2023年中考數(shù)學解答題專項復習講義-第6講概率

第0講：概率

2023年中考數(shù)學解答題專項復習講義（人教版）

第一部分：中考真題

1、媽媽給小紅和弟弟買了一本劉慈欣的小說《流浪地球》，姐弟倆都想先睹為快.是小紅對弟弟說：我

們利用下面中心涂黑的九宮格圖案（如圖所示）玩一個游戲，規(guī)則如下：我從第一行，你從第三行,

同時各自任意選取一個方格，涂黑，如果得到的新圖案是軸對稱圖形.我就先涂，否則你先涂.小

紅設計的游戲?qū)Φ艿苁欠窆?？請用畫樹狀圖或列表的方法說明理由.（第一行的小方格從左至右

分別用4B,C表示，第三行的小方格從左至右分別用〃，E,尸表示）

【答案】解：不公平，理由如下：

根據(jù)題意，畫樹狀圖如圖：

第一行

第三行

第一行

/T\

DEF

由樹狀圖可知，共有9種等可能出現(xiàn)的情況，其中得到軸對稱圖案的情況有5種，分別為（4、〃）、（爾

F）、（8、E）、（G。）、（G尸）.

:.P（小紅先涂）=|.

尸（弟弟先涂）3.

..5,4

99

.?.小紅設計的游戲?qū)Φ艿懿还?

【解析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出圖案是軸對稱圖形數(shù)量，然后計算她們獲勝的概

率，再根據(jù)概率的大小判斷該游戲是否公平.

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果,，再從中選出符合事件/

或6的結(jié)果數(shù)目0,然后利用概率公式計算事件4或事件6的概率.

2、甲、乙兩人去超市選購奶制品，有兩個品牌的奶制品可供選購，其中蒙牛品牌有兩個種類的奶制品:

A.純牛奶，B.核桃奶；伊利品牌有三個種類的奶制品：C.純牛奶，D.酸奶,E.核桃奶.

(1)甲從這兩個品牌的奶制品中隨機選購一種，選購到純牛奶的概率是;

(2)若甲喜愛蒙牛品牌的奶制品，乙喜愛伊利品牌的奶制品，甲、乙兩人從各自喜愛的品牌中隨機選購

一種奶制品，請利用畫樹狀圖或列表的方法求出兩人選購到同一種類奶制品的概率.

【解析】解：(1)???蒙牛品牌有兩個種類的奶制品：A.純牛奶，6.核桃奶；伊利品牌有三個種類的奶

制品：C.純牛奶，D.酸奶，E.核桃奶，

...甲從這兩個品牌的奶制品中隨機選購一種，選購到純牛奶的概率是：|;

故答案為：I；

(2)根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

AB

/T\A\

CDEcDE

共有6種等可能的情況數(shù)，其中兩人選購到同一種類奶制品的有2種，

則兩人選購到同一種類奶制品的概率是名.

(1)用純牛奶的個數(shù)除以總牛奶的個數(shù)即可得出答案；

(2)根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)和兩人選購到同一種類奶制品的情況數(shù)，然后根據(jù)概

率公式即可得出答案.

此題考查的是樹狀圖法求概率.樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

3、為了加快推進我國全民新冠病毒疫苗接種，在全國范圍內(nèi)構(gòu)筑最大免疫屏障，各級政府積極開展接種

新冠病毒疫苗的宣傳工作.某社區(qū)印刷了多套宣傳海報，每套海報四張，海報內(nèi)容分別是:

A.防疫道路千萬條，接種疫苗第一條;

B.疫苗接種保安全，戰(zhàn)勝新冠靠全員;

C接種疫苗別再拖，安全保障好處多;

D.疫苗接種連萬家，平安健康樂全家.

志愿者小張和小李利用休息時間到某小區(qū)張貼海報.

(1)小張從一套海報中隨機抽取一張，抽到8海報的概率是.

(2)小張和小李從同一套海報中各隨機抽取一張，用列表法或畫樹狀圖法，求他們兩個人中有一個人抽

到〃海報的概率.

