摧毀華爾街的數(shù)學(xué)公式

摧毀華爾街的數(shù)學(xué)公式（原名：TheformulathatkilledWallStreet）

從上世紀(jì)80年代中期起，華爾街就開始依賴金融工程精英們來創(chuàng)造各種新的獲利途徑。他們創(chuàng)造金錢的方法一直成功運(yùn)轉(zhuǎn)了這么多年，直到其中一種“突然”引發(fā)了這場全球性的經(jīng)濟(jì)災(zāi)難。一年前，人們總認(rèn)為像李祥林（David

X.

Li）這樣的數(shù)學(xué)天才可能會在某日得到諾貝爾獎的眷顧，因?yàn)榻鹑诮?jīng)濟(jì)學(xué)者，甚至華爾街的這類人才的確此前也獲得過諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。李祥林的開創(chuàng)性工作是衡量投資風(fēng)險，而在金融領(lǐng)域，他的成果與以前獲得過諾貝爾獎的學(xué)者的貢獻(xiàn)相比更有影響力、更快速地得到廣泛應(yīng)用。然而，當(dāng)暈頭轉(zhuǎn)向的銀行家、政治家、監(jiān)管者和投資者在這場自“大蕭條”以來最嚴(yán)重的金融大崩潰的廢墟中尋找事發(fā)根源時，他可能更應(yīng)該慶幸的是自己還有一份金融業(yè)的工作。李祥林從事的研究是確定資產(chǎn)間的相關(guān)性(correlation)，也就是將一些完全不同的事件之間的關(guān)聯(lián)度用數(shù)學(xué)模型來量化。這是金融領(lǐng)域中的一大難題，但他構(gòu)建的被稱為高斯相依函數(shù)的公式能以數(shù)學(xué)手段令極其復(fù)雜的風(fēng)險比以前更容易和精確地被衡量?；谶@一公式，金融機(jī)構(gòu)能夠大膽地出售各種新型證券和金融衍生品，將金融市場擴(kuò)張至幾乎不可思議的水平。從債券投資者到華爾街的銀行，從評級機(jī)構(gòu)到監(jiān)管機(jī)構(gòu)，幾乎每一個人都在使用李祥林的公式。很快，利用這一公式來衡量風(fēng)險的方法已經(jīng)在金融領(lǐng)域深入人心，并且?guī)腿藗冑嵉搅舜罅拷疱X，使得任何對此公式的局限性的警告都被人們忽視了。然而，突然間，使用這一公式的人們發(fā)現(xiàn)，金融市場開始出乎他們意料之外地變化。小小的裂縫在2008年演變成了巨大的峽谷，瞬間吞噬了成千上萬億的資金，將全球銀行體系推向了崩潰的邊緣，并引發(fā)了這場波及全球各個角落的經(jīng)濟(jì)危機(jī)?？梢钥隙ǖ卣f，李祥林在短期內(nèi)都不可能獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的眷顧了。而這場金融大海嘯也使得金融經(jīng)濟(jì)學(xué)此前受人們頂禮膜拜、堅信不疑的地位不復(fù)存在。為何數(shù)學(xué)公式的影響如此之大令人們驚詫的問題是，一個數(shù)學(xué)公式怎會給金融界帶來如此毀滅性的結(jié)果？答案隱藏在讓養(yǎng)老基金、保險公司和對沖基金向企業(yè)、各國家和購房者發(fā)放數(shù)萬億美元貸款的龐大債券市場中。一個企業(yè)若要發(fā)行債券借款，投資者會嚴(yán)密審查公司賬目，以確認(rèn)公司能有足夠資金償還貸款。若放款人認(rèn)為貸款的風(fēng)險很高，他們索要的利息率也會更高。債券投資者都是在賭“大概率事件”，如果債券違約的概率是1%，而他們可以獲得額外2%的利息，他們就會蜂擁而上購買該債券。這就好比一個賭場，人們不介意偶爾輸?shù)粢恍╁X，只要大多數(shù)的時間里，他們都在贏錢。債券投資者通常也對由數(shù)百乃至上千個住房按揭貸款構(gòu)成的資產(chǎn)池進(jìn)行投資?，F(xiàn)在涉及的這類活動總規(guī)模大得驚人：美國購房人所欠下總債務(wù)已達(dá)11萬億美元。然而，按揭貸款資產(chǎn)池的情況比債券市場更混亂。這類投資中，因購房者每月集體償還的現(xiàn)金量，是取決于已獲得再融資的購房人數(shù)量和因違約未還款人的函數(shù)，因此投資不存在保證性的確定利率。同樣，如此借貸活動也無固定的還款到期日。因購房人以無法預(yù)測的時間償還按揭，例如購房者決定出售房產(chǎn)，因此池內(nèi)的還款總數(shù)也是無規(guī)律可循。最令人頭痛的問題是，尚無法找到給違約出現(xiàn)機(jī)會確定一個單個概率值的辦法（即概率越高、貸款損失風(fēng)險越大）。