中考數(shù)學一輪復習考點（精講精練）復習專題12 函數(shù)與方案設計選擇（教師版）

專題12專題12函數(shù)與方案設計選擇知識導航知識導航題型精講題型精講題型一：圖像圖表類【例1】某通訊公司就手機流量套餐推出三種方案，如下表：A方案B方案C方案每月基本費用（元）2056266每月免費使用流量（兆）1024m無限超出后每兆收費（元）nnA，B，C三種方案每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關系如圖所示．（1）請直接寫出m，n的值．（2）在A方案中，當每月使用的流量不少于1024兆時，求每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關系式．（3）在這三種方案中，當每月使用的流量超過多少兆時，選擇C方案最劃算？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）當每月使用的流量超過3772兆時，選擇C方案最劃算【分析】（1）m的值可以從圖象上直接讀取，n的值可以根據方案A和方案B的費用差和流量差相除求得；（2）直接運用待定系數(shù)法求解即可；（3）計算出方案C的圖象與方案B的圖象的交點表示的數(shù)值即可求解．【詳解】解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）設函數(shù)表達式為SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴y關于x的函數(shù)表達式SKIPIF1<0．（注：x的取值范圍對考生不作要求）（3）SKIPIF1<0（兆）．由圖象得，當每月使用的流量超過3772兆時，選擇C方案最劃算．題型二：文字類：費用問題【例2】某中學計劃暑假期間安排2名老師帶領部分學生參加紅色旅游．甲?乙兩家旅行社的服務質量相同,且報價都是每人1000元,經協(xié)商,甲旅行社的優(yōu)惠條件是:老師?學生都按八折收費:乙旅行社的優(yōu)惠條件是:兩位老師全額收費,學生都按七五折收費,（1）設參加這次紅色旅游的老師學生共有名,,（單位:元）分別表示選擇甲、乙兩家旅行社所需的費用,求,關于的函數(shù)解析式；（2）該校選擇哪家旅行社支付的旅游費用較少?【答案】（1）,（2）當學生人數(shù)超過10人時,選擇乙旅行社支付的旅游費最少；當學生人數(shù)少于10人時,選擇甲旅行社支付的旅游費最少；學生人數(shù)等于10人時,選擇甲、乙旅行社支付費用相等．【分析】（1）根據旅行社的收費=老師的費用+學生的費用,再由總價=單價×數(shù)量就可以得出?與x的函數(shù)關系式;（2）根據（1）的解析式,若,,,分別求出相應x的取值范圍,即可判斷哪家旅行社支付的旅游費用較少．【詳解】（1）由題意,得,,答：?與x的函數(shù)關系式分別是:,（2）當時,,解得,當時,,解得,當時,,解得,答：當學生人數(shù)超過10人時,選擇乙旅行社支付的旅游費最少；當學生人數(shù)少于10人時,選擇甲旅行社支付的旅游費最少；學生人數(shù)等于10人時,選擇甲、乙旅行社支付費用相等．題型三：文字類：利潤問題【例3】A，B兩家超市平時以同樣的價格出售相同的商品．暑假期間兩家超市都進行促銷活動，促銷方式如下：A超市：一次購物不超過300元的打9折，超過300元后的價格部分打7折；B超市：一次購物不超過100元的按原價，超過100元后的價格部分打8折．例如，一次購物的商品原價為500元，去A超市的購物金額為：（元）；去B超市的購物金額為：（元）．（1）設商品原價為x元，購物金額為y元，分別就兩家超市的促銷方式寫出y關于x的函數(shù)解析式；（2）促銷期間，若小剛一次購物的商品原價超過200元，他去哪家超市購物更省錢？請說明理由．【答案】（1）A商場y關于x的函數(shù)解析式：；B商場y關于x的函數(shù)解析式：；（2）當時，去B超市更省錢；當時，去A、B超市一樣省錢；當時，去A超市更省錢．【分析】（1）利用促銷方式，分別寫出A、B兩商場促銷活動的情況，注意需要寫出分段函數(shù);（2）小剛一次購物的商品原價超過200元,則可以確定B的函數(shù)解析式，再分段求出A函數(shù)的解析式，比較兩函數(shù)值即可，注意分段討論．【詳解】解：（1）A商場y關于x的函數(shù)解析式：，即：；B商場y關于x的函數(shù)解析式：，即：；（2）∵小剛一次購物的商品原價超過200元∴當時，，令，，所以，當時，即，去B超市更省錢；當時，，令，，所以，當時，即，此時去A、B超市一樣省錢；當時，即，去B超市更省錢；當時，即，去A超市更省錢；綜上所述，當時，去B超市更省錢；當時，去A、B超市一樣省錢；當時，去A超市更省錢．題型四：文字類：調配問題【例4】黔東南州某銷售公司準備購進A、B兩種商品，已知購進3件A商品和2件B商品，需要1100元；購進5件A商品和3件B商品，需要1750元．（1）求A、B兩種商品的進貨單價分別是多少元？（2）若該公司購進A商品200件，B商品300件，準備把這些商品全部運往甲、乙兩地銷售．已知每件A商品運往甲、乙兩地的運費分別為20元和25元；每件B商品運往甲、乙兩地的運費分別為15元和24元．若運往甲地的商品共240件，運往乙地的商品共260件．①設運往甲地的A商品為（件），投資總運費為（元），請寫出與的函數(shù)關系式；②怎樣調運A、B兩種商品可使投資總費用最少？最少費用是多少元？（投資總費用＝購進商品的費用＋運費）【答案】（1）A商品的進貨單價為200元，B商品的進貨單價為250元；（2）①；②最佳調運方案為：調運240件B商品到甲地，調運200件A商品、60件B商品到乙地．最小費用為125040元【分析】（1）設A商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，根據購進3件A商品和2件B商品，需要1100元；購進5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程組求解即可；（2）①設運往甲地的A商品為x件，則設運往乙地的A商品為（200﹣x）件，運往甲地的B商品為（240﹣x）件，運往乙地的B商品為（60+x）件，根據投資總運費＝運往甲、乙兩地運費之和列出函數(shù)關系式即可；②根據投資總費用＝購買商品的費用+總運費，列出函數(shù)關系式，由自變量的取值范圍是：0≤x≤200，根據函數(shù)的性質判斷最佳運輸方案并求出最低費用．