【答案】解：⑴4

(2)畫樹狀圖如圖:

開始

小張ABCD

/N/T\/1\/1\

小李BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，小張和小李兩個人中有一個人抽到〃海報的結(jié)果有6種,

.??小張和小李兩個人中有一個人抽到〃海報的概率為能.

【解析】(1)小張從一套海報中隨機抽取一張，抽到8海報的概率是:，

4

故答案為：:；

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，小張和小李兩個人中有一個人抽到。海報的結(jié)果有6種，再

由概率公式求解即可.

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的

結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)

與總情況數(shù)之比.

第二部分：考點解讀

一、事件的分類

1.必然事件：在一定條件下一定會發(fā)生的事件，它的概率是L

2.不可能事件：在一定條件下一定不會發(fā)生的事件，它的概率是0.

3.隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，它的概率是0~1之間.

二、概率的計算

1.公式法

m

P(A)=〃，其中n為所有事件的總數(shù)，m為事件A發(fā)生的總次數(shù).

2.列舉法

(1)列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，應不重不漏地列出所有可

能的結(jié)果，通常采用列表法求事件發(fā)生的概率.

(2)畫樹狀圖法：當一次試驗要涉及2個或更多的因素時，通常采用畫樹狀圖來求事件發(fā)生的概率.

三、利用頻率估計概率

1.定義

一般地，在大量重復試驗中，如果事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)P附近，因此，用一個事件發(fā)生的頻

m

率〃來估計這一事件發(fā)生的概率.

2.適用條件

當試驗的所有可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，我們一般要通過統(tǒng)計頻率來估

計概率.

3.方法

進行大量重復試驗，當事件發(fā)生的頻率越來越靠近一個常數(shù)時，該常數(shù)就可認為是這個事件發(fā)生的概率.

四、概率的應用

概率是和實際結(jié)合非常緊密的數(shù)學知識，可以對生活中的某些現(xiàn)象做出評判，如解釋摸獎、評判游戲活

動的公平性、數(shù)學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件做出決策.

第三部分：自主練習

1、某超市為回饋廣大消費者，在開業(yè)周年之際舉行摸球抽獎活動.摸球規(guī)則如下：在一只不透明的口袋

中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后先從中任意摸出1個球(不放回)，再從余

下的2個球中任意摸出1個球.

(1)用樹狀圖列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)活動設置了一等獎和二等獎兩個獎次，一等獎的獲獎率低于二等獎.現(xiàn)規(guī)定摸出顏色不同的兩球和摸

出顏色相同的兩球分別對應不同獎次，請寫出它們分別對應的獎次，并說明理由.

2、據(jù)《德陽縣志》記載，德陽鐘鼓樓始建于明朝成化年間，明末因兵災焚毀，清乾隆五十二年重建.在

沒有高層建筑的時代，德陽鐘鼓樓一直流傳著“半截還在云里頭”的故事.1971年，因破四舊再次遭廢.現(xiàn)

在的鐘鼓樓是老鐘鼓樓的仿制品，于2005年12月27日破土動工，2007年元旦落成，坐落東山之巔，百

尺高樓金碧輝煌，流光溢彩；萬丈青壁之間，銀光閃爍，蔚為壯觀，已經(jīng)成為人們休閑的打卡勝地.學

校數(shù)學興趣小組在開展“數(shù)學與傳承”探究活動中，進行了“鐘鼓樓知識知多少”專題調(diào)查活動，將調(diào)

查問題設置為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四類.他們隨機抽取部分市民進行

問卷調(diào)查，并將結(jié)果繪制成了如下兩幅統(tǒng)計圖：

圖It“紳疑樓知識多少.條形統(tǒng)計圖圖2i-忡鼓樓知識知名少”扇影統(tǒng)計圖

(1)設本次問卷調(diào)查共抽取了加名市民，圖2中“不太了解”所對應扇形的圓心角是〃度，分別寫出〃?，

n的值.

