2023年廣東省廣州市中考二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023年中考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.下列四個數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（）

A.：B.V15C.71D.-72

【答案】A

【解析】

【分析】整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，根據(jù)定義解答.

【詳解】解：《屬于有理數(shù)；赤、乃、-忘都屬于無理數(shù)，

故選：A.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的定義，熟記定義并正確區(qū)分有理數(shù)與無理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.單項式4孫2的次數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)單項式次數(shù)的定義，即單項式所含字母的指數(shù)和為單項式的次數(shù)，據(jù)此即可解答.

【詳解】解：單項式4孫2的次數(shù)為：1+2=3,

故選：C.

【點睛】本題考查了單項式次數(shù)的定義，熟練掌握和運用單項式次數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

3.若正數(shù)”的兩個平方根是3w一2與3-2機，則用為（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)即可求解.

【詳解】解：?.?正數(shù)。的兩個平方根是3機-2與3-2機，

-2+3——0>

解得：，"=-1,

故選C.

【點睛】本題主要考查了平方根，掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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4.下列運算正確的是().

A.|-2|--2B.(a%3)-=a%6

C.(a-1)=〃--1D.3+V3=3-\/3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的定義，積的乘方的計算法則，完全平方公式，實數(shù)的計算分別解答.

【詳解】解：卜2|=2,故選項A錯誤；

=a76,故選項B正確；

(a-1)2=/一2a+1,故選項C錯誤；

3+73=3+73-故選項D錯誤；

故選：B.

【點睛】此題考查了絕對值的定義，積的乘方的計算法則，完全平方公式，實數(shù)的計算，正確掌握各知識

點是解題的關(guān)鍵.

5.在一次科技作品制作比賽中，某小組八件作品的成績(單位：分)分別是7,10,9,8,7,9,9,8,

對這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()

A.中位數(shù)是8B.眾數(shù)是9C.平均數(shù)是8D.方差是0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)及方差的計算方法分別求解即可得到答案.

【詳解】解：A、按照從小到大的順序排列為7,7,8,8,9,9,9,10,由中位數(shù)的求解方法得到這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)為=8.5*8,該選項錯誤，不符合題意；

2

B、這組數(shù)據(jù)中眾數(shù)為9,該選項正確，符合題意；

C、這組數(shù)據(jù)平均數(shù)為，X(7+7+8+8+9+9+9+10)=8.375H8,該選項錯誤，不符合題意；

D、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.375,則方差為

，x12x(7—8.375)2+2x(8-8.375)2+3x(9—8.375)2+(10—8.375)21/0,該選項錯誤，不符合題

8L-

忌；

故選:B.

【點睛】本題考查統(tǒng)計綜合，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)及方差的計算方法是解決問題的關(guān)鍵.

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6.下列命題是真命題的是（）

A.一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角形互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判斷即可.

【詳解】解：A選項有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以此項錯誤；

B選項有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以此項錯誤；

C選項對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以此項錯誤：

D選項對角形互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以此項正確；

故選D.

【點睛】本題主要考查平行四邊形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱

形以及正方形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵.

[a+5b=12

7.已知“，6滿足方程組＜,，則a+b的值為（）

[3。一=4

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】B

【解析】

a+5b=12?

【詳解】解:乩-人=4②

①+②：4a+4h=16

則a+b=4.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法一一加減消元法、代入消元

法是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在中，ZC=90°,AC=6,8C=8,則口A8C的內(nèi)切圓的半徑，是（）

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C.4D.無法判斷

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等積法求內(nèi)切圓半徑，進行求解即可.

【詳解】解：VZC=90°,AC=6,BC=8,

?*,AB=A/62+82=10)

如圖：設(shè)口ABC的內(nèi)切圓與各邊的切點分別為點。,比尸，連接。。,。七,?？?，貝也

OD=OE=OF=r,OD±BC,OE±AC,OF±AB,

?ABC=AOB+AOC+BOC'

：.-ACBC=-AB-r+-ACr+-BCr即：6x8=(6+8+10)r,

2222

/.r=2;

故選A.

【點睛】本題考查求三角形內(nèi)切圓的半徑.熟練掌握等積法求內(nèi)切圓的半徑，是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，一次函數(shù)yi=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點，則函數(shù)y=ax?+(b—1)x+

c的圖象可能是()

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【答案】A

【解析】

【分析】由一次函數(shù)y尸x與二次函數(shù)y2=ax?+bx+c圖象相交于P、Q兩點，得出方程ax?+(b-1)x+c=O有兩

個不相等的根，進而得出函數(shù)丫=@乂2+(b1取+(:與x軸有兩個交點，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系得出函數(shù)丫=@乂2+

(b-1)x+c的對稱軸x=-—―->0,即可進行判斷.

