2022-2023學年湖南省邵陽市新寧縣第五中學高二數(shù)學理下學期摸底試題含解析

2022-2023學年湖南省邵陽市新寧縣第五中學高二數(shù)學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是（）A．對立事件 B．不可能事件

C．互斥但不對立事件 D．以上均不對參考答案：C2.定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則（

）A.；

B.8；

C.或8；

D.6

參考答案：B略3.在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢．問：幾日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日 D．12日參考答案：A【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1=103，d=13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1=103，d=13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；設第m天相逢，則a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故選：A．【點評】本題考查了等差數(shù)列在實際問題中的應用，屬于基礎題．4.已知直線l：x﹣y+4=0與圓C：，則C上各點到l的距離的最小值為（）A． B．2 C． D．參考答案：C【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】圓C：，化為直角坐標方程，可得圓心C（1，1），半徑r=2．利用點到直線的距離公式可得圓心C到直線的距離d．利用圓C上各點的直線l的距離的最小值=d﹣r．即可得出．【解答】解：圓C：（θ為參數(shù)），化為（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，可得圓心C（1，1），半徑r=2．∴圓心C到直線的距離d==2．∴圓C上各點的直線l的距離的最小值=2﹣2．故選C．5.函數(shù)f(x)=lnx–的零點所在的大致區(qū)間是(

)A．(1,2)

B．(2,3)

C．(1,)和(3,4)

D．(e,+∞)參考答案：B6.對于任意實數(shù)a、b、c、d，命題①；②③；④；⑤．其中真命題的個數(shù)是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A略7.函數(shù)的極大值與極小值之和為2，且，則（）A．－9

B．－8

C.9

D．10參考答案：B因為，所以選B.8.已知實數(shù)，則滿足不等式的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】在坐標平面中畫出基本事件的總體和隨機事件中包含的基本事件對應的平面區(qū)域，算出它們的面積后可得所求的概率.【詳解】基本事件的總體對應的不等式組為，設為“不等式成立”，它對應的不等式組為前者對應的平面區(qū)域為正方形邊界及其內(nèi)部，后者對應的平面區(qū)域為四邊形及其內(nèi)部（陰影部分），故，故選D.【點睛】幾何概型的概率計算關(guān)鍵在于測度的選取，測度通常是線段的長度、平面區(qū)域的面積、幾何體的體積等．9.給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是（

）A．①和②

B．②和③ C．③和④

D．②和④參考答案：D10.若復數(shù),則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列命題中_________為真命題．①“”成立的必要條件是“”；②“若，則，全為0”的否命題；③“全等三角形是相似三角形”的逆命題；④“圓內(nèi)接四邊形對角互補”的逆否命題．參考答案：②④12.曲線在點(0,1)處的切線方程為__________.參考答案：分析】利用導數(shù)值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程?！驹斀狻浚敃r其值為，故所求的切線方程為，即。【點睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．13.已知，則▲參考答案：114.在四面體ABCD中，AB=CD=，AD=BD=3，AC=BC=4，點E，F(xiàn)，G，H分別在棱AD，BD，BC，AC上，若直線AB，CD都平行于平面EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值是

．參考答案：2【考點】直線與平面平行的性質(zhì)．【分析】由直線AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG∥AB，同理EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，EF∥HG．四邊形EFGH為平行四邊形．又AD=BD，AC=BC的對稱性，可知AB⊥CD．所以：四邊形EFGH為矩形．建立二次函數(shù)關(guān)系求解四邊形EFGH面積的最大值．【解答】解：∵直線AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB；同理：EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．故：四邊形EFGH為平行四邊形．又∵AD=BD，AC=BC的對稱性，可知AB⊥CD．所以：四邊形EFGH為矩形．設BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）FG=2x，HG=2（1﹣x）SEFGH=FG×HG=8x（1﹣x）=﹣8（x﹣）2+2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：SEFGH面積的最大值2．故答案為2．15.已知f（x）=sin(ωx+)（ω>0），f()=f(),且f（x）在區(qū)間(,)有最小值，無最大值，則ω=____________.參考答案：由題意得，第一種情況是，此種情況不滿足，因為相差周期，會既有最大值也有最小值，不符。第二種情況是，又在區(qū)間有最小值，無最大值，所以，且對稱軸兩個數(shù)代入一定是關(guān)于最小值時的對稱軸對稱，即，解得，又，所以，填?！军c睛】本題是考慮三角函數(shù)圖像與性質(zhì)綜合，由于在區(qū)間有最小值，無最大值，且f=f，所以兩個數(shù)之差一定小于周期，且兩個x值一定關(guān)于最小值時的對稱軸對稱。16.在極坐標系中，已知兩點A、B的極坐標分別為（），（），則△AOB（其中O為極點）的面積為