(2)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，在12000名市民中，估計“非常了解”的人數(shù)有多少？

(3)為進一步跟蹤調(diào)查市民對鐘鼓樓知識掌握的具體情況，興趣組準備從附近的3名男士和2名女士中隨

機抽取2人進行調(diào)查，請用列舉法(樹狀圖或列表)求恰好抽到一男一女的概率.

3、第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4至20日在我國北京-張家口成功舉辦，其中張家口賽區(qū)

設有四個冬奧會競賽場館，分別為：A.云頂滑雪公園、B.國家跳臺滑雪中心、C.國家越野滑雪中心、

〃國家冬季兩項中心.小明和小穎都是志愿者，他們被隨機分配到這四個競賽場館中的任意一個場館的

可能性相同.

(1)小明被分配到D.國家冬季兩項中心場館做志愿者的概率是多少？

(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小穎被分配到同一場館做志愿者的概率.

4、“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手

勢中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏.假設甲、

乙兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種.

(1)甲每次做出“石頭”手勢的概率為;

(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕?

5、為傳播數(shù)學文化，激發(fā)學生學習興趣，學校開展數(shù)學學科月活動，七年級開展了四個項目：A.閱讀

數(shù)學名著；B.講述數(shù)學故事；C.制作數(shù)學模型；D.挑戰(zhàn)數(shù)學游戲要求七年級學生每人只能參加一項.為

了解學生參加各項目情況，隨機調(diào)查了部分學生，將調(diào)查結(jié)果制作成統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖(如圖)，請根

據(jù)圖表信息解答下列問題：

項目ABCD

人數(shù)/人515ab

（D?=,b=.（2）扇形統(tǒng)計圖中“8”項目所對應的扇形圓心角為一

度.

（3）在月末的展示活動中，“右’項目中七（1）班有3人獲得一等獎，七（2）班有2人獲得一等獎，現(xiàn)從

這5名學生中隨機抽取2人代表七年級參加學校制作數(shù)學模型比賽，請用列表或畫樹狀圖法求抽中的2

名學生來自不同班級的概率.

6、北京冬奧會、冬殘奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的跨越式發(fā)展，激發(fā)了青少年對冰雪項目的濃

厚興趣.某校通過抽樣調(diào)查的方法，對四個項目最感興趣的人數(shù)進行了統(tǒng)計，含花樣滑冰、短道速滑、

自由式滑雪、單板滑雪四項（每人限選1項），制作了如下統(tǒng)計圖（部分信息未給出）.

請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次調(diào)查中，一共調(diào)查了名學生；若該校共有2000

名學生，估計愛好花樣滑冰運動的學生有人；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）把短道速滑記為人花樣滑

冰記為反自由式滑雪記為G單板滑雪記為〃，學校將從這四個運動項目中抽出兩項來做重點推介，請

用畫樹狀圖或列表的方法求出抽到項目中恰有一項為自由式滑雪C的概率.

7、2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，優(yōu)化了課程設置，將

勞動從綜合實踐活動課程中獨立出來.某校以中國傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)為契機，組織全體學生參加包粽子勞

動體驗活動，隨機調(diào)查了部分學生，對他們每個人平均包一個粽子的時長進行統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪

制成如下不完整的統(tǒng)計圖表.

等級時長：(單位：分鐘)人數(shù)所占百分比

A0</<24X

B2</<420

C4</<636%

Dz>616%

根據(jù)圖表信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)為表中X的值為；

(2)該校共有500名學生，請你估計等級為5的學生人數(shù)；

(3)本次調(diào)查中，等級為A的4人中有兩名男生和兩名女生，若從中隨機抽取兩人進行活動感想交流，請

利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

8、有五個封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個紙箱內(nèi)各裝有一個西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg,

6kg,7kg,7kg,8kg.現(xiàn)將這五個紙箱隨機擺放.

(1)若從這五個紙箱中隨機選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是；

(2)若從這五個紙箱中隨機選2個，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為

15kg的概率.

9、某醫(yī)院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，其中甲是共青團

員，其余3人均是共產(chǎn)黨員.醫(yī)院決定用隨機抽取的方式確定人選.

(1)“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；

A.不可能B.必然C.隨機

(2)若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護