2023-2024學年天津市西青區(qū)高一年級下冊第二次適應性測試（期中）數(shù)學模擬試題

2023-2024學年天津市西青區(qū)高一下冊第二次適應性測試（期中）數(shù)學

模擬試題

一、單選題

1.已知“為直線，α為平面，若Uα,則加與"的位置關系是（）

A.平行B.相交或異面C.異面D.平行或異面

【正確答案】D

【分析】利用線面平行的定義及直線的位置關系即得.

【詳解】因為加〃α,

所以直線"，與平面α沒有公共點，又“uα,

所以與〃沒有公共點，即m與n的位置關系是平行或異面.

故選：D.

2.在,ABC中，a=√3,b=3,A=f,則此三角形（）

6

A.無解B.一解

C.兩解D,解的個數(shù)不確定

【正確答案】C

【分析】利用正弦定理求出sin8的值，再根據所求值及a與6的大小關系即可判斷作答.

【詳解】在AfiC中，?=?/?,b=3,A=f,

6

由正弦定理得MnaJSin4_6而A為銳角，且a＜人，

sinD-----------——T=———＜?

?√32

則B=f或8=尋，

33

所以＜3C有兩解.

故選：C

3.已知邊長為2的正三角形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）

A.3B.√3C.—D.顯

242

【正確答案】C

【分析】依題意畫出圖形，結合圖形利用斜二測畫法規(guī)則可得結果.

【詳解】如圖，A'B'C'是邊長為2的正“A3C的直觀圖，則A'9=2,CD1=-CD=-,則高

22

C,E=C,D,sin45=—×-=—,故二A3'C的面積S=LX2x如=@.

224244

故選：C.

A.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐

B.用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺

C.棱柱的側面都是平行四邊形

D.直角三角形繞一條邊所在直線旋轉一周得到的旋轉體是圓錐

【正確答案】C

【分析】根據棱錐、棱臺、棱柱、圓錐的定義即可判斷.

【詳解】對于A,有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形構成的幾何體是棱錐,所以選項

A錯誤；

對于B,用平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，所以選項B錯誤；

對于C,根據棱柱的定義知，棱柱的側面都是平行四邊形，選項C正確；

對于D,直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉一周得到的旋轉體是圓錐，所以選項D錯誤.

故選：C.

5.在」ABC中，P、。分別是邊A3、BC上的點，且=BQ=；BC,若AB=",AC=b，

UUU

則PQ=（）

1.1.11111-1-

A.—a+—bB.——a+-bC.—〃——bD.——a——b

33333333

【正確答案】A

【分析】根據向量的數(shù)乘和加減法法則即可求解.

【詳解】如圖所示：

A

1?1?1111

PQ=BQ-BP=-BC--BA=-IAC-AB}+-AB^-AB+-AC=-a+-b.

333、,33333

故選:A.

二、多選題

6.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結論錯誤的是（）

A.圓柱的側面積為4πR?B.圓錐的側面積為√^πR2

C.圓柱的側面積與球的表面積不相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3:1:2

【正確答案】ABD

【分析】分析出圓柱的底面半徑、高一級圓錐的底面半徑、高和母線長，利用圓柱、圓錐的側面積公

式、球體的表面積，圓錐、圓柱、球體的體積公式逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】由題意可知，圓柱的底面半徑為R,高為2R,圓錐的底面半徑為R,高為2R,

對于A選項，圓柱的側面積為2兀Rx2R=4πR?,A對；

對于B選項，圓錐的母線長為J&+（2R）2=加R,

所以，圓錐的側面積為兀RxKR=6兀叱，B對；

對于C選項，球的表面積為4兀齊，所以，圓柱的側面積與球的表面積相等，C錯；

12元

對于D選項，圓柱的體積為R2χ2R=2πW,圓錐的體積為；兀R2x2R=k,

π33

球的體積為3戶，

因此，圓柱、圓錐、球的體積之比為2兀*:皿:皿=3:1:2,D對.

33

故選：ABD.

三、單選題

7.《九章算術》是中國古代一部數(shù)學專著，其中的“邪田”為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為"正

廣”，非高腰邊稱為‘‘邪如圖所示，邪長為4石，東畔長為2近，在A處測得C,。兩點處的俯角

分別為49。和19。，則正廣長約為(注：sin41o≈0.66)()

A.6.6B.3.3C.4D.7

【正確答案】A

【分析】由余弦定理即可求解.

【詳解】由題意知：NBAC=4由一19°=30°,

在，ACD中，由余弦定理可得：DC2=AC2+AD2-2ACADcos30°.

代入得：28=ΛC2+48-12AC,即(AC—2)(AC—Io)=0,

因為NADC>90",故AC=I0,

故BC=AC?cos49°=10?sin41'=6.6?

