數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題-相似

如圖1，△ABC≌△DEF〔點(diǎn)A、B分別與點(diǎn)D、E對(duì)應(yīng)〕，AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC固定不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足點(diǎn)E在BC邊從B向C移動(dòng)〔點(diǎn)E不與B、C重合〕，DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC邊交于點(diǎn)M，當(dāng)△AEM是等腰三角形時(shí)，BE＝_________．動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“15長(zhǎng)寧18”，拖動(dòng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△AEM有三個(gè)時(shí)刻成為等腰三角形，其中一個(gè)時(shí)刻點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．答案或1．思路如下：設(shè)BE＝x．由△ABE∽△ECM，得，即．等腰三角形AEM分三種情況討論：①如圖2，如果AE＝AM，那么△AEM∽△ABC．所以．解得x＝0，此時(shí)E、B重合，舍去．②如圖3，當(dāng)EA＝EM時(shí)，．解得x＝1．③如圖4，當(dāng)MA＝ME時(shí)，△MEA∽△ABC．所以．解得x＝．圖2圖3圖4如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE＝30°，M為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q．假設(shè)PQ＝AE，那么AP的長(zhǎng)等于__________cm．圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“14泰州16”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，觀察度量值，可以體驗(yàn)到，存在兩個(gè)時(shí)刻PQ＝AE答案1或2．思路如下：如圖2，當(dāng)PQ＝AE時(shí)，可證PQ與AE互相垂直．在Rt△ADE中，由∠DAE＝30°，AD＝3，可得AE＝．在Rt△APM中，由∠PAM＝30°，AM＝，可得AP＝2．在圖3中，∠ADF＝30°，當(dāng)PQ＝DF時(shí)，DP＝2，所以AP＝1．圖2圖3如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上．假設(shè)四邊形EGFH是菱形，那么AE的長(zhǎng)是〔〕．A．B．C．5D．6圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“15安徽09”，拖動(dòng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)EF與AC垂直時(shí)，四邊形EGFH是菱形〔如圖2〕．答案C．思路如下：如圖3，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝4，所以AC＝．由cos∠BAC＝，得．所以AE＝5．圖2圖3如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AC上一點(diǎn)，且AD＝3，如果△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至D'，那么線段DD'的長(zhǎng)為．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“14黃浦18”，拖動(dòng)點(diǎn)B'繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可以體驗(yàn)到，兩個(gè)等腰三角形ABB'與等腰三角形ADD'答案．思路如下：如圖3，由△ABC∽△ADD'，可得．5∶4＝3∶DD'．圖2圖3如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．〔1〕求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；〔2〕聯(lián)結(jié)CD，過(guò)原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AE、AD．求證：∠AEO＝∠ADC；〔3〕以〔2〕中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫圓，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作⊙E的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“14福州22”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)PE最小時(shí)，PQ也最?。悸伏c(diǎn)撥1．計(jì)算點(diǎn)E的坐標(biāo)是關(guān)鍵的一步，充分利用、挖掘等角〔或同角〕的余角相等．2．求PE的最小值，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，如果把PE2表示為x的四次函數(shù)，運(yùn)算很麻煩．如果把PE2轉(zhuǎn)化為y的二次函數(shù)就比擬簡(jiǎn)便了．總分值解答〔1〕由，得，．由，得，．〔2〕設(shè)CD與AE交于點(diǎn)F，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，作DN⊥y軸于N．如圖2，由，，得DN＝3，．因此．如圖3，由OE⊥CD，得∠EOM＝∠DCN．因此．所以EM＝2，E(3,2)．由，，得．因此，．所以∠AEM＝∠DAM．于是可得∠AED＝90°．如圖4，在Rt△EHF與Rt△DAF中，因?yàn)椤螮FH＝∠DFA，所以∠HEF＝∠ADF，即∠AEO＝∠ADC．