2024屆黑龍江哈爾濱市省實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高二年級上冊期末經(jīng)典試題含解析

2024屆黑龍江哈爾濱市省實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

已知點是雙曲線二-

1.F=1的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過歹作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、

a"

"兩點，若△GHE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.(l,2)

C.(2,l+V2)D.(l,l+V2)

2.《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問第11

日到第20日這10日共織布()

A.30尺B.40尺

C.6尺D.60尺

Y2

3.直線x-y+l=0被橢圓3十產(chǎn)=1所截得的弦長1A為等于()

A.竽B.&

C.272D.3亞

4.我們知道：用平行于圓錐母線的平面(不過頂點)截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分，如圖，在底

面半徑和高均為2的圓錐中，AB.CD是底面圓。的兩條互相垂直的直徑，E是母線的中點，已知過CZ＞與E的

平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點到其準線的距離等于()

C.-^2D.1

22

5.雙曲線言―言=1的兩個焦點為片，F(xiàn)2,雙曲線上一點P到月的距離為8,則點P到％的距離為（）

A.2或12B.2或18

C.18D.2

6.在數(shù)列｛%｝中，q=_；a=i一一二則。2020的值為（）

a

4n-l

「4

A.5B.一

5

C.--D.以上都不對

4

7.如圖，面積為S的正方形ABC。中有一個不規(guī)則的圖形可按下面方法估計M的面積：在正方形ABC。中隨

機投擲“個點，若”個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為一S,假設(shè)正方形ABC。的邊長為2,〃的

n

面積為1,并向正方形ABC。中隨機投擲10000個點，用以上方法估計〃的面積時，〃的面積的估計值與實際值之

差在區(qū)間（-0.03,0.03）內(nèi)的概率為

k

附表：P(k)=ECooooX0.25,X0.75必眸‘

r=0

k2424242525742575

pg0.04030.04230.95700.9590

A.0.9287B.0.9187

C.0.9167D.0.9147

8.4位同學(xué)報名參加四個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（）

A.24種B.81種

C.64種D.256種

?v224

9.已知雙曲線C：=-3=1（4>0,6>0）的左、右焦點分別為《，工，過點耳且斜率為-一的直線與雙曲線在第

ab7

二象限的交點為A,若（耳耳+耳A）?&A=0,則雙曲線。的離心率是（）

45

A.-B.-

33

3

C.一D.2

2

10.已知隨機變量JN(3,〃)，p(^<4)=0.76,則P(J<2)的值為()

A.0.24B.0.26

C.0.68D.0.76

11.命題P：任意圓的內(nèi)接四邊形是矩形，則M為()

A.每一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形

B.有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形

C.所有圓的內(nèi)接四邊形不是矩形

D.存在一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形

3a

12.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若COS3=M，a=5,一ABC的面積為10,則的值

sinA

為()

5有

A.在B.

22

「5A/23亞

u.------D.

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A4GA中，E為的中點，點尸在線段上,分別記四棱錐P-ABCD,

尸-M2。的體積為匕匕，則彳+V的最小值為

14.正四棱錐P-ABCD底面邊長和高均為2,瓦凡G,"分別是其所在棱的中點，則棱臺￡FG//-A3CD的體積為

D

B

15.已知拋物線C：V=2py(p〉0)的焦點歹到準線的距離為4,過點尸和R>,0)的直線/與拋物線C交于P,Q

兩點.若RP=PF，則I尸。1=1

16.過拋物線C:無2=8y的準線上任意一點p做拋物線的切線Q4P3,切點分別為A6,則A點到準線的距離與3

點到準線的距離之和的最小值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知兩個定點4(0,4),6(0,1),動點p滿足|/訓(xùn)=21PBi,設(shè)動點p的軌跡為曲線E,直線/：y=區(qū)―4

(1)求曲線E的軌跡方程；

(2)若/與曲線上交于不同的C、D兩點,且NCO￡>=120°(。為坐標原點)，求直線/的斜率；

18.(12分)已知｛4｝是等差數(shù)列，｛2｝是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，4=優(yōu)=1,再從①為+%=10;②4%=4；

③這三個條件中選擇，兩個作為已知.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛2｝的前”項和.

19.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，q=2,且S〃M=2S“+2.

(1)求數(shù)列｛%,｝的通項公式；

1111c

⑵在區(qū),與4+i之間插入“個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為4的等差數(shù)列，求證：y+—+y+---+—<3

口2口3口,

20.(12分)已知塞函數(shù)1)2——+2在@+8)上單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)=土三的定義域為集合A

4+x

(1)求加的值；

(2)當(dāng)xe伏』次>0時，/(%)的值域為集合B,若％e8是xeA成立的充分不必要條件，求實數(shù)左的取值范圍

21.(12分)如圖，在四棱錐A—BCDE中，四邊形BCDE為平行四邊形，且BC=2,ZCBE=45°,三角形ABE

為等腰直角三角形，且AB=2,ZBAE=90°.

