2023年重慶市北碚區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A、B、C、D、E、尸六名同學(xué)站成一排照相，其中A、8兩人相鄰的不同排法數(shù)是（）

A.720種B.360種C.240種D.120種

2.若4=（4,2,3）是直線/的方向向量，n=（-1,3,0）是平面a的法向量，則直線/與平面a的位置關(guān)系是

A.垂直B.平行

C.直線/在平面a內(nèi)D.相交但不垂直

3.若隨機變量X?B（100,p）,X的數(shù)學(xué)期望E（X）=24,則P的值是（）

23619

A.—B.—C.—D,—

552525

4.在平行四邊形ABC。中，ZBAD=y,點E在AB邊上，AD=AE=^AB=\,將AOE沿直線￡>￡折起成

ADE,尸為AC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線AE與直線B尸共面B.BF=-

2

C.AEC可以是直角三角形D.ACIDE

5.在正方體A4G。中，8月與平面所成角的正弦值為（）

J3J332

A.—B.—C.-D.-

2355

6.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S,,,若。2+/+/）=9,則1$9=（）

A.3B.9C.18D.27

7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問數(shù)學(xué)考試的成績老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，我現(xiàn)在給

乙看甲、丙的成績，給甲看丙的成績，給丁看乙的成績，看后乙對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則

（）

A.甲可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績

C.甲、丁可以知道對方的成績D.甲、丁可以知道自己的成績

8.已知離散型隨機變量X的分布列如圖，則常數(shù)。為（）

X01

P9c2-C3-8c

9.若復(fù)數(shù)z=一7（其中i為虛數(shù)單位，aeH）為純虛數(shù)，則忖等于（）

A.-2zB.-2C.0D.2

10.下列命題中正確的個數(shù)（，①'","，2.V,”的否定是“三、三?、谟孟嚓P(guān)指數(shù)R:可以

刻畫回歸的擬合效果，”值越小說明模型的擬合效果越好；③命題”若：：口，貝卜0.：.：,?<的逆命題為真命

題；④若、：一二；口+L,.+巾+3>。的解集為中則?.>1-

A.QB?]C.jD.3

11.一個盒子里有3個分別標有號碼為1,2,3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，

則取得小球標號最大值是3的取法有（）

A.12種B.15種C.17種D.19種

12.在極坐標系中，點M（1,O）關(guān)于極點的對稱點為（）

A.（1,0）B.（-1,71）C.（l,7l）D.（1,271）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一二二二中，角二，二，二所對的邊分別為二，二，二且二8S二-二COS二=：二當:M；二一二取最大值時，角二的

值為.

14.已知X、）'滿足組合數(shù)方程G?=G>7,則孫的最大值是.

15.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用

移動支付的人數(shù)，￡>X=2.4,P（X=4）<P（X=6）,則片.

16.為貫徹教育部關(guān)于全面推進素質(zhì)教育的精神，某學(xué)校推行體育選修課.甲、乙、丙、丁四個人分別從太極拳、足球、

擊劍、游泳四門課程中選擇一門課程作為選修課，他們分別有以下要求：

甲：我不選太極拳和足球；乙：我不選太極拳和游泳；

丙：我的要求和乙一樣；?。喝绻也贿x足球，我就不選太極拳.

已知每門課程都有人選擇，且都滿足四個人的要求，那么選擊劍的是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛q｝滿足：a.M=4—|a,J(〃eN)

(I)若％>0,且為，a2,%成等比數(shù)列，求％;

(H)若％4-4,且q,a2,生，應(yīng)成等差數(shù)列，求為.

18.(12分)已知z=2+i,。，〃為實數(shù).

(1)若④=Z2+3Z-12，求囪；

(2)若a竺z+*hz=5—2i,求實數(shù)。，6的值.

2-z

19.(12分)某險種的基本保費為。(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上

年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)01234>5

保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)出險次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

(2)已知一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率.

20.(12分)在二項式的展開式中.

(1)若展開式后三項的二項式系數(shù)的和等于67,求展開式中二項式系數(shù)最大的項；

(2)若〃為滿足8<〃<12的整數(shù)，且展開式中有常數(shù)項，試求〃的值和常數(shù)項.

