2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)勢(shì)必自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，惟獨(dú)一

項(xiàng)是符合題目要求的。

3-i

1.設(shè)Z=——，則W=

1+2i

A.2B.√3C.√2D.1

2,已知集合U={l23,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則BrSlCA

u

A.{16}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

3.已知a=log0.2,b=2o.≥jc=02.3,則

2

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是、后一1

2

（、'片^T≈0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人

2

體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是、'丐一L若某人滿足上述兩個(gè)黃金

2

分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

5.

6.某學(xué)校為了解IooO名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,1000,從這些新

生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4

名學(xué)生中被抽到的是

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)學(xué)生

7.tan255o=

A.一2一^3B.—2+√5^C.2-√3D.2+√3

8.已知非零向量a,b滿足同=2目，且（a-b）J_b,則a與Jb的夾角為

ππ5π

A-B-D

.6-36

1

9.如圖是求2+1

1的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

2+2

11

A.A=——τ-B.A=2+?C.A=-----rrrrD.A=1+~T

2+A1+2A2A

X2V2

10.雙曲線C:-y=l(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130。,則c的離心率為

a2b2

11

A.2sin40oB.2∞s40oC.----------D.----------

sin50o∞s50o

1

11.ZV?BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA—bsinB=4csinCcosA=--

4，

則9=

C

A.6B.5C.4D.3

12.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F-1,0,F1,0,過F的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若

22

∣AF∣=2∣FB∣,IABl=IBFI,則C拘?^程為

221

X2X2X2y2=1X2y2=1

A-^+y2=1B一+絲1c—+D-+

3—24^T.5N

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3(X2+x)eχ在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

3

14.記Sn為等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和,若丐=1.S=,則$4=

rl34

函數(shù)f(X)=sin(2×+3π)-3∞sx的最小值為

15.

2

16.已知∕ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)P到/ACB兩邊AC,BC的距離

均為,那末P到平面ABC的距離為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟。第17~21題為必考題

每一個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：60分。

17.(12分)

某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的

服務(wù)給出滿款或者不滿意聯(lián)評(píng)價(jià)，鬻%卜面列聯(lián)-

不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率;

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

n(adbc)2

付.K2=----------------------------------

(a+bMc+d)(a+CMb+d).,,,

P(K2≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12分)

記Sn為等差數(shù)列｛atl｝的前n項(xiàng)和，已知S9=-a5.

(1)若a3=4,求｛atl｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a1>0,求使得Sn>an的n的取值范圍.

19.(12分)

o

如圖，直四棱柱ABCD-A∣B］C∣D∣的底面是菱形，AA1=4,AB=2,ZBAD=60,E,M,

N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CQE；

(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.

20.(12分)

已知函數(shù)f(X)=2sinχ-XCOSX-X,/(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：/(X)在區(qū)間(0,公存在惟一零點(diǎn)；

(2)若x∈［0,π］時(shí)，f(X)>ax,求a的取值范圍.

21.(12分)

已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，IABI=A,C)M過點(diǎn)A,B且與直線x+2=0相切.

(1)若A在直線x+y=O上，求。M的半徑.

(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，IMA卜IMPl為定值？并說明理由.

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

、=1-t2

在直角坐標(biāo)系xθy中，曲線C的參數(shù)方程為〈1：；（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)0

Hy=uT

為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為

2pcosθ+√r3psinθ+11=0.

（1）求C和I的直角坐標(biāo)方程；

（2）求C上的點(diǎn)到I距離的最小值.

23.［選修4-5：不等式選講］（IO分）

已知a,b,C為正數(shù)，且滿足abc=1.證明：

111.

（1）++<a?+fe+o.

abc

（2）（a+b）?+（b+c>+（c+a）?之24.

答案

一、選擇題

1.C2.C3.B4.B5.D6.C

7.D8.B9.A10.D11.A12.B

二、填空題

515.-416,、至

13.y=3x14."

8

三、解答題

17.解：

40

（1）由調(diào)查數(shù)據(jù),男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為F=08，因此男顧客對(duì)該商

50

場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.