2a

【詳解】點P在拋物線上，設(shè)點P(x,ax2+bx+c),又因點P在直線y=x上，

.*.x=ax2+bx+c,

ax2+(b-1)x+c=0；

由圖象可知一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q兩點,

???方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個正實數(shù)根.

?,?函數(shù)y=ax?+(b-1)x+c與x軸有兩個交點,

又；2>0,a>0

2a

?b-1b1八

2a2a2a

b-\

/.函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的對稱軸x=-------->0,

2a

?,?A符合條件，

故選A.

10.如圖,AB為O直徑，點C為圓上一點,將劣弧ACT沿弦AC翻折交AB于點D,連接CD,若點D與圓心O

不重合,NBAC=20。，則NDCA的度數(shù)是0

C.50°D.60°

【答案】C

【解析】

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【分析】連接BC,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出NACB,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/B,再根

據(jù)翻折及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到口℃所對的圓周角，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和，計算即可得解.

【詳解】如圖，連接BC,

VAB是直徑，

ZACB=90°,

VZBAC=20°,

ZB=90°-ZBAC=90°-20°=70°,

根據(jù)翻折的性質(zhì)，Ac所對的圓周角為/B,國0c所對■的圓周角為NADC,

/.ZADC+ZB=180°,

.\ZADC=180o-ZB=110°,

ZDCA=1800-ZBAC-ZADC=180°-20°-110°=50°.

故選C.

【點睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，難度適中，根據(jù)題意作出輔助線,

構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11.點（3,4）關(guān)于原點對稱的點的坐標是.

【答案】（-3,-4）

【解析】

【分析】根據(jù)點的對稱性，關(guān)于原點對稱的兩個點的各個坐標互為相反數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：點（3,4）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（-3,-4）,

故答案為：（一3,-4）.

【點睛】本題考查點的對稱，熟記點的對稱的坐標特征是解決問題的關(guān)鍵.

12.因式分解：3*-12=.

【答案】3（機+2）（機一2）

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【解析】

【分析】首先提取公因數(shù)3,進而利用平方差公式進行分解即可.

【詳解】解：原式=3(r一4)=3。+2)(尸2)；

故答案為：3(x+2)(x-2).

【點睛】此題主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正確應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵.

13.在口48。中，NB4C=70。，Nl=N2，則/AZ)C=.

【解析】

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及圖形中的各角之間的關(guān)系進行計算即可.

【詳解】解：如圖，vZl+Z3=ABAC=70°,ZADC+Z2+Z3=180°,/I=N2,

ZADC+Zl+Z3=180°,

即ZADC=180°-70°=110%

故答案為：110°.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和，掌握三角形內(nèi)角和是180。是正確解答的前

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)積的乘方運算的逆運算及乘方運算法則求解即可得到答案.

【詳解】解：22°23

(\V022

2X22。22X；

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（iY022

=2xr?j

—2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查有理數(shù)運算，涉及積的乘方運算的逆運算及乘方運算法則，熟練掌握相關(guān)運算法則是解

決問題的關(guān)鍵.

15.一元二次方程3x+〃z=0有兩個相等的實數(shù)根，點y）、B（z，必）是反比例函數(shù)y=?

上的兩個點，若。＜玉＜%2,則X%（填或“＞"或"=”）.

【答案】＞

【解析】

【分析】先根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根則△=（）求出m的取值，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)

論.

【詳解】解：?.?一元二次方程爐―3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，

，A=3?-4m=0，

9

:?m=一,

4

，反比例函數(shù)y=一經(jīng)過一、三象限，

x

又0＜玉＜々，

M＞%，

故答案為：＞.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程有

兩個相等的實數(shù)根求出值，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)求解.

16.如圖，在矩形A8CD中，AB=4,AO=8,點E,尸分別在邊上，且AE=3,按以下步驟

操作：第一步，沿直線EF翻折，點A的對應(yīng)點4恰好落在對角線AC上，點B的對應(yīng)點為3，，則線段

3廠的長為;第二步，分別在E￡AB'上取點M,N,沿直線MN繼續(xù)翻折，使點尸與點E重

合，則線段MN的長為.