21.(12分)已知函數(shù)/*)=/一36+2,曲線y=/(x)在％=1處的切線方程為3x+y+m=0.

(I)求實數(shù)a，m的值；

(n)求/a)在區(qū)間工2］上的最值.

22W

22.(10分)已知橢圓G：=+與=1(。>人>0)的離心率為左,拋物線G：V=2py與橢圓G在第一線象限的交點

arb~2

為《局

(i)求曲線G、G的方程

(2)在拋物線c2上任取一點p,在點p處作拋物線G的切線/，若橢圓G上存在兩點關(guān)于直線/對稱，求點P的縱

坐標的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

先把A、8兩人捆綁在一起，然后再與其余四人全排列即可求出A、8兩人相鄰的不同排法數(shù).

【詳解】

首先把把A、8兩人捆綁在一起，有#=2x1=2種不同的排法，最后與其余四人全排列有g(shù)=5x4x3x2x1=120

種不同的排法，根據(jù)分步計算原理，A、8兩人相鄰的不同排法數(shù)是父月=120x2=24(),故本題選C.

【點睛】

本題考查了全排列和分步計算原理，運用捆綁法是解題的關(guān)鍵.

2、D

【解析】

判斷直線/的方向向量與平面的法向量的關(guān)系，從而得直線與平面的位置關(guān)系.

【詳解】

顯然d與〃不平行，因此直線/與平面。不垂直，X(/-z?=4x(-l)+2x3+3x0=2,即“與"不垂直，從而直線/與

平面a不平行，故直線/與平面a相交但不垂直.

故選D.

【點睛】

本題考查用向量法判斷直線與平面的位置關(guān)系，方法是由直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系判斷，利用向量的共

線定理和數(shù)量積運算判斷直線的方向向量與平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直線與平面的位置關(guān)系.

3、C

【解析】

分析：由題意結(jié)合二項分布數(shù)學(xué)期望的計算公式求解實數(shù)p的值即可.

詳解：隨機變量X~3(100,p),則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=100p,

據(jù)此可知：100〃=24,解得：〃=2.

本題選擇C選項.

點睛：本題主要考查二項分布的數(shù)學(xué)期望公式及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

4、C

【解析】

(1)通過證明A',E,B,尸是否共面，來判斷直線A宏與直線B尸是否共面；

(2)取特殊位置，證明3尸=；是否成立；(3)尋找AEC可以是直角三角形的條件是否能夠滿足；(4)用反證法

思想，說明能否成立.

【詳解】

如圖，因為四點不共面，所以Ez面A'BC,故直線A'E與直線B廠不共面；

沿直線折起成A'DE,位置不定，當面4￡＞七_1_面3。＞￡：,此時BPwg；

取OE中點，連接A'G,CG,則AGL0E,若有AC_LDE,則。F，面4。6

即有Z)E_LCG,在RtXXJC中,CD=2,OG=L,NCDE=60"明顯不可能，故不符合；

2

在_AEC中，KE=1,CE=6,而AC=J7＞2,所以當A'C=2時，=AEC可以是直角三角形;

【點睛】

本題通過平面圖形折疊，考查學(xué)生平面幾何知識與立體幾何知識銜接過渡能力，涉及反證法、演繹法思想的應(yīng)用，意

在考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力.

5、B

【解析】

證明與平面ACD,所成角為/DD0,再利用邊的關(guān)系得到正弦值.

【詳解】

如圖所示：連接BO與AC交于點。，連接R。，過點。作。2。

BB,與平面ACD,所成角等于?？谂c平面ACD,所成角

正方體ABCD-44GA=>AC1DB,AC1DD{nAC1平面DD0^ACIDE

QE_L2。=OE，平面ACD]

DR與平面ACD,所成角為NDD0

設(shè)正方體邊長為1

亞

6

2

詬3

在RtADD\O中sinNDD0===

2

故答案選B

【點睛】

本題考查了線面夾角，判斷與平面Acq所成角為NO。。是解得的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象

能力.