圖2圖3圖4〔3〕如圖5，在Rt△EPQ中，EQ為定值，因此當(dāng)PE最小時(shí)，PQ也最?。O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，那么PE2＝(x－3)2＋(y－2)2．，所以．因此．所以當(dāng)y＝1時(shí)，PE取得最小值．解方程，得x＝5，或x＝1〔在對(duì)稱軸左側(cè)，舍去〕．因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,1)．此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,1)或〔如圖6所示〕．圖5圖6圖7考點(diǎn)伸展第〔3〕題可以這樣求點(diǎn)Q的坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n)．由E(3,2)、P(5,1)，可得PE2＝5．又EQ2＝1，所以PQ2＝4．列方程組解得還可以如圖7那樣求點(diǎn)Q的坐標(biāo)：對(duì)于Q(m,n)，根據(jù)兩個(gè)陰影三角形相似，可以列方程組．同樣地，對(duì)于Q′(m,n)，可以列方程組．例12015年上海市閔行區(qū)中考模擬第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3,0)，點(diǎn)D在線段AB上，AD＝AC．〔1〕求這條拋物線的解析式，并求出拋物線的對(duì)稱軸；〔2〕如果以DB為半徑的⊙D與⊙C外切，求⊙C的半徑；〔3〕設(shè)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段BC上，如果線段MN被直線CD垂直平分，求的值．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“15閔行24”，拖動(dòng)點(diǎn)N在BC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)DC垂直平分MN時(shí)，∠NDC＝∠ADC＝∠ACD，此時(shí)DN//AC．思路點(diǎn)撥1．準(zhǔn)確描繪A、B、C、D的位置，把相等的角標(biāo)注出來(lái)，利于尋找等量關(guān)系．2．第〔3〕題在圖形中模擬比劃MN的位置，近似DC垂直平分MN時(shí)，把新產(chǎn)生的等角與前面存在的等角比照，思路就有了．總分值解答〔1〕將點(diǎn)A(－3,0)代入y＝ax2－2ax－4，得15a－4＝0．解得．所以拋物線的解析式為．拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．〔2〕由，得B(5,0)，C(0,－4)．由A(－3,0)、B(5,0)、C(0,－4)，得AB＝8，AC＝5．當(dāng)AD＝AC＝5時(shí)，⊙D的半徑DB＝3．由D(2,0)、C(0,－4)，得DC＝．因此當(dāng)⊙D與⊙C外切時(shí)，⊙C的半徑為〔如圖2所示〕．〔3〕如圖3，因?yàn)锳D＝AC，所以∠ACD＝∠ADC．如果線段MN被直線CD垂直平分，那么∠ADC＝∠NDC．這時(shí)∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是．圖2圖3考點(diǎn)伸展解第〔3〕題畫示意圖的時(shí)候，容易誤入歧途，以為M就是點(diǎn)O．這是為什么呢？我們反過(guò)來(lái)計(jì)算：當(dāng)DN//AC，時(shí)，，因此DM＝DN＝．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大復(fù)原事實(shí)的真相，如圖4所示．圖4例52012年河南省中考第23題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線y＝ax2＋bx－3交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、B重合〕，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．〔1〕求a、b及sin∠ACP的值；〔2〕設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，并求出線段PD長(zhǎng)的最大值；②連結(jié)PB，線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為9∶10？假設(shè)存在，直接寫出m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“12河南23”，拖動(dòng)點(diǎn)P在直線AB下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PD隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圖象是開口向下的拋物線的一局部，當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，PD到達(dá)最大值．觀察面積比的度量值，可以體驗(yàn)到，左右兩個(gè)三角形的面積比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路點(diǎn)撥1．第〔1〕題由于CP//y軸，把∠ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角．2．第〔2〕題中，PD＝PCsin∠ACP，第〔1〕題已經(jīng)做好了鋪墊．3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個(gè)三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)高DN與BM的比．4．兩個(gè)三角形的面積比為9∶10，要分兩種情況討論．總分值解答〔1〕設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．因?yàn)镻C//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．將A(－2,0)、B(4,3)分別