(1)若點。為棱BE的中點，證明：平面ACD，平面AOC；

(2)若平面ABE，平面3CDE,點口為棱BC的中點，求直線■與平面ADE所成角的正弦值.

22.(10分)已知命題p：實數(shù)x滿足。⑷+(a—2)2—2W0；命題°：實數(shù)x滿足/—3x+2<0.若p是g的必

要條件，求實數(shù)。的取值范圍

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】根據(jù)△GHE是等腰三角形且為銳角三角形，得到|G司<|跖|,即忙<a+c,解得離心率范圍.

a

2272((r2、

【題目詳解】F(-C,O),當(dāng)x=-c時，=y=±±，不妨取G-C—,H-C,一一，

aba<a)\a)

△GH石是等腰三角形且為銳角三角形，則NGE尸<；,BP|GF|<|EF|,

吩

—<a+c,即c2V2a2+ac,^2—2<0>解得—1<ev2,故lve<2.

a

故選：B.

2、A

【解題分析】由題意可知，每日的織布數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得解.

【題目詳解】由題女子織布數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)第〃日織布為有囚=5,生0=1，所以

41+%2++〃20+%0)=5(%+〃30)=30，

故選:A.

3、A

【解題分析】聯(lián)立方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求距離.

x-J+1=O,,------------

由丁，得交點為(0J),則以為=/(3)2+(1+工)23A/2

【題目詳解】=

—+y-=1,22V22

L3,

故選：A.

4、C

【解題分析】由圓錐的底面半徑和高及E的位置可得0后=0,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可得C的坐標，設(shè)拋

物線的方程,將C的坐標代入求出拋物線的方程，進而可得焦點到其準線的距離

【題目詳解】

設(shè)A3,的交點為。，連接P。，由題意可得產(chǎn)。，面A3,所以由題意O8=OP=OC=2,因為E是母線

尸3的中點，所以=由題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，?P為y軸以O(shè)E為x軸，E為坐標原點，如圖所示：

可得：C(-A/2,2),

設(shè)拋物線的方程為產(chǎn)=機X,將C點坐標代入可得4=-"n，所以加=-2形,,所以拋物線的方程為：y2=-2y/2x,

所以焦點坐標為（-9⑼，準線方程為人與

所以焦點到其準線的距離為J5

故選:c

y

5、c

【解題分析】利用雙曲線的定義求|尸閭.

【題目詳解】解：由雙曲線定義可知：||「耳|一8|=2。=10

解得|P閭=18或—2（舍）???點尸到工的距離為18,

故選：C.

6、C

【解題分析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點，進而可求.

1,1

【題目詳解】解：%=-一，4=1——

4an_x

%=1=一：=%

。34

??.數(shù)列｛4｝是以3為周期的數(shù)列

一〃2020—a\~~~

故選：C

【題目點撥】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項，解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點,

屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解題分析】每個點落入M中的概率為工，設(shè)落入M中的點的數(shù)目為X,題意所求概率為

4

y2574

10000

P（-0.03<-------x4-l<0.03）=P（2425<X<2575）=fC；oooox0.25'xO.VS-'=0.9570-0.0423=0,9147

10000Z=2426

故選D

8、D

【解題分析】利用分步乘法計數(shù)原理進行計算.

【題目詳解】每位同學(xué)均有四種選擇，故不同的報名方法有44=256種.

故選：D

9、B

【解題分析】根據(jù)（耳耳+耳A）?&A=0得到三角形A4耳為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到|明設(shè)

0a+c4

NAF】F,=e,進而作得出sin?=J」=—,由此求出結(jié)果

22c5

【題目詳解】因為（月及+與4）?瓦X=o,

所以（耳心+耳4）.（呼4_￡8）:耳/—耳工2=0,即降=麗

所以|伍|=閨閭=2c,

由雙曲線的定義，^l\AF2\=2a+2c,

設(shè)/4耳鳥=，，則tan8=_a，易得出”―乙也2一尸小。=）,

7252V25

如圖，作耳"為垂足,

f)+c+c

則sinZ=4三，所以竺￡=4?,即c上=5士，即雙曲線。的離心率為51.

22c2c5a33

故選：B

10、A

【解題分析】根據(jù)給定條件利用正態(tài)分布的對稱性計算作答.

【題目詳解】因隨機變自N(3,"),P《<4)=0.76,有P(f<4)=P(”4)=0.76,由正態(tài)分布的對稱性得：

W2)=P(空4)=1-P信<4)=1-0.76=0.24,

所以P(J<2)的值為0.24.