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【答案】①.1②.垂）

【解析】

【分析】第一步：設(shè)律與AA咬于點。，連接AF,易證明△AOEU△4DC,利用對應(yīng)邊成比例可得到

OA=2OE,由勾股定理可求出0E=33,從而求得04及0C；由AD〃8C,易得△AOEs^C。凡由對

5

應(yīng)邊成比例可得AE、EC的關(guān)系式，設(shè)BF=x,則FC=8-x,由關(guān)系式可求得x的值；

第二步：連接NE,NF,根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE,設(shè)B，N=m,分別在RtANB'F和RtAEA'N

中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得〃z,最后得出結(jié)果.

【詳解】如圖所示，連接AF,

設(shè)所與4r交于點0,由折疊的性質(zhì)得到A'E=AE=3

?.,四邊形A8CD是矩形

ZADC=90°,CD=AB=4,AD//BC

VZAOE=ZADC,ZOAE=ZDAC

：.AAOEUAAOC,

.OECD

"04"AD-2

/.OA=2OE,

在直角AAOE中，由勾股定理得：OE2+4OE2=9，

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：,OE=^H-,

5

：.OA=^!L,

5

在吊入4。。中，由勾股定理得到：AC=〃2+82=4#)，

二℃=46―四

55

令BF=K,則FC=8-X,

'：AD//BC,

：.△AOEs/\cOF,

.OAAE3

"'OC~~FC~1'

即7AE=3FC

；.3(8-x)=7x3

解得：X=l,

???BF的長為1.

連接NE,NF,如圖,

8，

根據(jù)折疊性質(zhì)得：BF=B'F=1,MNA.EF,NF=NE,

設(shè)B'N=m,

貝IINF2=I2+m2=/VE2=32+(4-m)2,

解得：m=3,則NF=JIU，

,：EF=d*+42=2亞,

：.MF=y/5,

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:.MNY,

故答案為：1,、回.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，熟練運

用這些知識是解決本題的關(guān)鍵，本題還涉及到方程的運用.

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.計算，2cos45。+（萬-2023）°-血

【答案】1-V2

【解析】

【分析】先化簡各式，再進行加減運算.

【詳解】解：原式=2x也+1-2近

2

=71+1-20

=1-V2-

【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運算.熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握零指數(shù)基和二次根式

的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，已知Nl=120。，Z2=60°,若N3=122。，求N4的度數(shù).

【答案】Z4=58°

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可進行求解.

【詳解】解：???Nl=120。,N2=60。,

Zl+Z2=180°,

AC//BD,

：.Z3=NBDC,

'：Z3=122°,

/.ZBDC=122°,

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Z4=180°-ZBDC=58°.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

19.已知7=19+.

。（。+3>。（。+3）

（1）化簡T-

（2）若正方形ABC。的邊長為“，且它的面積為9,求T的值.

【案】（1）一；（2）—.

a3

【解析】

【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法則計算即可求出值；

（2）由正方形的面積求出邊長a的值，代入計算即可求出T的值.

【詳解】（1）T=a---6（a+3）,=（a+3）：=J_；

a（a+3）2a（a+3>a（a+3）2a

（2）由正方形的面積為9,得到a=3,則丁=’.

3

【點睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

20.為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，深入挖掘中華經(jīng)典詩詞中所蘊含的民族正氣、愛國情懷、道德品質(zhì)和藝術(shù)

魅力，引領(lǐng)詩詞教育發(fā)展，我校舉辦詩詞大賽，第一輪為經(jīng)典誦讀參賽者從《短歌行》《將進酒》《觀滄

?！贰赌咎m辭》（分別用A、8、C、。表示）中隨機抽取一首進行朗誦：第二輪為詩詞講解，參賽者從《兼

葭》《沁園春?雪》《念奴嬌?赤壁懷古》（分別用E、F、G表示）中隨機抽取一首進行講解，小明和曉慧

都參加了詩詞大賽.

（1）小明第一輪抽到《將進酒》的概率是.

（2）利用樹狀圖或列表法，求曉慧第一輪抽中《木蘭辭》且第二輪抽中《沁園春?雪》的概率.

【答案】（1）-

【解析】

【分析】（1）利用概率公式進行求解即可；

（2）列出表格進行求解即可.

【小問1詳解】

解：第一輪隨機抽取一首詩詞共有4種等可能的結(jié)果，其中抽到《將進酒》的結(jié)果有1種,

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4

故答案為：4.