6、D

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛為｝的首項為4,公差為d.

?:。2+。3+。10=9

3q+12d=9,即4+4d=3

；?%=3

生包匈=27

2

故選D.

7、D

【解析】

先由乙不知道自己成績出發(fā)得知甲、丙和乙、丁都是一優(yōu)秀、一良好，那么甲、丁也就結(jié)合自己看的結(jié)果知道自己成

績了.

【詳解】

解：乙看后不知道自己成績，說明甲、丙必然是一優(yōu)秀、一良好，則乙、丁也必然是一優(yōu)秀、一良好；甲看了丙的成

績，則甲可以知道自己和丙的成績；丁看了乙的成績，所以丁可以知道自己和乙的成績，故選D.

【點睛】

本題考查了推理與證明，關(guān)鍵是找到推理的切入點.

8、A

【解析】

根據(jù)所給的隨機變量的分布列寫出兩點分步的隨機變量的概率要滿足的條件，一是兩個概率都不小于0,二是兩個概

率之和是1,解出符合題意的c的值.

【詳解】

2

由隨機變量的分布列知，9C-C>0.3-8C>0,9c2—C+3-8C=1，

c=—,故選A.

3

【點睛】

本題主要考查分布列的應(yīng)用，求離散型隨機變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)二表示為一般形式，結(jié)合題中條件求出。的值，再利用復(fù)數(shù)求模公式求出瓦

【詳解】

.?"="竺=魚;>=巴2=-4一23由于復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以，一。=0,得。=0,

ZZ2-1

:.z=-2i,因此，|z|=2,故選D.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)求模，解決復(fù)數(shù)問題，要通過復(fù)數(shù)的四則運算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)

合復(fù)數(shù)相關(guān)知識求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

根據(jù)含量詞命題的否定可知①錯誤；根據(jù)相關(guān)指數(shù)的特點可知「越接近，，模型擬合度越低，可知②錯誤；根據(jù)四種

命題的關(guān)系首先得到逆命題，利用不等式性質(zhì)可知③正確；分別在一:3和..二？的情況下，根據(jù)解集為更確定不等關(guān)

系，從而解得，范圍，可知④正確.

【詳解】

①根據(jù)全稱量詞的否定可知“門>c，；v>sin/的否定是c<鼠不一"，則①錯誤；

②相關(guān)指數(shù)二:越接近：，模型擬合度越高，即擬合效果越好；.二二越接近。，模型擬合度越低，即擬合效果越差，則②錯

誤；

③若“：〉5>1，貝夫J的逆命題為：若“若證>(，貝UJ，根據(jù)不等式性質(zhì)可知其為真

命題，則③正確；

④當m=0時，1一2(.+1)?+.+3=—2?+320,此時解集不為中不合題意；

當E=0時，若1”一2(廣+5++3“解集為中只需一

I4(in+1尸一4m(JK+3)<0

解得：小之：，則④正確.

正確的命題為：③④

本題正確選項：二

【點睛】

本題考查命題真假性的判斷，涉及到含量詞命題的否定、四種命題的關(guān)系及真假性的判斷、相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用、根據(jù)一

元二次不等式解集為尸求解參數(shù)范圍的知識.

11、D

【解析】

試題分析：分三類：第一類，有一次取到3號球，共有C；*2x2=12取法；第二類，有兩次取到3號球，共有C；x2=6

取法；第三類，三次都取到3號球，共有1種取法；共有19種取法.

考點：排列組合，分類分步記數(shù)原理.

12、C

【解析】

分析：在極坐標系中，（份夕＞關(guān)于極點的對稱點為乃+。）.

詳解：。）關(guān)于極點的對稱點為乃+6）

二M（1,O）關(guān)于極點的對稱點為（1,兀）.

故選：C.

點睛：本題考查一個點關(guān)于極點的對稱點的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意極坐標性質(zhì)的合理運用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

陪

【解析】

依題意，由正弦定理得HariD-血2cMe==：*□+□）,化簡得sin二cos二.=JeosZsinZk即I*JUD*

JJ

所以恒?口一口）=三若當且僅當:an；二二-二二二時等號成立.

