第20講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)（原卷版）

第20講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞其旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形.

(2)分類:按旋轉(zhuǎn)方向分為、和零角;按終邊位置分為和軸線角.

(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S=.

(4)象限角圖4-20-1(5)軸線角圖4-20-22.弧度制的定義和公式(1)定義:長度等于的圓弧所對的圓心角為1弧度的角,記作1rad.

(2)公式:角α的弧度數(shù)的絕對值|α|=lr(弧長用l表示角度與弧度的換算①1°=π180rad,②1rad=180π°弧長公式弧長l=

扇形面積公式S=12lr=3.任意角的三角函數(shù)(1)定義:對于任意角α,設(shè)P(x,y)是α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),r=x2+y2,則sinα=,cosα=,tanα=yx(2)幾何表示(單位圓中的三角函數(shù)線):圖4-20-3中的OM,MP,AT分別稱為角α的、和.正弦線的起點(diǎn)都在上,余弦線的起點(diǎn)都是,正切線的起點(diǎn)都是.

圖4-20-3(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖4-20-4).圖4-20-4常用結(jié)論(1)若α,β,γ,θ分別為第一、二、三、四象限角,則α2,β2,γ2,θ2圖4-20-5(2)若x∈（0,π2）,則tanx>x>sinx分類探究探究點(diǎn)一象限角及終邊相同的角例1(1)角-2020°是 ()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)集合αkπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角的終邊所在的區(qū)域(圖4-20-6(3)已知α是第三象限角,且|cosα2|=-cosα2,則α2是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角[總結(jié)反思](1)角α(0≤α<2π)與角2kπ+α(k∈Z)的終邊相同;(2)要求角β的終邊所在的象限,只需將角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,則角α的終邊所在的象限即為角β的終邊所在的象限.變式題(1)若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在直線y=-3x上,則角α的取值集合是 ()A.α|α=2kπ-π3,k∈ZB.α|α=2kπ+2π3,k∈ZC.α|α=kπ-2π3,k∈ZD.α|α=kπ-π3,k∈Z(2)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在如圖4-20-7所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界),則角α的所有取值的集合為.