故選：A.

8.下列四個命題中真命題的個數(shù)是()

①己知非零向量α,b，c,若a，b,b//c>則C

ULl

②已知％,e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量4+1與3+1的夾角為銳角，則％的取值范圍

是(θ,?HX?)

已知向量4=(2,4),?=(-l,2),則向量d在向量b上的投影向量為(g用

④已知耳=(2,-3),e2=(-A,6),e-e2可以作為平面向量的一組基底

A.1個B.2個C.3個D.4個

【正確答案】A

【分析】根據平面向量的共線定理和所成的角，以及投影向量的定義、基底的定義，對選項中的命題

判斷真假性即可.

【詳解】對于①，非零向量α,h，c,若αb,b//c＞則α=λ∣A,b=λ2c,4，Λ∈R,

所以。4，4ER,所以。〃C,命題①正確；

對于②，q,4是兩個互相垂直的單位向量，若向量之+點與e+/的夾角為銳角，

,ιrIiIIirσIrlrir2CUIJ一,丁廿,口

則π(q+4/卜/烏+/)=Aq2+伏2+1鳩?6+攵6=2%>0，目.q+Ae?與攵q+6不共線，

所以Z>0且攵≠±1,所2的取值范圍是(0,1)51,e),命題②錯誤；

對于③，向量α=(2,4),?=(-l,2),

ClbI6/「、/612、

則向量&在向量6上的投影向量為曰「人=g(T,2)=(-§，Μ)，命題③錯誤；

對于④：e∣=(2,-3),e2=(-4,6),則,=-紜,

所以q,線共線，不能作為平面向量的一組基底，故④錯誤.

所以真命題只有1個，序號為①.

故選：A.

四、填空題

9.已知復數(shù)Z滿足Z=言，則IZI=.

【正確答案】√io.

【分析】根據復數(shù)的除法法則化簡為標準的代數(shù)形式再求模即可.

4-2i(4-2i)?(l+i)4+4i-2i-2i

【詳解】Z==3+i,

1-i(l-i)?(l+i)

所以IZl=J3。+r=Vio.

故布

10.已知0,6是平面內兩個不共線的向量，AB=ma+2b，BC=3a+mb,若A，B,C三點共線，

則％=.

【正確答案】土瓜

【分析】利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義求出AC的坐標，把A,B,C三點共線轉化

為44,AB，再根據向量相等可得答案.

【詳解】由題意可得AC=AB-?-BC=+2∕?）+3α+Anh=（3+m）〃+（2+m）Z?,

VA,B9C三點共線,：.AC=λ?AB9

工（3+∕n）4+（2+勿7）Z?=/I^ma+2?J=λma+2λb,

m=-?∣6

jλtn=3+∕nm~

故有鼠小

=2+≡L^?或I02-√6,

Z=---

2

故土#.

11.已知在,ABC中，SinA:sin8:SinC=4:3:2,則CoS8等于.

【正確答案】??

【分析】由正弦定理可得a:b:c=4:3:2,令α=4m,b=3m,c=2a,然后利用余弦定理可求出COSB

【詳解】因為在ABC中，SinA:sin3:SinC=4:3:2,

所以正弦定理可得Q:〃：C=4:3:2,則令α=4"?,力=3a,c=2m（m>0）,

由余弦定理得CoSB==161+4^2-9.11/72211

2ac2?4m?2〃?16m216

故U

16

12.已知正方體ABCrM/B/C/Q的棱長為2,M、N分別為BMAB的中點，則三棱錐AWMD的體

積為____________

【正確答案】?

【分析】利用匕-M町=?v計算即可.

因為正方體A8CC-A∕B/∕D的棱長為2,M、N分別為BB/、AB的中點

2

所以匕.MWDJ=%_刖=∣×?×I×I×=∣

嗎

在求解三棱錐的體積時，要注意觀察圖形的特點，看把哪個當成頂點好計算一些.

13.己知正三棱柱ABC-AAG的底面邊長為6,三棱柱的高為G，則該三棱柱的外接球的表面積為

【正確答案】5lπ

【分析】根據球心距、截面圓半徑、球半徑構成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半徑即可求其

表面積.

【詳解】

由正三棱柱的底面邊長為6,

得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑r==2追，

sin602

又由三棱柱的高為白，則球心01到圓。的球心距I=正，

2

根據球心距、截面圓半徑、球半徑構成直角三角形，

滿足勾股定理,我們易得球半徑R滿足：R2=r2+d2=↑2+^所以4=?

44

所以外接球的表面積S=4τtR2=47tχ4?=51π

4

故答案為.5E

五、雙空題

14.已知平行四邊形ABC。的兩條對角線相交于點“，網=2,|回=1,ZZMB=60o,其中點尸在

線段上且滿足AP?CP=-g,Pl=______,若點N是線段AB上的動點，則NZZNa的最小值

161I

為.

