而CDnED=OAB'1平面CDE,

.?.AB'1CE即CE1AB'

Z

(2)作B'M1AB于點M,MN//CD,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則力(3,0,0),C(l,2√3,0),B,(0,0,√3),F(∣,0,y)

.?.~AA'=^BB'=(l,0,√3)>^AC={-2,2√3,0),CF=(j,-2√3,y)

令平面AA'C'C的法向量為乃=(x,y,z)

n?AA=x+√3z=0.

-√3,-1,1)

五?AC=-2x+2y∕3y=0

-f+2√3+f_√195

?cos<CE,2

H>=-√13?√5—―65

???直線CE與平面AA'C'C所成角的正弦值為醇1

本題考查線面垂直的性質(zhì)和線面角的大小，是中檔題.

20.【正確答案】解：(I)y=2M即為F=/,,

若選①，?=?α=?二拋物線方程為χ2=y,

選(2)③同樣得拋物線方程為χ2=A

(Il)令A(Xl,y。，8。2，丫2)，Q(XO，y。)，則yi=*，y2=%

"?"y'—2x?"?ICAQ~2X],kgQ—2x2

?IAQ-V-VI=2xi(x-Xl)即為2x1x-y-y1=O

又Q(Xo,%)eIAQ2&與一y()-yι=0即2X(1Xι-yι-yt)=0

同理，2&X2一-y。=0

???IAB-2X0X-y-yo=°

而，4B過點(0,3)?,?0—3—y□—0即y()=—3

???點Q在直線y=-3上

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，牢記拋物線的切線方程是解題的突破口，考查學生邏輯推理能力

和運算能力，屬于中檔題.

21.【正確答案】（1）證明：由題意得：當n≥2時,

2期=2(S"-SnT)=2_?/SnT)(^y?÷V,^n-1)=+JSn_1

??,αn>O??.Sn>O

因為病=1,所以數(shù)列A，是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列,

2

則=1+(n—1)×2=2n-1ΛSn=(2n—I)，

22

當九≥2時，an=Sn-SzlT=(2n-I)-(2n-3)=8n-8,

由于的=1不適合上式,

故冊=-8In>2'

IoTl-OtTl≤Z

電=

(2n≥2

所以71=2,

56π+3

當?！?時，Tn=2+[1×2+2×2+-+(n-l)2],

令4=l×25+2×26+……+(n-l)2n+3