【小問2詳解】

列表如下：

EFG

A(AE)(AF)(AG)

B（B，E）(Bl)（B，G）

C（。閭（C，F(xiàn)）(CG)

D（。，國(。㈤(2G)

共有12種等可能的結(jié)果，其中曉慧第一輪抽中《木蘭辭》且第二輪抽中《沁園春?雪》只有1種結(jié)果；

12

【點睛】本題考查列表法求概率.正確的列出表格，熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵.

21.電滅蚊器的電阻隨溫度變化的大致圖像如圖所示，通電后溫度由室溫10C上升到30℃時，電阻與

溫度成反比例函數(shù)關(guān)系，且在溫度達到30℃時，電阻下降到最小值，隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每

上升1℃,電阻增加

（1）當(dāng)10WXW30時，求y與x之間的關(guān)系式；

（2）電滅蚊器在使用過程中，溫度x在什么范圍內(nèi)時，電阻不超過5kQ?

【答案】（1）當(dāng)10WXW30時，y與x的關(guān)系式為：丫=竺.

X

（2）溫度x取值范圍是124x445時，電阻不超過5k。.

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【解析】

【分析】（1）設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y="，把點（10,4鹿-2）和點（30,〃）代入求得m的值即可解答;

x

（2）當(dāng)x＞30時，設(shè)y與x的關(guān)系式為y=H+3然后求得解析，然后分別求出＞=5時，兩函數(shù)的函

數(shù)值即可求解解答.

【小問1詳解】

解：當(dāng)10W尤W30時，設(shè)y與X之間的關(guān)系式為＞=一,

x

根據(jù)題意得：該函數(shù)圖像過點（10,4〃-2）和點（30,〃），

,八m

4〃-2=—

10

m

n=—

30

n=2

解得：\

m=60

???當(dāng)10＜尤《30時，y與x的關(guān)系式為：y.

X

【小問2詳解】

.60

解：.y=—，

X

、［,,60.

???當(dāng)x=30時，y=—=2，

3

根據(jù)題意得：該函數(shù)圖像過點（30,2）,

溫度每上升1℃,電阻增加|kQ.

當(dāng)x＞30時，設(shè)y與x的關(guān)系式為了=履+〃,

...該函數(shù)圖像過點（31,2＜）,

30Z+人=2

解得:

31k+b=2-

5

.,.當(dāng)x＞30時，y與x的關(guān)系式為：y=-x-4；

對于丫="，當(dāng)＞=5時，x=12；

X

第14頁/共26頁

對于y=gX-4,當(dāng)y=5時，x=45.

答：溫度x取值范圍是12WXW45時，電阻不超過5kQ.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，求出兩函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

22.便捷的交通為經(jīng)濟發(fā)展提供了更好的保障，橋梁作為公路的咽喉，左右著公路的生命.通過對橋梁的

試驗監(jiān)測，可以了解其使用性能和承載能力，同時也為橋梁的養(yǎng)護、加固和安全使用提供可靠的資

料.某綜合與實踐活動小組對其自制的橋梁模型的承重開展了項目化學(xué)習(xí)活動，下面是此活動的設(shè)計方

案.

項

目

橋梁模型的承重試驗

主

題

活

動

經(jīng)歷項目化學(xué)習(xí)的全過程，引導(dǎo)學(xué)生在實際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并將其轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)問題

目

標

驅(qū)

動

當(dāng)橋梁模型發(fā)生不同程度的形變時，水桶下降的高度

問

題

工

橋梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、繩子、掛鉤等

具

方實

.1■

案物,一

設(shè)圖

it展_

示1■

示狀態(tài)一（空水桶）狀態(tài)二（水桶內(nèi)加一定量的水）

第15頁/共26頁

(1)該綜合與實踐活動小組在設(shè)計橋梁模型時，選用了三角形結(jié)構(gòu)作為設(shè)計單元，這樣設(shè)計依據(jù)的數(shù)學(xué)

原理是.

A.三角形具有穩(wěn)定性B.兩點確定一條直線C.兩點之間線段最短

(2)在水桶內(nèi)加入一定量的水后，橋梁發(fā)生了如圖2所示的形變.若其他因素忽略不計，測得

CD=30cm,ZCrAC=\2°,ZC'AD=45°,請計算此時水桶下降的高度CC'.(參考數(shù)據(jù)：

sin12°x0.2,cos12°*1.0,tan12°?0.2)

【答案】(1)A(2)7.5cm

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可；

(2)設(shè)CC'=xcm,先ACZ＞是等腰直角三角形，再在RtDAC'C中利用銳角三角函數(shù)的關(guān)系即可求

解.