［正確答案］息?u

4256

根據題意，利用余弦定理求出AC=不，根據平面向量的線性運算即可得出

→→f→→?→f→→?→→→2→2osT

AP=-PA=-[PM+MAj,CP=-[PM-M4j,得出APCP=PM-MA=~^即可求出。尸；由

于點N是線段AB上的動點，可設4V=x(0≤x≤2),則AO?A%,N%=?A%,由平面向量的三

角形加法法則得出NZ)=-148+A。，NP=[4~2)AB+4AD，結合條件且根據向量的數(shù)量積運算，

^∕vb?∕VP=√--^x+l=^-^J+^∣,(0≤x≤2),最后根據二次函數(shù)的性質即可求出λ?>.赤的

最小值.

【詳解】解：在平行四邊形ABa)中，AB=2,Ab=1,ZftAB=60°,

則在AABD中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosZDAB,

即BO?=22+f-2χ2χlχg=3,.?,BD=y∣3,

:.ΛBDA=90o,ZABD=30°,則ZABC=120°,

在..ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC,

B∣JAC2=22+12-2×2×1X^-^=7,：,AC=不,

AP=-PA=-IPM+MA?,CP=-PC=-IPM+MC?=-?PM-MA?,

→→(T→?/→t、T2τ225

AP?CP=?PM+MA?ΛPM-MA?=PM-MA

__記，

而MA=LAC=且，即調=且，

222

→2→2→2795→B

.?.PM-MA=PM——=——,解得：PM=

4164，

Dli=DM-PM=—--=

244

由于點N是線段AB上的動點，

T?-―2--Yf

可設AN=X(O<x≤2),貝IJAN=jAB,NB=2-ABf

.?.ND=NA+AD=-AN+AD=--AB+AD,

2

TfT2—XT3-*2—XT3,

：.NP=NB+BP=-----AB+-BD=-------AB+-?AD-AB^,

24241

→(1χ?→3→

即NP=-------?AB+-AD9

\__xT3→

NDNP=-∣AB+ADl-AB+-AD

4-24

(?ιλ→2/17?→→3→2

=∣——x+-√?AB+∣------X?ABAD+-AD

(84)<48J4

(?12l“(17)c,,ao3

I84JU8J4

-------X+l,(0≤x≤2)

8

BPΛ?>,Λ7>=√--x+l=fx--?l+—,(0≤x≤2),

所以當X=?時，N3?N%取得最小值，最小值為寰?

16256

故烏祟?

4256

關鍵點點睛：本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算的實際應用，解題的關鍵在于利用二次函數(shù)

的性質求最值，考查轉化思想和運算能力.

六、解答題

15.已知復數(shù)Z=(∕n2-w)+(∕w-l)i(m∈R).

⑴若Z為實數(shù)，求加值：

(2)若Z為純虛數(shù)，求，”值；

(3)若復數(shù)Z對應的點在第一象限，求，〃的取值范圍.

【正確答案】(1)〃?=1；

(2)∕n=0;

(3)∕Z7>1.

【分析】(I)根據復數(shù)為實數(shù)的性質進行求解即可;

(2)根據純虛數(shù)的定義進行求解即可；

(3)根據第一象限點的坐標特征進行求解即可.

【詳解】(1)因為Z為實數(shù)，

所以m—1=O=Ht=I；

(2)因為Z為純虛數(shù)，

,tn~-m={)八

所以<八=>帆=0；

m-?≠O

(3)因為復數(shù)Z對應的點在第一象限，

一，機2一機>0,

所以{,Cnm>L

m-?>O

16.己知向量α=(l,0),b=(-l,2).

⑴若ICI=1,且聯(lián)〃Q-b),求c；

⑵若8與3a+在互相垂直，求實數(shù)，的值.

【正確答案】(DZ=爵-曰睽=爵當

(2)f=-l或f=∣

【分析】(1)設出c=(x,y),根據模長與平行關系得到方程組，求出c:(2)先求出

2ta-b=(2f+l,-2),3α+t=(3-t,2t),根據垂直關系得到方程，求出實數(shù)r的值.

【詳解】(1)α-b=(2,-2),

X2+J2=1,

因為。〃(α-/?),?=1,設C=(X,y),則,

2y=-2x

√2_72

X-2'-2'

解得：或,

及&

F'

(2)2ta—Z>=(2r+1,—2),3α+tb=(3—/,2/),

因為2rα-b與3α+仍互相垂直，所以⑵+l,-2)?(3τ,2t)=0,整理得：2t2-t-3=0,

3

解得：t=T或f=:?