【詳解】解：（1）設A商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，根據題意，得，解得：，答：A商品的進貨單價為200元，B商品的進貨單價為250元；（2）①設運往甲地的A商品為x件，則設運往乙地的A商品為（200﹣x）件，運往甲地的B商品為（240﹣x）件，運往乙地的B商品為（60+x）件，則y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，∴y與x的函數(shù)關系式為y＝4x+10040；②投資總費用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，自變量的取值范圍是：0≤x≤200，∵k＝4＞0，∴y隨x增大而增大．當x＝0時，w取得最小值，w最?。?25040（元），∴最佳調運方案為：調運240件B商品到甲地，調運200件A商品、60件B商品到乙地，最小費用為125040元．答：調運240件B商品到甲地，調運200件A商品、60件B商品到乙地總費用最小，最小費用為125040元．提分訓練提分訓練1．“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴大糧食生產規(guī)模，某糧食生產基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農機具，已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需3.5萬元，購進1件甲種農機具和3件乙種農機具共需3萬元．（1）求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？（2）若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩種農機具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，設購進甲種農機具m件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？（3）在（2）的方案下，由于國家對農業(yè)生產扶持力度加大，每件甲種農機具降價0.7萬元，每件乙種農機具降價0.2萬元，該糧食生產基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農機具（可以只購買一種），請直接寫出再次購買農機具的方案有哪幾種？【答案】（1）購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元；（2）有三種方案：方案一：購買甲種農機具5件，乙種農機具5件；方案二：購買甲種農機具6件，乙種農機具4件；方案三：購買甲種農機具7件，乙種農機具3件；方案一需要資金最少，最少資金是10萬元；（3）節(jié)省的資金再次購買農機具的方案有兩種：方案一：購買甲種農機具0件，乙種農機具15件；方案二：購買甲種農機具3件，乙種農機具7件【分析】（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元，根據題意可直接列出二元一次方程組求解即可；（2）在（1）的基礎之上，結合題意，建立關于m的一元一次不等式組，求解即可得到m的范圍，從而根據實際意義確定出m的取值，即可確定不同的方案，最后再結合一次函數(shù)的性質確定最小值即可；（3）結合（2）的結論，直接求出可節(jié)省的資金，然后確定降價后的單價，再建立二元一次方程，并結合實際意義進行求解即可．【詳解】解：（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元．根據題意，得，解得：，答：購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元．（2）根據題意，得，解得：，∵m為整數(shù)，∴m可取5、6、7，∴有三種方案：方案一：購買甲種農機具5件，乙種農機具5件；方案二：購買甲種農機具6件，乙種農機具4件；方案三：購買甲種農機具7件，乙種農機具3件．設總資金為W萬元，則，∵，∴W隨m的增大而增大，∴當時，（萬元），∴方案一需要資金最少，最少資金是10萬元．（3）由（2）可知，購買甲種農機具5件，乙種農機具5件時，費用最小，根據題意，此時，節(jié)省的費用為（萬元），降價后的單價分別為：甲種0.8萬元，乙種0.3萬元，設節(jié)省的資金可購買a臺甲種，b臺乙種，則：，由題意，a，b均為非負整數(shù)，∴滿足條件的解為：或，∴節(jié)省的資金再次購買農機具的方案有兩種：方案一：購買甲種農機具0件，乙種農機具15件；方案二：購買甲種農機具3件，乙種農機具7件．2．（2021·內蒙古呼和浩特市）下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究電話計費問題月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/min）被叫方式一581500.25免費方式二883500.19免費考慮下列問題：①設一個月內用移動電話主叫為min（t是正整數(shù)）根據上表，列表說明：當t在不同時間范圍內取值時，按方式一和方式二如何計費②觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法．小明升入初三再看這個問題，發(fā)現(xiàn)兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，他把主叫時間視為在正實數(shù)范圍內變化，決定用函數(shù)來解決這個問題．