14、128

【解析】

由組合數(shù)的性質(zhì)得出丁=2%（04》48）或2%+:；=17,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求出移的最大值，并

比較大小可得出結(jié)論.

【詳解】

X、y滿足組合數(shù)方程Cf=C；7，?.一=2x（04x48）或2x+y=17,

當y=2x時，則孫=2/e[0/28]；當2x+y=17時，2孫《笥？J=（葭j=竿.

因此，當2x=y=16時，沖，取得最大值128.

故答案為：128.

【點睛】

本題考查組合數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時也考查了兩數(shù)乘積最大值的計算，考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用以及基本

不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.

15、0.6

【解析】

由題意知，X8(10,〃)，根據(jù)二項分布的概率、方差公式計算即可.

【詳解】

由題意知，該群體的10位成員使用移動支付的概率分布符合二項分布，

所以￡>(X)=10p(l-p)=2.4,

所以p=0.6或“=0.4.

由P(X=4)<P(X=6),得C：°p4(l—〃)6<C：°p6(l—〃)4,

即(1-

所以P>0.5,

所以，=0.6,

故答案為：().6.

【點睛】

本題主要考查的是二項分布問題，根據(jù)二項分布求概率，再利用方差公式求解即可.

16、丙

【解析】

列出表格，用J表示已選的，用X表示未選的課程，逐個將每門課程所選的人確定下來，即可得知選擊劍的人是誰。

【詳解】

在如下圖中，用J表示該門課程被選擇，用X表示該門課程未選，且每行每列只有一個勾，

太極拳足球擊劍游泳

甲XX

乙XJ②X

丙XVX

T

從上述四個人的要求中知，太極拳甲、乙、丙都不選擇，則丁選擇太極拳,

丁所說的命題正確，其逆否命題為“我選太極拳，那么乙選足球”為真，則選足球的是乙,

由于乙、丙、丁都為選擇游泳，那么甲選擇游泳，最后只有丙選擇擊劍。故答案為：丙。

【點睛】

本題考查合情推理，充分利用假設(shè)法去進行論證，考查推理論證能力，屬于中等題。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)4=2或4=4+20；(II)%是小于等于-8的所有實數(shù)值.

【解析】

(I)根據(jù)所給的遞推公式，把生，以3用卬表示，然后根據(jù)修，的，生成等比數(shù)列，列出等式，求出片;

(n)根據(jù)所給的遞推公式，把生，出用外表示，然后根據(jù)外,內(nèi)，%成等差數(shù)列，列出等式，求出力;

【詳解】

(I)因為《>0,所以

4=4一同=4—q,

用,0<4<4,

4=4一同=4一|4-4"

8一%4>4,

因為外,a2t生成等比數(shù)列，所以44=城,

①0<q?4時，所以a；=(4—得％=2；

②當4>4,所以q(8—aj=(4—aj2,得％=4-20(舍)或4=4+2血

綜合①②可知，q=2或4=4+2近.

（II）因為《4-4,所以

a2=4-|a1|=4+?1<0,

%=4一同=8+0,,

%=4-同=4-|8+力

因4，%，。3，2成等差數(shù)列，而顯然外,生，%成等差數(shù)列且公差為4,

所以%=4+%得4_|8+力=（8+q）+4,即|8+q|=~（8+q）,

故％4-8即所求%是小于等于-8的所有實數(shù)值.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，考查了絕對值的運算，考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查了分類思想.

18、（1）回；（2）-3,2

【解析】

分析：（1）利用復(fù)數(shù)乘法的運算法則以及共規(guī)復(fù)數(shù)的定義化簡。=-3+3利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可；（2）利用

復(fù)數(shù)除法的運算法則將至勺=5—2i,化為匕-a+2（a+與i=5-2i,由復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)可得,從而

可得結(jié)果.

詳解：（1）'：z=2+i,Az=2-i.