故選：A

11、B

【解題分析】全稱命題的否定特稱命題，任意改為存在，把結(jié)論否定.

【題目詳解】全稱量詞命題的否定是特稱命題，需要將全稱量詞換為存在量詞，答案A,C不符合題意，同時對結(jié)論

進行否定，所以9：有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形，

故選:B.

12、A

4L

【解題分析】由同角公式求出sin3=g，根據(jù)三角形面積公式求出c=5,根據(jù)余弦定理求出匕=2遙，根據(jù)正弦定

理求出

sinA

34

【題目詳解】因為3￡(0,〃),COS5=M，所以sinB=1，

14

因為〃=5,一ABC的面積為10,所以SABC=—x5xcx—=10,故。=5,

25

從而從=〃2+。2_2accosB=20,解得b-245，

由正弦定理得：2—=上叵.

sinAsin52

故選：A.

【題目點撥】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

32

13、—

9

【解題分析】設(shè)EP=2E。，用參數(shù)彳表示目標函數(shù)，利用均值不等式求最值即可.

【題目詳解】取線段AD中點為F,連接EF、DiF,過P點引？M，。石于M,PN，D1R于N,

則PM，平面ABCD,PN人平面A41no,

44

則K=-PM,V2=qPN，

...匕2+匕2=+PN?),

設(shè)EP=AED、,

^PMAPN1-2

則—~T，......—9

DD11EF1

即PM=24,PN=2(1-X),

.?.片+%2吟印+圖一月猾^+一月吟號,

當(dāng)且僅當(dāng)幾=；時，等號成立，

32

故答案為：—

7

14、-

3

Q1

【解題分析】分別計算/一.。=3,Yp_EFGH=M作差得到答案?

【題目詳解】G,H分別是其所在棱的中點，則正四棱錐尸-EPGH底面邊長和高均為1,

]811

^P-ABCD=-X2X2X2=J,吃-EFGH==§，

7

故VEFGH-ABCD=^P-ABCD~^P-EFGH=§,

..7

故答案為：—.

3

15、9

【解題分析】根據(jù)拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點尸到準線的距離為4,求得拋物線方程x2=8y.

再由我尸=尸尸和F(0,2),得到點P的坐標，進而得到直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立求得。的坐標，再由兩點間

距離公式求解.

【題目詳解】由拋物線C必=2py(p〉0)的焦點尸到準線的距離為%

所以P=4,

所以拋物線方程為好=8〉.

因為RP=PF,尸(0,2),

所以點尸的縱坐標為1,

代入拋物線方程，可得點尸的橫坐標為±2也，

不妨設(shè)P(-2A/2,1),則kpF=-2T廠=—,

0-(-2V2)4

故直線，的方程為>=注％+2,

4

將其代入—=8y得/―2缶-16=0.

可得。(40,4),

故|PQ|=^(-272-4A/2)2+(1-4)2=9?

故答案為：9

【題目點撥】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

16、8

【解題分析】設(shè)&占，()，B?,1)，由f=8y可得丁=今，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切線的方程，聯(lián)立求

得P點的坐標，再根到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，三點共線時距離最小，進而求出最小值

【題目詳解】解：設(shè)A(玉，三)，8仁，今)，由-=8y可得y=會，所以y=:,

所以直線24,網(wǎng)的方程分別為：尤-％),言(尤-》

"X2X、CX+X,

y———L(zx-x)x=-

-841w2

即P("三，華)，又有「在準線上，所以華=一2,

288

所以再％=-16,

設(shè)直線A5的方程為：y=kx-\-m,

代入拋物線的方程可得：x2-8Ax-8m=0，可得玉%=-8〃?，

所以可得加=2,即直線恒過(0,2)點，即直線恒過焦點(0,2),

2

即直AB的方程為：y^kx+2,代入拋物線的方程：x-Skx-16^0,

2

入1+%2=8左，所以％+%=左(西+%)+4=8%+4,

A點到準線的距離與B點到準線的距離之和=A尸+=%+%+4=8后2+828,

所以當(dāng)左=0時，距離之和最小且為8,這時直線A3平行于X軸

故答案為：8

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)x2+y2=4；(2)土正

【解題分析】（1）設(shè)點P的坐標為（龍,y）,由|上4|=2歸石，結(jié)合兩點間的距離公式，列出式子，可求出軌跡方程;

