河南省開封市聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)

2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研試卷高一數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合的真子集的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.82.函數(shù)定義域為（）A. B. C. D.3.已知是第三象限角，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知，且x為第二象限角，則（）A. B. C. D.5.一個扇形弧長與面積的數(shù)值都是1，則這個扇形中心角的弧度數(shù)為（）A. B. C.1 D.26.若則（）A B. C. D.7.下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.8.若且，則，，大小關(guān)系為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列與的值相等的是（）A. B.C. D.10.已知集合，則（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)，若方程的實數(shù)解有2個，則的值可能為（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且時，單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的為（）A.是偶函數(shù)B.的圖象關(guān)于點中心對稱C.D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)圖象如圖所示，則________14.已知函數(shù)的值域為，則的定義域可以是______15.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為：，其中，k是正的常數(shù).如果在前5h消除了的污染物，則10h后剩余__________%的污染物含量.16.已知函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，若，則的取值范圍是__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.化簡下列各式（式中字母均是正數(shù)）；（1）；（2）18.如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為1的空白.記紙張的面積為S，排版矩形的長和寬分別為x，y.（1）用x，y表示S;（2）如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小?并求最小面積.19.對于集合，定義且.例如:，則有.已知集合，，其中.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)與單位圓O相交于第二象限的點A，過A作x軸的垂線，垂足為B，.（1）求的值；（2）求的值.21.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義進(jìn)行證明；（3）求不等式的解集.22.已知函數(shù)且在區(qū)間上有且只有兩個零點.（1）求的值;（2）若，，使，求的取值范圍.2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研試卷高一數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合的真子集的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】計算出該集合后，可得元素個數(shù)，從而得到真子集個數(shù).【詳解】，共有兩個元素，故其真子集的個數(shù)為.故選：A.2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0得到不等式，解出即可.【詳解】由題意得，解得，則函數(shù)的定義域為，故選：C.3.已知是第三象限角，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)以及充分、必要條件等知識確定正確答案.【詳解】若是第三象限角，則；若，如，則不是第三象限角.所以是的充分不必要條件.故選：A4.已知，且x第二象限角，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到方程組，解出即可.【詳解】因為x為第二象限角，所以，由題意得，解得（負(fù)舍），故選：D.5.一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是1，則這個扇形中心角的弧度數(shù)為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式及圓心角的定義求解即可【詳解】設(shè)扇形中心角為，因為，則扇形半徑，所以，故選：B6.若則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可比較大小.【詳解】因為，所以，又，，所以.故選：A7.下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對A舉反例即可，對B利用輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)的周期求法即可判斷，對CD利用三角恒等變換并結(jié)合余弦型的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對A，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則該函數(shù)在上并不是單調(diào)遞減，故A錯誤；對B，，其最小正周期為，故B錯誤；對C，，當(dāng)，則在單調(diào)遞增；故C錯誤，對D，，則其最小正周期為，且當(dāng)，，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：D.8.若且，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用不等式性質(zhì)可得，，取對數(shù)后利用換底公式得解.【詳解】因為，所以，所以，，即，，所以，故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列與的值相等的是（）A. B.C D.【答案】AD【解析】【分析】借助誘導(dǎo)公式逐個計算即可得.【詳解】，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確；故選：AD.10.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】解出集合，再根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算一一分析即可.【詳解】，即，解得，則，，則，則，，故A正確，B錯誤，，則，C正確；，則，D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，若方程的實數(shù)解有2個，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】畫出、的圖象，根據(jù)圖象求得正確答案.【詳解】當(dāng)時，，且，當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，畫出的圖象如下圖所示，若方程的實數(shù)解有2個，即轉(zhuǎn)化為直線與圖象有兩個交點，由圖可知，，此時直線與圖象有兩個交點，則BD符合要求，AC錯誤.故選：BD.12.已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且時，單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的為（）A.是偶函數(shù)B.圖象關(guān)于點中心對稱C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)可推出函數(shù)的周期，利用替換的思想，結(jié)合偶函數(shù)的定義可判斷A，得出根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷B，由為奇函數(shù)可得，利用周期，再由函數(shù)單調(diào)性判斷C，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為判斷的符號，利用單調(diào)性即可判斷D.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，因為為偶函數(shù)，所以，所以，故，即周期為，由，可得，故函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；由可得，因為是偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于成中心對稱，故B正確；由周期可得，而由為奇函數(shù)知，即，又時，單調(diào)遞增，所以，故C錯誤；因為，且時，單調(diào)遞增，所以，即，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則________【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，直接求函數(shù)值即可.【詳解】由函數(shù)圖象知，.故答案為：14.已知函數(shù)的值域為，則的定義域可以是______【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】解分式不等式得到范圍，寫出符合題意的定義域即可.【詳解】令，解得或，則的定義域可以是，故答案：（答案不唯一）.15.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為：，其中，k是正的常數(shù).如果在前5h消除了的污染物，則10h后剩余__________%的污染物含量.【答案】【解析】【分析】根據(jù)所給函數(shù)模型，代入后整體計算即可得解.【詳解】因為前5h消除了的污染物，所以，解得，當(dāng)經(jīng)過10h后，，所以10h后剩余的污染物含量.故答案為：16.已知函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用反函數(shù)及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到a,b關(guān)系，再利用基本不等式求解.【詳解】函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以因為，所以，即,化簡得且，又解得或（舍去）當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪⒐蚀鸢笧椋核?、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.化簡下列各式（式中字母均是正數(shù)）；（1）；（2）【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式求解即可；（2）根式化為指數(shù)冪，利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式18.如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為1的空白.記紙張的面積為S，排版矩形的長和寬分別為x，y.（1）用x，y表示S;（2）如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小?并求最小面積.【答案】（1）（2）紙張的長和寬分別為12，6時，紙張的面積最小，最小面積為72.【解析】【分析】（1）由題意知，再代入化簡即可；（2）利用基本不等式即可求出最值.【小問1詳解】由題意，，.【小問2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以紙張的長和寬分別為12，6時，紙張的面積最小，最小面積為72.19.對于集合，定義且.例如:，則有.已知集合，，其中.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義集合求得.（2）由列不等式來求得的取值范圍，進(jìn)而求得時的取值范圍.【小問1詳解】若，則，而，所以.【小問2詳解】由，由于，所以解得，所以，若，則，所以，解得，所以時，的取值范圍是.20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)與單位圓O相交于第二象限的點A，過A作x軸的垂線，垂足為B，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到答案；（2）利用二倍角公式和弦化切即可.【小問1詳解】由題意，則角的終邊與單位圓相交于，且,所以.【小問2詳解】.21.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義進(jìn)行證明；（3）求不等式的解集.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，證明詳見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得.（2）通過計算得到，從而證得的單調(diào)性.（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求得不等式的解集.【小問1詳解】由于是奇函數(shù)，所以，所以【小問2詳解】由（1）得，所以在上單調(diào)遞增，證明