2

17.如圖，四棱錐P-ABCo中，ABHCD,AB=2CO,E為依的中點.

⑴求證：C￡7/平面PAD.

（2）在線段48上是否存在一點尸，使得平面PAr>//平面CEF?若存在，證明你的結論，若不存在，

請說明理由.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵存在，證明見解析

【分析】（1）利用構造平行四邊形的方法證明線線平行，結合線面平行判定定理，從而得線面平行;

（2）點尸為線段AB的中點，再利用面面平行判定定理證明，即可證明平面P4）〃平面CEF.

【詳解】（1）證明：如圖所示，取A4的中點”，連接EH,DH.

因為E為PB的中點，

所以EH=-AB.

2

又ABIICD,CD=-AB,

2

所以EH//CD,EH=CD.

因此四邊形DCEH是平行四邊形,

所以CE"DH.

又DHu平面RW,CEN平面PAD,

因此CE〃平面PAO.

（2）解：如圖所示，取AB的中點F,連接CF,EF,

所以AF=IAB

2

又CZ）=LA3,所以AF=CO.

2

又A/〃CZ）,所以四邊形AFa）為平行四邊形，

因此CF//AD.

又CF￠:平面PA。，所以CF〃平面PAO.

由（1）可知CE〃平面PA￡>.

因為CEfCF=C,故平面CEF〃平面P4D.

18.已知一ABC中，a,b,C分別為角A,B,C的對邊，且（2a-A）cosC=ccosB

（1）求角C

⑵若a=2,b=3,8為角C的平分線，求CD的長；

⑶若acos3+?cosA=4,求銳角二ABC面積的取值范圍.

TT

【正確答案】（1）§

⑵述

5

'8>∕3rτ

（3）亍，46

【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式求出COSC=g,即可得解;

(2)設CD=X,根據SAe+SBS=SMC及面積公式得到方程，解得即可;

(3)首先利用正弦定理求出c,再由正弦定理得到a=?lsiM，b=晅SinB,再根據S=(absinC

332

轉化為關于A的三角函數(shù)，根據正弦函數(shù)的性質求出面積的取值范圍；

【詳解】(1)解：由(2α-Z?)COSC=CCoS6及正弦定理得(2SinA-SinB)CoSC=SinGeOS3

所以2sinΛcosC=sin(B+C)=SinA

??sinAwO,??COSC=~

2

Tr

vo<c<?,:.c=一

3

(2)解：設CD=X由Sacd+SBCD=Sabc得

ICllC

一?3x?-+一?2x,1Kx^

222222

解得X=還，即角平分線Co的長度為述

55

(3)解：設ABe外接圓半徑為R,由。COSB+AcosA=4

4c

2∕?sinAcosB+2/?sinBcosA=4,即2AsinC=4,即2R=.?.c=4

sinCsinC'

所以.ABC的面積S=IaAinC=-?ob

24

ba4-

??τ~^=FT=F?8√r3.8√γ3.D

?SI∏DSirLAx∕3,??Cl=-----SinA，b=------sinZ?

T33

...S=3叵SinASin("一A]

3I3)

=電ISinAfsin—cosA-cos—sinA

3I33

16√3COSA+'sinA

2

12

sinAcosA+—sin^^A

2

sin2A—CoS2AH—

44

痛SinRAW+速

3I6j3

71CC冗,C2%

VO<Λ<-,O<B<—,4+8=—

223

.?.O∕"π

<5'

π,π

—<A<—

62

TIAATl?πΛ?<sin(2A-?I≤1,

-<2A——<—

6662I6；,

S∈*

19.從①sin?8-Sin'A+sinP-sirLesinC=。②i>sinA+GaCoSB=Gc,這兩個條件中任選一個，補充

在下面問題中，并加以解答(注：若選擇多個條件，按第一個解答計分).

在.45C中，c分別是角A8,C的對邊，若.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若。是BC的中點，AD=C,求-ABC面積的最大值.

(3)若。為..ABC的外接圓圓心，且上匚46+學4。=2,也4。，求實數(shù)機的值.

smCSinB

【正確答案】(I)A=II

⑵G

⑶正

2

【分析】(1)選條件①利用正弦定理將角化邊，再結合余弦定理計算可得;

選條件②利用正弦定理將邊化角，再根據兩角和的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系計算可得：

(2)依題意可得43=g(AB+AC),根據向量數(shù)量積的運算律得到/+b2+A=12,利用基本不等式

求出校的最大值，最后根據三角形面積公式計算可得；

CCqRCCSC^,

(3)取A3的中點Q,則Ao=A0+00，從而可得.A8?A5+'4C?AB=2zn(Af)+Z)O)AB,從

sinCsinB

而可得",=c°sB+co?CosC=SinA,從而解得，"的值.

smC