（2）易知|0C|=|0￡）|=2,且NCO￡>=120°,可求出0到直線CD的距離，結(jié)合點。（0,0）到直線/的距離為

IT

VF+i可求出直線/的斜率

【題目詳解】（1）設(shè)點P的坐標為（尤,y）,

由|R4|=2|P@,可得擊2+（y—盯=2j￡+（y—Ip,

整理得Y+/=4,所以所求曲線E的軌跡方程為必+/=4

⑵依題意，且NCOD=120。，

在△OCZ）中，NODC=30°，取CD的中點H,連結(jié)則OHLCD,

所以|。閭=|。刈.sinNQDC=2x；=1,

即點0（0,0）到直線/：而—y—4=0的距離為^^^=1,解得左=±JB,

[k2+1

所以所求直線/斜率為土

【題目點撥】本題考查軌跡方程，考查直線的斜率，考查兩點間的距離公式、點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查學(xué)生

的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18、答案見解析

【解題分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于基本量的方程組，求解后可得｛4｝的通項公式.

（2）利用公式法可求數(shù)列｛2｝的前〃項和.

【題目詳解】解：選擇條件①和條件②

（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,...[6[1'0…m

%+%=2q+4d=10.

解得：=1,d=2.***cin=1+—1）x2=2n—1,neN**

⑵設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為心q>09

1

“她b?=b用、q=」解得4'q：?.

設(shè)數(shù)列也｝的前〃項和為s“，_=2"T」

一1-22

選擇條件①和條件③:

〃二1

（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,...I'

a2+a4=2%+4d=10.

解得：q=l,d=2.二a”=l+(〃—l)x2=2〃—1.

（2）”=%=9,設(shè)等比數(shù)列出｝的公比為4,q>0.

??kz30，解得4=：，4=3.

[b4=b]q=9.3

1(1-3")3"-1.

設(shè)數(shù)列\(zhòng)b\的前n項和為S,,3

一1-36

選擇條件②和條件③:

⑴設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為q,q>0,

b7=bq=l,11,

.24,?解得4=7,q=2,a5=b4=—x2^=4.

[b2b4=b^q=4.22

3

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,???%=%+4〃=4,又％=1,故d="

'7444

（2）設(shè)數(shù)列出｝的前〃項和為S“,

由（1）可知c

0=2“T」

"1-22

【題目點撥】方法點睛：等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本

量的方程或方程組，再運用基本量解決與數(shù)列相關(guān)的問題；（2）利用數(shù)列的性質(zhì)求解即通過觀察下標的特征和數(shù)列和

式的特征選擇合適的數(shù)列性質(zhì)處理數(shù)學(xué)問題

19、(1)%=2"

（2）證明見解析

S],"=1ZX

【解題分析】（l）根據(jù)。c作差即可得到｛4｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列

[Sn-Sn_1,n>2

的通項公式；

（2）由（1）可知4=2",。“+1=2向，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到必=—,即可得到丁=工廠，再令

n+1??2

,1111

4=7+7+7+…+7，利用錯位相減法求出I,,即可得證;

c//]

【小問1詳解】

解：因為q=2,且Sn+i=2Sn+2,當(dāng)〃=1時S2=2Si+2,則。2=4,所以%=2q,當(dāng)2時,Sn=2sM+2，

則S“+「S”=2S,+2—2S,T—2,即4+1=24,所以｛為｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以。"=2”；

【小問2詳解】

r\n+lr>nr\n[幾十]

+1

解：由(1)可知4=2",an+1=T,因為a.=&+(〃+2—1)或，所以或=/=1,所以丁=▼

〃+1〃+1an2

令小"+?..+》則北=2x出+3xg]+4義出++(〃+l)x1),所以

I。成呢+叫「,所以

；(=2xgJ+lxg]+lxgj++lxg]—(〃+l)xg[:即

3所以(=3—*<3,即L-+..J<3；

d]d?d〃

22"+1z

20、(1)m=2

(2)—<^<1

3

【解題分析】（1）根據(jù)塞函數(shù)的定義和單調(diào)性求解;

（2）利用根式函數(shù)的定義域和值域求得集合A,B,再由3是A的真子集求解.

【小問1詳解】

解：因為塞函數(shù)/（無）=（〃?—獷無存f+2在（o,+oo）上單調(diào)遞減,

(m-1)2=1

所以

m2-4m+2<0

解得m=2.

【小問2詳解】

由±3之0,得士口40,

4+x4+x

解得-4<xW3,

所以A=(—4,3],

當(dāng)xe伏,1],左＞0時/(%)=/的值域為1,

所以5=1,表

因為xeB是xwA成立的充分不必要條件,

所以5是A的真子集,

F-3

0<女<1

解得且〈左＜1.

3

21、(1)證明見解析

⑵述

3

【解題分析】(1)先證明AOLBE,COLBE,進而證明龐1平面AOC,即可證明CD,平面AOC,從而證

明平面ACDL平面AOC.

(2)以。點為坐標原點，分別以O(shè)C,