【小問1詳解】

綜合與實踐活動小組在設(shè)計橋梁模型時，選用了三角形結(jié)構(gòu)作為設(shè)計單元，這樣設(shè)計依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是

三角形具有穩(wěn)定性.

故選A.

【小問2詳解】

設(shè)CC-xcm,

?：ZC'AD=45°,ZDC'A=90°,

：.ZCAD=ZCDA=45°,

第16頁/共26頁

AC'=CD=30+x,

在RtOAC'C中，NC'AC=12°,

CC'

tanNC'AC=——，tan12°?0.2,

AC

x=7.5cm.

即CC'=7.5cm.

【點睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握三角函

數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

23.如圖，已知E1ABC中，NACB=90。；以5c為直徑作口。，與邊AC相切于點C,交AB邊于點

D,E為AC中點，連接。E.

（1）求證，OE是口。的切線；

（2）尺規(guī)作圖，點P是線段上一動點，當(dāng)DP+EP最小時，請在圖中西出點尸的位置（不寫作法,

保留作圖痕跡），

（3）在（2）的條件下，若CO=8,tanZ￡CZ）=|3,求出CP的長度.

4

【答案】（I）見解析（2）見解析

（3）CP^—

19

【解析】

【分析】（1）連接。。，根據(jù)題中條件證明/。。。+/瓦）。=90。即可證明；

（2）過。作8C垂線，交口。于。'，則。'與。關(guān)于6c對稱，連接交于尸，止匕時

DP+EP=DP+EP=D'E最小,則點P即為所求作；

（3）在RtDBC。中，利用銳角三角函數(shù)求出80,然后在中，利用三角函數(shù)設(shè)。M=3后，

=4%,根據(jù)3。的長即可求出A,證明口改?「?口。即可求出.

【小問1詳解】

第17頁/共26頁

證明：連接0。，如圖所示,

3C為□。的直徑，

；.NCDB=90。,ZB+ZBCD=90°,

；.NCDO+NBDO=90。,ZCDA=90°,

；E為AC中點，

CE=DE,

/.ZECD=ZEDC,

,/NACB=90°,

Z.NECD+NBCD=90。,

ZB+ZBCD=90°,

：.ZECD=ZB,

ZECD=ZEDC,

：.ZB=ZEDC,

■：OD=OB,

：.ZODB=NB,

：.NEDC=40DB,

'：NCDO+NBOO=90°,

；.NCDO+NEDC=90°,

DE是口。的切線；

【小問2詳解】

解：解：過。作8c垂線，交口。于力，則力與。關(guān)于對稱，連接ED交BC于P,此時

DP+EP=DP+EP=DE最小，則點P即為所求作；

第18頁/共26頁

解：設(shè)。。與8C的交點M,連接。。，如圖所示,

ZECD=NB=90°-NBCD,

3

在RtDBCO中，CD=8,tanZECD=~,

4

8D=CQ+tanN8=芋，則BC=（CD，+附=Jg=—

VI3，3

在Rt4ACB中，AC=BCxtanZB=10,

為AC中點，

則CE」AC=5,

2

在RtABMZ）中，tanZB=°加=2

BM4

設(shè)DM=3k,BM=4k,貝UBQ=JlDM2+BM2=J（34y+（4A）2=5k,

.,32

..k=—,

15

3232,,32128

OM=3Z=3x—=—,3M=4,k=4x——=——，

1551515

第19頁/共26頁

CM=BC-BM=—

5

?.,/ACB=90。，DD1BC?

：.MDGEC,

???□ECPOOMP，

CP5

CPCE———=—

??.——=-r,即2432,

MPMDy-CPy

CP*

【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、最

短路徑問題、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)及勾股定理等知識，涉及知識點較多,

綜合性強，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，會利用相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)解決問題是解答的關(guān)

鍵.

24.平面直角坐標系中，拋物線G：x=/-2mx+2〃，-l,與y軸交于點A.

（1）加=2時，過點A作直線/垂直于）’軸，與拋物線C的另一個交點記為點B.求A8的長：

（2）拋物線G的開口方向和開口大小均與拋物線G相同，頂點在y=f_l上，的頂點橫坐標為〃，

且G解析式記為%.