。參考答案：317.設定義域為R的函數(shù)，若關(guān)于x的函數(shù)有8個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍是___

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設n∈N*且sinx+cosx=﹣1，請歸納猜測sinnx+cosnx的值．（先觀察n=1，2，3，4時的值，歸納猜測sinnx+cosnx的值，不必證明．）參考答案：【考點】歸納推理．【分析】先觀察n=1，2，3，4時的值，再歸納猜測sinnx+cosnx的值．【解答】解：當n=1時，有sinx+cosx=﹣1；當n=2時，有sin2x+cos2x=1；當n=3時，有sin3x+cos3x=（sin2x+cos2x）（sinx+cosx）﹣sinxcosx（sinx+cosx）注意到（sinx+cosx）2=（﹣1）2∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=1∴sinxcosx=0代入前式得sin3x+cos3x=1?（﹣1）﹣0?（﹣1）=﹣1．當n=4時，sin4x+cos4x=（sin3x+cos3x）（sinx+cosx）﹣sinxcosx（sin2x+cos2x）=（﹣1）2﹣0×1=1由以上我們可以猜測，當n∈N+時，可能有sinnx+cosnx=（﹣1）n成立．19.設函數(shù)，（1）①當m=2時，求f（4，y）的展開式中二項式系數(shù)最大的項；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二項式定理求的值（n≥1，n∈N*）．參考答案：考點： 二項式定理的應用；二項式系數(shù)的性質(zhì)．專題： 綜合題；二項式定理．分析： （1）①m=2時，f（4，y）的展開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項，求出即可；②由二項式的展開式的通項公式，結(jié)合題意求出m的值，再計算的值；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)f（x）=（1﹣x）n，利用二項式定理展開并求導數(shù)，兩邊再同乘x，求導數(shù)，利用特殊值x=1，即可求得結(jié)果．解答： 解：（1）①當m=2時，f（4，y）=的展開式中共有5項，二項式系數(shù)最大的項為第三項，∴T3=?12?=；②f（6，y）=的通項公式為Tr+1=??（﹣1）r?=（﹣1）r??26﹣r?m2r﹣6?，且f（6，y）=a0++…+，∴的系數(shù)為a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12，解得m=2；∴f（6，y）=的通項公式為Tr+1=（﹣1）r??26﹣r?22r﹣6?，∴ar=（﹣1）r??26﹣r?22r﹣6=2r，∴=2+22+23+…+26==27﹣1=127；（2）∵=﹣+22?﹣32?+42?+…+（﹣1）n?n2?∴設f（x）=（1﹣x）n=Cn0﹣Cn1x+Cn2x2﹣Cn3x3+…+（﹣1）n?Cnnxn…①，①式兩邊求導得：﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣Cn1+2Cn2x﹣3Cn3x2+…+（n﹣1）?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣2+n?（﹣1）n?Cnnxn﹣1，…②②的兩邊同乘x得：﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xCn1+2Cn2x2﹣3Cn3x3+…+（n﹣1）?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣1+n?（﹣1）n?Cnnxn，…③，③式兩邊求導得：﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣Cn1+22Cn2x﹣32Cn3x2+…+（n﹣1）2?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣2+n2?（﹣1）n?Cnnxn﹣1，…④，④中令x=1，得﹣+22?﹣32?+42?+…+（﹣1）n?n2?=0．點評： 本題考查了二項式定理的展開式應用問題，也考查了函數(shù)的導數(shù)應用問題，考查了賦值法求值問題，是綜合性題目．20.（本小題滿分12分）如圖，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓的頂點，是直線與橢圓的另一個交點，

(1)

求橢圓的離心率(2)

已知的面積為，求的值參考答案：

略21.已知函數(shù).（1）求最大值；（2）若恒成立，求a的值；（3）在（2）的條件下,設在上的最小值為m，求證：.參考答案：（1）；（2）2；（3）證明見解析.【分析】（1），判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解最大值；（2）要使成立必須，，判斷單調(diào)性求解即可得解（3），得，令判斷其單調(diào)性進而求得，得，再求的范圍進而得證【詳解】（1）,由得；得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，即；（2）要使成立必須.因為，所以當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以滿足條件的只有2，即.（3）由（2）知，所以.令，則，是上的增函數(shù)；又，所以存在滿足，即，且當時，；當，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以，即.所以，即.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查了零點存在定理和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，在（3）的證明過程中，利用零點存在定理轉(zhuǎn)化是難點屬中檔題．22.如圖在三棱錐S﹣ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M為AB的中點．（I）證明：AC⊥SB；（Ⅱ）求點B到平面SCM的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）欲證AC⊥SB，取AC中點D，連接DS、DB，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，只須證AC⊥SD且AC⊥DB，即得；（Ⅱ）設點B到平面SCM的距離為h，利用等體積法：VB﹣