女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為中=0.6,因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率

的估計(jì)值為0.6.

⑵K2=100根（40根20-30根IoN?4762

50根50根70根30

由于4.762>3?841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

18.解:

Cl)設(shè)｛a｝的公差為d.

n

由S=-a得a÷4d=O.

951

由a3=4得%+2d=4.

于是a=8,d=-2.

1

因此｛a｝的通項(xiàng)公式為a=W-2n.

nn

(2)由(1)得a=-4d,故a=(n-5)d,S=rι(n-9)Cl

1nn2

由a>0知d<0,故S≥a等價(jià)于佯-11n+100,解得ι≤nwιo.

1nn

所以n的取值范圍是｛n∣1≤n≤10,neN｝.

19.解：

(1)連結(jié)BC,ME.因?yàn)镸,E分別為BB,BC的中點(diǎn)，所以ME〃BC,且

111

ME=LBC.又因?yàn)镹為AD的中點(diǎn)，所以ND=LAD.

21121

由題設(shè)知AB《DC,可得AD,WME&ND,因此四邊形MNDE為平行四

1111

邊形，MN〃ED.又MN丈平面CDE,所以MN〃平面CDE.

11

(2)過C作ClE的垂線，垂足為H.

由己知可得DE」BC,DEJCC,所以DEJ_平面C∣CE,故DELCH.

從而CHL平面CDE,故CH的長即為C到平面CDE的距離，

11

由已知可得CE=I,C,C=4,所以CE=Jl7,故CH—?———.

1117

從而點(diǎn)C到平面CDE的距離為空7.

117

20.解：

(1)設(shè)g(x)=f,(x)，則g(x)=cosx+xsinx—1,g,(x)=xcosx.

當(dāng)Xe(0,2)時(shí)，g,(χ)>o；當(dāng)χe(∣(2，)時(shí)，g,(χ)<0，所以g(χ)在(0,單調(diào)遞

()

增，在|(2，)1單調(diào)遞減.

又g(0)=0,g(∣(2∣>0,g()=—2,故g(x)在(0,)存在惟一零點(diǎn).

所以f,(x)在(0,)存在惟一零點(diǎn).

(2)由題設(shè)知f()2a,f()=0,可得awo.

由(1)知，f,(x)在(0,)惟獨(dú)一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為X,且當(dāng)xe(θ,x)時(shí)，f,(x)>O;

00

當(dāng)xe(x,)時(shí)，f,(x)<0,所以f(X)在(θ,x)單調(diào)遞增，在(x,)單調(diào)遞減.

000

又f(0)=0,f()=0,所以，當(dāng)xe[0,]時(shí),f(x)≥0.

又當(dāng)a<0,xe[0,]時(shí)，aχ<o,故f(x)>ax.

因此，a的取值范圍是(T為,0].

21.解：(1)因?yàn)镃)M過點(diǎn)A,B,所以圓心M在AB的垂直平分線上.由己知A在直線x+y=O

上，且A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以M在直線y=x上，故可設(shè)M(a,a).

因?yàn)镺M與直線x+2=0相切，所以O(shè)M的半徑為r=∣a+2|.

由已知得IAe)I=2,又MO」AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或者a=4.

故OM的半徑r=2或者r=6.

(2)存在定點(diǎn)P(1,0),使得IMA∣IMPI為定值.

理由如下:

設(shè)M(x,y)，由已知得OM的半徑為r=∣x+2∣,∣AO∣=2.

由于故可得*2+丫2+4=便+2)2,化簡得M的軌跡方程為y2=4x.

因?yàn)榍€C:y2-4x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn)，以直線X-1為準(zhǔn)線的拋物線，所以

∣MP∣=x+1.

因?yàn)镮MAl∣MP∣=r∣MP∣=x+2(x+1)=1,所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

.1t≤y￥「1t2￥4t≡

22.解：CI)因?yàn)镮J,≤1,且X24?"=τ,,+/Y=1,所以C的直角

1+t212JV1+t2>(1+feJ2

坐標(biāo)方程為χ2+*-