①C2與直線/交于點。、D兩點,若CO>A8,求”的范圍；

②若〃?*〃，當(dāng)拋物線G與拋物線G的交點始終在定直線》=攵（攵為常數(shù)）上時，求此時）1+%的最

小值（用含左的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）4

⑵①—2<〃<2,②—2

一2

【解析】

【分析】（1）當(dāng)根=2時，拋物線G：3=——2mx+2m~-1=x2-4JC+7,由題意知y=7,過點

A（0,7）作直線/垂直于y軸，即直線/：y=7與拋物線G的另一個交點記為點B,得到/一4%+7=7，

即x（x-4）=0,解得x=0或x=4,即可求出AB=4；

（2）①由（1）知過點A（0,7）作直線/垂直于y軸，即直線/:y=7,再由題意可得C?解析式

第20頁/共26頁

%=(X-〃y+〃2—l，根據(jù)與直線/交于點C、。兩點，得到CD=2j8—"2,從而由列出不

y.=x1-2mx+2m2-1@

等式2,8—骨>4,求解即可得到答案；②根據(jù)題意，聯(lián)立「/、2,…，求出拋物線G

[%=(》-〃)-+〃T②

與拋物線G的交點橫坐標為，從而由X+%=(f-2mX+2〃，-++/?-1,根

據(jù)二次函數(shù)最值求法，將其化為頂點式，得到當(dāng)x=■時，X+%有最小值，為-三+2"+叫-2；

進而由“+〃=&變形為〃=機一左，將-5~+2(a2+〃2)一2化為4(加一-2,即可知當(dāng)加=(■

時，%有最小值一日+2(加2+/)-2的最小值為與一2,進而求出答案.

【小問1詳解】

解：當(dāng)加=2時，拋物線￡:y=1-2〃a+-1=--4x+7,

?.?拋物線G與y軸交于點A,

.?.當(dāng)x=0時，y=7,即4(0,7),

???過點A(0,7)作直線/垂直于y軸，即直線/:y=7與拋物線G的另一個交點記為點B,

當(dāng)y=7時，％2_4X+7=7，即X(X-4)=0,解得X=0或X=4,

???5(4,7),即AB=4；

【小問2詳解】

解：???拋物線C?的開口方向和開口大小均與拋物線G相同，

兩個拋物線表達式中。相同為。=1,

???頂點在y=/—l上，。2的頂點橫坐標為“，

.?.C2的頂點坐標為(〃,1-1),即C,解析式%=(X-〃)2+〃2一1,

①；G與直線/交于點c、。兩點，

，當(dāng)%=7時，(x-〃)+〃——1=7,解得x=〃+j8-〃，或x=〃-48-〃2,當(dāng)8—〃即

-2-72<n<272時才能滿足題意，

:.CD=2,8-〃2,

第21頁/共26頁

vCD>AB,

：,2,8-/J>4,解得-2<〃<2,

綜上所述，若CD>AB,"的范圍一2<〃<2；

222

②；G：%=X-2mx+2m~,C2:y2=(X-H)+?-1,

y,=x2-2mx+2m2-1@

聯(lián)立方程得1,匐，…，當(dāng)拋物線G與拋物線G的有交點時，得①一②得

%=(%-〃)一+〃-庵

2(m-/i)x=2(zM-H)(/7?+n),

:由機工〃可知x=m+〃，

拋物線C,與拋物線C2的交點橫坐標為x=m+n,

：拋物線G與拋物線G的交點始終在定直線》=攵(％為常數(shù))上,

:.m+n=k,

/.X+y2=（%2-2J%X+2/7?2-1）+［（元一〃）~+〃2-1

=2x2-2kx+2（m2+n2）-2

,/2>0,

ij2

.?.當(dāng)x=5時，，y+必有最小值，為一豆+2（旭2+〃2）一2,

?/tn+n=k,BPn-m-k,

一g+2（/刀2+鹿2）-2

E-i

=---+2r/+0%—攵）9一卜2

???4>0,

第22頁/共26頁

，當(dāng)機時，y+%有最小值-g+2（〃，+〃2）一2的最小值為g_—2,

E

即M+%的最小值為--2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)最值、二次函數(shù)交

點問題等，綜合性較強，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)題意靈活運用恒等變形是解決問題的關(guān)

鍵.

25.如圖1,在鈍角DABC中，ZABC=30°,AC=4,點。、