華爾街解決的辦法是，通過一個稱之為劃分等級（tranching）的辦法，它將整個池內(nèi)各類資產(chǎn)進(jìn)行分級，創(chuàng)建以標(biāo)注3A評級的無風(fēng)險的安全債券。位于第一級別的投資者能夠最先獲得償還債息，其他類別投資者雖因違約風(fēng)險較高而評級稍低，但可收取更高的利率。評級機(jī)構(gòu)和投資者之所以對3A級的債券感到放心是因?yàn)樗麄兿嘈?，成百上千的貸款購房者不會在同一時間內(nèi)發(fā)生違約行為。某人可能會丟掉工作，其他人可能生病。但這些都是不會給按揭貸款資產(chǎn)池整體帶來重大影響的個體不幸事件。但所有的災(zāi)難性事件并非都是個體性，等級劃分做法并未解決資產(chǎn)池風(fēng)險的全部問題。房價可能下跌的事件會在同時影響到一大批人。如某購房者家附近住房價值下跌，此人住房的資產(chǎn)凈值也同樣會下降，他(她)周邊鄰居的房產(chǎn)會跟著下跌的可能性很大。一旦此購房人還款違約，周邊鄰居違約的可能性也很大。這就是所謂的相關(guān)性，即一個變量變化與另一些變量的關(guān)系和影響程度，度量此關(guān)系和關(guān)系程度高低是確定按揭貸款債券風(fēng)險大小的重要部分。只要投資者能夠?qū)︼L(fēng)險定價，他們就愿意冒險。他們厭惡的是不確定性，即無法確定風(fēng)險大小。正因如此，債券投資者、按揭貸款放款者拼命地想要找到能夠度量、模擬相關(guān)性，并對其進(jìn)行定價的方法。在計量模型應(yīng)用于金融市場前，令投資者對按揭貸款資產(chǎn)池中投資感到安全的唯一時刻是不存在風(fēng)險，即這類債券都是由聯(lián)邦政府通過房地美和房利美兩家企業(yè)進(jìn)行隱形擔(dān)保。隨著全球金融市場在上世紀(jì)90年代快速擴(kuò)張，數(shù)以萬億計美元要進(jìn)入市場，若投資者能夠找到確定任何資產(chǎn)間的相關(guān)關(guān)系的方法，這些資金便能順利進(jìn)入市場。但這是個折磨人的痛苦問題，特別是考慮到成百上千類資產(chǎn)在時刻不停波動和變化。無論是誰解決了這樣一個問題不僅會贏得華爾街永恒的感謝，而且非?？赡軙鹬Z貝爾獎委員會的關(guān)注。理解相關(guān)性概念為了讓大家更好地理解“相關(guān)性”這個概念，我們舉一個比較簡單的例子：假設(shè)一個在讀小學(xué)的小孩叫愛麗絲，她父母今年離婚的可能性是5%，她頭上長虱子的可能性是5%，她看到她的老師踩到香蕉皮摔倒的可能性是5%，她獲得班級朗讀比賽冠軍的可能性是5%。假設(shè)投資者們要交易一種基于愛麗絲身上發(fā)生的這些事件的概率的證券，他們的出價可能差不多。我們考慮兩個小孩，不僅僅是愛麗絲，還有她的同桌布蘭妮。假設(shè)布蘭妮的父母離婚了，愛麗絲的父母離婚的概率是多少？大多數(shù)情況下還應(yīng)該是5%，這就說明在這件事上，他們的相關(guān)性可能接近于0；如果布蘭妮頭上長了虱子，愛麗絲長虱子的可能性就會高很多，可能是50%，這說明他們的相關(guān)性是0.5左右；如果布蘭妮看到老師摔倒，因?yàn)樗齻兪峭?，愛麗絲也看到的概率可能是95%，這時她們的相關(guān)性接近1；如果布蘭妮獲得了班上朗讀比賽冠軍，愛麗絲獲得冠軍的可能性就是0，這件事上她們的相關(guān)性是-1。如果投資者交易的證券是基于這些事件同時發(fā)生在這兩個小孩身上的概率，他們的判斷就很可能大不相同了，因?yàn)楦黝愂录?，兩個小孩的相關(guān)性各不相同。但這是一個非常不精確的科學(xué)。單單是要確定一個人發(fā)生某件事的概率是5%，就已經(jīng)要費(fèi)很大精力來搜集歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計和誤差分析了，而還要在此基礎(chǔ)上判斷另一個人在這一個人發(fā)生這件事的條件下的概率就更加復(fù)雜，而且也缺乏相關(guān)的歷史數(shù)據(jù)，因此出現(xiàn)誤差的可能性也就更大。在住房抵押貸款市場里，這種相關(guān)性的計算更是難上加難。首先要計算某個地區(qū)房價下跌的概率，你可以觀察房價的歷史走勢來推測未來，但一個國家的宏觀經(jīng)濟(jì)形勢對房價的影響也極其重要。在此基礎(chǔ)上我們還要判斷，如果一個州的某個房子價格下跌，另一個州一間同樣的房子價格下跌的概率又是多少？李祥林取得突破性進(jìn)展李祥林，上世紀(jì)60年代出生在中國農(nóng)村，成績優(yōu)異，獲得了南開大學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士學(xué)位，后來去美國留學(xué)，獲得魁北克拉瓦爾大學(xué)的MBA學(xué)位。