中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)（精講精練）復(fù)習(xí)專題36 幾何最值之費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題（原卷版）

專題36幾何最值之費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題專題36幾何最值之費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題方法技巧方法技巧問(wèn)題分析“費(fèi)馬點(diǎn)”指的是位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距高之和最短的點(diǎn)。主要分為兩種情況：（1）當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題。（2）當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)就是此內(nèi)角的頂點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題解題的核心技巧：旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上利用兩點(diǎn)之間線段最短求解問(wèn)題模型展示：如圖，在△ABC內(nèi)部找到一點(diǎn)P，使得PA＋PB＋PC的值最小.當(dāng)點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120o，則PA＋PB＋PC的值最小，P點(diǎn)稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).特別地，△ABC中，最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：1．費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。2．費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120°。最值解法：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為最小值。證明過(guò)程：將△APC邊以A為頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值BE題型精講題型精講【例1】如圖，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為_(kāi)_______．【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.EEADBCNM（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最??；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為SKIPIF1<0時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).提分作業(yè)提分作業(yè)1．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為_(kāi)_____．2．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為_(kāi)_____．4．已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為SKIPIF1<0，求正方形的邊長(zhǎng)．5．已知：△ABC是銳角三角形，G是三角形內(nèi)一點(diǎn)?！螦GC=∠AGB=∠BGC=120°.求證：GA+GB+GC的值最小.6．若點(diǎn)P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，則PB的值為；（2）如圖，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′＝PA＋PB＋PC．7．在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=SKIPIF1<0；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫(xiě)畫(huà)法）；②求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．8．已知，如圖，二次函數(shù)SKIPIF1<0圖象的頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)(SKIPIF1<0點(diǎn)在SKIPIF1<0點(diǎn)右側(cè))，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0對(duì)稱.(1)求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過(guò)點(diǎn)B作直線SK