圖4-20-7探究點(diǎn)二扇形的弧長、面積公式例2已知一扇形的圓心角為α(α>0),所在圓的半徑為R.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積;(2)若扇形的周長為20cm,當(dāng)扇形的圓心角α等于多少弧度時,這個扇形的面積最大?[總結(jié)反思](1)利用扇形的弧長和面積公式(l=|α|R,S=12lR)解題時,要注意角的單位必須是弧度(2)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形.(3)解決面積等最值問題時經(jīng)常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題來解決.當(dāng)周長C為定值時可得面積S=12(C-2R)R=-R2+12CR,當(dāng)面積S為定值時可得周長C=2S變式題(1)(多選題)已知某扇形的面積為52cm2,若該扇形的半徑為rcm,弧長為lcm,且滿足2r+l=7,則該扇形圓心角的大小可能是 (A.45 B.5 C.12 (2)希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家,他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”,除了醫(yī)學(xué),他也研究數(shù)學(xué).特別是與“月牙形”有關(guān)的問題,如圖4-20-8所示,陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧,兩段圓弧分別是△ABC的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分,若∠ACB=2π3,AC=BC=1,則該月牙形的面積為 (圖4-20-8A.34+π24 B.3C.14+π24 D.3探究點(diǎn)三三角函數(shù)的定義角度1三角函數(shù)定義的應(yīng)用例3(1)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos2θ-sin2θ= ()A.-45 B.-C.35 D.(2)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,且tanα=23.若角α的終邊上有一點(diǎn)P,其縱坐標(biāo)為-4,有下列三個結(jié)論:①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是6;②cosα=31313;③sin2α>0.則上述結(jié)論中,正確的個數(shù)為 A.0 B.1 C.2 D.3[總結(jié)反思]三角函數(shù)的定義主要應(yīng)用于兩方面:(1)已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)的定義求解三角函數(shù)值.特別地,若角α的終邊落在某條直線上,一般要分類討論.(2)已知角α的某個三角函數(shù)值,可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角α終邊上某一符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)來解決相關(guān)問題.角度2三角函數(shù)值的符號判定例4(1)已知點(diǎn)P(tanα,cosα)在第三象限,則角α為 ()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)若α為第四象限角,則 ()A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0 D.sin2α<0[總結(jié)反思]1.判斷三角函數(shù)值的符號,關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限,然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號,特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.2.相關(guān)知識總結(jié)如下:一全正,二余弦,三正切,四余弦.角度3三角函數(shù)線的應(yīng)用例5已知α∈(-3π4,-π2),a=sinα,b=cosα,c=tanα,那么a,b,c的大小關(guān)系是[總結(jié)反思]利用三角函數(shù)線比較大小時,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法.三角函數(shù)線為有向線段,既要注意它的長度,又要注意它的方向.當(dāng)三角函數(shù)線的方向與x軸、y軸的正方向相同時,所對應(yīng)的三角函數(shù)值為正,反之為負(fù).同步作業(yè)1.已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊過點(diǎn)P(23,-2),則cosθ= ()A.32 B.12 C.-12 2.若α是第二象限角,則點(diǎn)P(sinα,cosα)在 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.給出下列四種說法:①-3π4是第二象限角;②4π3是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正確的說法有 (A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.在(0,2π)內(nèi),使sinx>cosx成立的x的取值范圍為 ()A.(π4,π) B.(π4,C.(π4,π2)∪(π,5π4) D.(π4,π)∪(5.已知扇形的弧長是8,其所在圓的直徑是4,則扇形的面積是.

6.已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,m),且sinθ=35,則m等于7.達(dá)·芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名,畫中女子神秘的微笑,數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷,現(xiàn)將畫中女子的下嘴唇近似看作一段圓弧,如圖K20-1,設(shè)嘴角A,B間的圓弧長為l,嘴角間的距離為d,圓弧所對的圓心角為θ(θ為弧度角),則l,d和θ所滿足的恒等關(guān)系為 ()圖K20-1A.sinθ2θ=dl C.cosθ2θ=dl 8.我國古代數(shù)學(xué)家一行應(yīng)用“九服晷(guǐ)影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距θ(0°≤θ≤80°)的對應(yīng)數(shù)表,這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知,晷影長l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距θ的正切值的乘積,即l=htanθ.已知太陽天頂距θ=1°時,晷影長l≈0.14.現(xiàn)測得晷影長l≈0.42,則太陽天頂距約為(參考數(shù)據(jù):tan1°≈0.0175,tan2°≈0.0349,tan3°≈0.0524,tan22.8°≈0.4204) ()A.2° B.3° C.11° D.22.8°9.如圖K20-2,中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).一般情況下,折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成的,設(shè)剪下的扇形的面積為S1,圓面中剩余部分的面積為S2,當(dāng)S1與S2的比值為5-12時,扇面看上去形狀較為美觀,那么此時剪下的扇形的圓心角的弧度數(shù)為 (圖K20-2A.(3-5)π B.(5-1)πC.(5+1)π D.(5-2)π10.已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,Q同時從A點(diǎn)出發(fā),P沿著直線l向右、Q沿著圓周按逆時針方向以相同大小的速度運(yùn)動,當(dāng)Q再次運(yùn)動到點(diǎn)A時,點(diǎn)P,Q停止運(yùn)動.在運(yùn)動過程中,連接OQ,OP(如圖K20-3),則陰影部分的面積S1,S2的大小關(guān)系是 ()圖K20-3A.S1=S2 B.S1≤S2C.S1≥S2 D.先S1<S2再S1>S211.(多選題)若sinα>0且tanα<0,則α2