在此之后他繼續(xù)深造，先后獲得了加拿大滑鐵盧大學(xué)的精算學(xué)碩士學(xué)位和統(tǒng)計學(xué)博士學(xué)位。1997年他在加拿大帝國商業(yè)銀行開始了他的金融職業(yè)生涯，后來就職于巴克萊資本，并在2004年負(fù)責(zé)重建其數(shù)量分析小組。李祥林的學(xué)術(shù)背景在華爾街的精英中非常典型。由于從事學(xué)術(shù)研究的收入遠(yuǎn)不如華爾街投行和對沖基金給出的薪水高，從上世紀(jì)80年代開始，大量數(shù)理背景的高級人才進(jìn)入華爾街，從事金融衍生工具的創(chuàng)造、定價和套利。此時巧合的是，在摩根大通工作的李祥林在《固定收益雜志》上發(fā)表了一份名為“論違約相關(guān)性：相依函數(shù)方法”的論文。論文以相對簡單的數(shù)學(xué)方法（當(dāng)然是相對華爾街精英人士的水平來說），不用參考?xì)v史違約數(shù)據(jù)，而是使用了一種金融衍生產(chǎn)品——信用違約互換（CDS）的市場價格數(shù)據(jù)作為判斷違約相關(guān)性的依據(jù)。如果你是一個投資者，你可以選擇直接把錢借給借款者，也可以選擇向貸款者賣出CDS產(chǎn)品。它相當(dāng)于對貸出的款項進(jìn)行一種保險，以防借款者出現(xiàn)違約情況。這兩種方法都可以收取固定的收益——利息或者是保費(fèi)。兩者收益接近，但由于針對同一個借款者可以售出無限個CDS，CDS產(chǎn)品的供應(yīng)并不受限于債券發(fā)行的數(shù)量，所以處于開創(chuàng)階段的CDS市場以異乎尋常的速度增長，所向披靡，規(guī)模大大超過了作為其基礎(chǔ)資產(chǎn)的債券市場。當(dāng)一種CDS的價格上漲，這表明其標(biāo)的資產(chǎn)違約的可能性上升。李祥林的突破在于，他不去浪費(fèi)時間等待搜集足夠的實(shí)際違約數(shù)據(jù)，因?yàn)閷?shí)際違約在現(xiàn)實(shí)中比較少，取而代之，他利用CDS市場的歷史數(shù)據(jù)作為判斷依據(jù)。假設(shè)有兩個借款者，我們很難通過他們過去實(shí)際違約的情況來計算他們的違約相關(guān)性，因?yàn)榛蛟S他們過去沒有違約過。但我們可以通過觀察針對這兩位借款者的CDS的歷史價格變化，如果走勢較為一致，那么可以證明他們的相關(guān)性較大。李祥林利用這種價格走勢的相關(guān)性作為“捷徑”，假設(shè)了金融市場，這里特別是CDS市場，能夠正確地對違約的可能做出相應(yīng)的價格反映。這是對一個復(fù)雜問題進(jìn)行的巧妙簡單化。而且李祥林不僅僅簡化了相關(guān)性的計算，他還決定完全不考慮資產(chǎn)池中的各個貸款之間復(fù)雜的關(guān)系變化。例如，如果資產(chǎn)池中的貸款數(shù)目增加，會發(fā)生什么變化？如果你將負(fù)相關(guān)性的貸款和正相關(guān)性的貸款組合放在一起，整個資產(chǎn)池的風(fēng)險又如何變化？他說，都不用管這些。我們只用管一個最終的相關(guān)性數(shù)據(jù)，一個簡單明了的數(shù)據(jù)就代表所有我們需要考慮的東西。這一發(fā)明使市場迅速發(fā)展這一公式的發(fā)明對資產(chǎn)證券化市場具有閃電效應(yīng)。有了這一風(fēng)險定價公式，華爾街的精英們看到了新的無限可能。他們馬上著手創(chuàng)造大量新的3A證券。而像穆迪這樣的評級機(jī)構(gòu)再也不用苦惱這些證券背后所代表的資產(chǎn)的各種風(fēng)險，他們只需要考慮這個簡單的相關(guān)性數(shù)據(jù)，然后就出來了一個評級，告知人們這些資產(chǎn)的風(fēng)險到底多高。因此，幾乎任何資產(chǎn)都可以捆綁在一起變成3A證券——公司債券、銀行貸款、住房抵押證券等等。這樣形成的資產(chǎn)池一般被稱為債務(wù)抵押證券（CDO），通過將資產(chǎn)池分級，打造出3A級的證券，即使這個證券的組成資產(chǎn)沒有一個是3A級的。那么對于資產(chǎn)池中較低級別的證券怎么辦？他們也想出了好辦法：把多種CDO資產(chǎn)池中低級別的證券再捆綁在一起，組成一個資產(chǎn)池，再次進(jìn)行分級。這樣組成的投資工具叫做CDO２。到此為止，已經(jīng)沒有人真正知道這個產(chǎn)品包含了什么基礎(chǔ)資產(chǎn)。但他們并不在乎，一切只需要李祥林的相依函數(shù)公式（Copula