?,?<y=z2+35-12=（2+爐+3（2-i）-12=-3+i,

:.|<y|—J（—3）~+『=VTo；

（2）Vz=2+z,

.az+bza（2+i）+Z?（2—i）

2-z2-（2+z）

2（a+b）+（a-b）i（2（a+b）+（a-/?）z[

一-I一-I

=Z?-a+2（a+b）i=5-2i.

b—a=5

工a,b的值為：-3,2.

點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算.要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共

輒復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式

相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分

19、(1)0.55(2)—

11

【解析】

分析：(1)將保費高于基本保費轉(zhuǎn)化為一年內(nèi)的出險次數(shù)，再根據(jù)表中的概率求解即可.(2)根據(jù)條件概率并結(jié)合

表中的數(shù)據(jù)求解可得結(jié)論.

詳解：(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，

則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，

故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，

則事件8發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,

故0(3)=0.1+0.05=0.15.

又P(AB)=P(3),

故P⑻A)=學(xué)=翼=處」，

P(A)P(A)0.5511

3

因此其保費比基本保費高出60%的概率為五.

點睛：求概率時，對于條件中含有“在……的條件下，求……發(fā)生的概率”的問題，一般為條件概率，求解時可根據(jù)

條件概率的定義或利用古典概型概率求解.

20、(1)展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6和第7項，7；=231/5,7；=924%一2(2)?=9,常數(shù)項為672

【解析】

(1)根據(jù)條件求出〃的值，然后判斷第幾項二項式系數(shù)最大，并求之；(2)常數(shù)項其實說明x的指數(shù)為0,根據(jù)這一

特點，利用項數(shù)〃與第幾項「的關(guān)系求解出”的值.

【詳解】

解：⑴由已知中+cr+c；Y+c：+c”婚+〃+』7

整理得〃2+〃-132=0=(〃+12)(〃—11)=0,顯然〃=11

則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6和第7項

門、65_7

/2。2=231”

4=C'6'1,2JX-26/=924/2

n~rL3r-2n

(2)設(shè)第廠+1項為常數(shù)項，r為整數(shù)，二5-)2，*=&22一G二

□I士3—2〃C3

則有-------=0=〃=一廠，

22

所以8＜二＜12=3=5』＜廠＜8,「=6或r=7

233

21

當r=6時，n=9；〃=7時，n--(不合題意舍去)，所以”=9

2

常數(shù)項為7；=《(2)3=672

【點睛】

H+1〃+1

對于形如(。+。)"的展開式，展開后一共有"+1項，若〃為奇數(shù)，則二項式系數(shù)最大的項有2項，分別為——、——+1

22

〃+1

項，為若〃為偶數(shù)，則二項式系數(shù)最大的項有1項，即為——項(也可借助楊輝三角的圖分析).

2

21、(I)最大值為-2,最小值為2-48.(II)最大值為-2,最小值為2-4a.

【解析】

(I)切點(Ly)在函數(shù)/。)=/一3?+2上，也在切線方程為3x+y+m=0上，得到一個式子，切線的斜率等于

曲線y=/(x)在x=l的導(dǎo)數(shù)，得到另外一個式子，聯(lián)立可求實數(shù)”，〃?的值；(II)函數(shù)Ax)在閉區(qū)間的最值在極

值點或者端點處取得，通過比較大小可得最大值和最小值.

【詳解】

解：(I)f'(x)=3x2-3a,

?.?曲線/5)=/一3奴+2在工=1處的切線方程為3%+丁+m=0,

⑴=3—3。=—3

川)=3—解得修m=0.

(II)由(I)知，f(x)=xi-6x+2,貝?。?'(%)=3/一6,

令/'(x)=0,解得x=士也，

二/(x)在［1,0)上單調(diào)遞減，在(J5,2］上單調(diào)遞增，

又/⑴=1-6+2=-3,/(2)=23-6X2+2=-2,/(閭=(可-6x亞+2=2-4痣,

二/(%)在區(qū)間［1,2］上的最大值為一2,最小值為2-40.

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與切線方程的關(guān)系以及利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問題.

22、(1)C.:—+y2=l,C,:x2=6y(2)[0,3(72-1)]

4

【解析】