（1）根據函數(shù)的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設為自變量x和自變量的函數(shù)y，請你幫小明寫出：x表示問題中的__________，y表示問題中的__________．并寫出計費方式一和二分別對應的函數(shù)解析式；（2）在給出的正方形網格紙上畫出（1）中兩個函數(shù)的大致圖象，并依據圖象直接寫出如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式．（注：坐標軸單位長度可根據需要自己確定）【答案】（1）主叫時間，計費；方式一：；方式二：；（2）見解析，當主叫時間在270分鐘以內選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二【分析】（1）根據題意即可知道x、y的實際意義，根據兩種方式的計算方式即可列出分段式函數(shù)關系式；（2）根據函數(shù)表達式，描點法畫出函數(shù)圖像即可．【詳解】解：（1）根據題意可知：x表示主叫時間，y表示計費，通過表格數(shù)據可知兩種方式都屬于分段函數(shù)，主叫超時費即為一次函數(shù)“k”值，即可直接寫出函數(shù)表達式為：方式一：方式二：（2）大致圖象如下：，解得x=270，由圖可知：當主叫時間在270分鐘以內選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二．3．“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”．為擴大糧食生產規(guī)模，某糧食生產基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農機具，已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需萬元，購進1件甲種農機具和3件乙種農機具共需3萬元．（1）求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？（2）若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩種農機具共10件，且投入資金不少于萬元又不超過12萬元，設購進甲種農機具件，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少?【答案】（1）購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元；（2）購進甲種農機具5件，乙種農機具5件；購進甲種農機具6件，乙種農機具4件；購進甲種農機具7件，乙種農機具3件；（3）購進甲種農機具5件，乙種農機具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．【分析】（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元，然后根據題意可得，進而求解即可；（2）由（1）及題意可得購進乙種農機具為（10-m）件，則可列不等式組為，然后求解即可；（3）設購買農機具所需資金為w萬元，則由（2）可得，然后結合一次函數(shù)的性質及（2）可直接進行求解．【詳解】解：（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元，由題意得：，解得：，答：購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元．（2）由題意得：購進乙種農機具為（10-m）件，∴，解得：，∵m為正整數(shù)，∴m的值為5、6、7，∴共有三種購買方案：購進甲種農機具5件，乙種農機具5件；購進甲種農機具6件，乙種農機具4件；購進甲種農機具7件，乙種農機具3件；．（3）設購買農機具所需資金為w萬元，則由（2）可得，∵1＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=5時，w的值最小，最小值為w=5+5=10，答：購進甲種農機具5件，乙種農機具5件所需資金最少，最少資金為10萬元．4．獼猴嬉戲是王屋山景區(qū)的一大特色，獼猴玩偶非常暢銷．小李在某網店選中，兩款獼猴玩偶，決定從該網店進貨并銷售．兩款玩偶的進貨價和銷售價如下表：類別價格款玩偶款玩偶進貨價（元/個）銷售價（元/個）（1）第一次小李用元購進了，兩款玩偶共個，求兩款玩偶各購進多少個；（2）第二次小李進貨時，網店規(guī)定款玩偶進貨數(shù)量不得超過款玩偶進貨數(shù)量的一半．小李計劃購進兩款玩偶共個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？（3）小李第二次進貨時采取了（2）中設計的方案，并且兩次購進的玩偶全部售出，請從利潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？（注：利潤率）【答案】（1）款20個，款10個；（2）款10個，款20個，最大利潤是460元；（3）第二次更合算．理由見解析【分析】（1）根據題意列二元一次方程組，解方程組即可；（2）根據條件求得利潤的解析式，再判斷最大利潤即可；（3）分別求出第一次和第二次的利潤率，比較之后即可知道哪一次更合算．【詳解】（1）設，兩款玩偶分別為個，根據題意得：解得：答：兩款玩偶，款購進20個，款購進10個．（2）設購進款玩偶a個，則購進款個,設利潤為y元則（元）款玩偶進貨數(shù)量不得超過款玩偶進貨數(shù)量的一半，又且為整數(shù)，當時，y有最大值（元）款個，款個，最大利潤是元．（3）第一次利潤（元）第一次利潤率為：第二次利潤率為：第二次的利潤率大，即第二次更劃算．5．為了做好防疫工作，學校準備購進一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？（2）學校準備購進這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請設計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．【答案】（1）種消毒液的單價是7元，型消毒液的單價是9元；（2）購進種消毒液