Function）就可以了。這些年里，CDS和CDO市場相互依存，共同壯大。數(shù)據(jù)顯示，2001年年底，在外流通的CDS總額高達(dá)9200億美元。到2007年年底，這一數(shù)字飆升至62萬億美元。同樣，CDO市場總規(guī)模在2000年僅為2750億美元，到2006年擴(kuò)大至47000億美元。這些市場發(fā)展的基礎(chǔ)就是李祥林的公式。如果你問一些市場參與者，他們都會用“極好、簡潔、好處理”這一類詞來形容這一公式。這一公式幾乎是普遍適用，于是，無論是銀行打包新的債券，還是交易員、對沖基金對這些債券進(jìn)行復(fù)雜的交易時，大家都會用到這一公式。公式背后的隱憂曾在穆迪的學(xué)術(shù)顧問研究委員會任職、現(xiàn)任美國斯坦福大學(xué)金融學(xué)教授的達(dá)雷爾?達(dá)菲（Darrell

Duffie）指出，CDO市場幾乎完全依賴這一相關(guān)性模型，高斯相依（Gaussian

copula）一詞已經(jīng)成為全球金融界普遍接受的詞匯，就連經(jīng)紀(jì)商都依據(jù)這一公式對某個級別的債券進(jìn)行報價。正如衍生品大師珍妮?塔瓦科里（Janet

Tavakoli）所描述的那樣，基于相關(guān)性的交易已經(jīng)像一個極具傳染性的思想病毒，遍布金融市場的每個角落。其實(shí)早在1998年，李祥林發(fā)明這一函數(shù)之前，數(shù)量金融學(xué)的顧問和講師魏爾莫特（Paul

Wilmott）就指出，金融數(shù)量之間的相關(guān)性是出了名的不穩(wěn)定，任何理論都不能建立在這樣不可預(yù)測的參數(shù)之上。這樣的聲音不止一個，在美國金融行業(yè)繁榮的數(shù)年里，每個人都可以說出一大堆理由證明這一函數(shù)公式并不完美，它無法應(yīng)對不可預(yù)知的情況：它假定相關(guān)性是一個常量而不是變量。投行也經(jīng)常打電話給斯坦福大學(xué)的達(dá)菲教授，邀請他解釋這一公式。每一次，他都會警告投行，這一公式并不適用于風(fēng)險管理和估價。現(xiàn)在看來，對這些警告的充耳不聞簡直是笨透了。但在當(dāng)時，這確實(shí)是一件很簡單的事。投行們并沒有理會這些警告，一方面是因?yàn)槭治湛刂拼髾?quán)的經(jīng)理們并不懂金融工程精英的各派爭論，也無法理解各種數(shù)學(xué)模型的真正含義；另一方面，他們賺了太多錢，貪欲已經(jīng)無法讓他們停下來了。在金融市場，風(fēng)險是永遠(yuǎn)無法消除的。我們只能努力建立一個市場，讓不想承擔(dān)風(fēng)險的人們將風(fēng)險轉(zhuǎn)嫁給愛冒險的人。在CDO市場，人們用這一公式讓自己相信自己沒有風(fēng)險，但實(shí)際上，他們只是99%的時候沒有風(fēng)險。一旦1%的可能出現(xiàn)，他們就會前功盡棄、尸骨無存。李祥林的公式被用于對上億的住房貸款組成的CDO資產(chǎn)池進(jìn)行定價。因?yàn)樗墓揭韵嚓P(guān)CDS的歷史價格走勢為基礎(chǔ)，因此相關(guān)性的計算只能局限于CDS出現(xiàn)