知識(shí)精講：變量間的相關(guān)關(guān)系、回歸分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)

5/11變量間的相關(guān)關(guān)系、回歸分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)【知識(shí)精講】1．會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量的相關(guān)關(guān)系．2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．3．掌握獨(dú)立檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法簡(jiǎn)單應(yīng)用.4.掌握假設(shè)檢驗(yàn)和聚類分析的基本思想、方法簡(jiǎn)單應(yīng)用.【基礎(chǔ)梳理】1．相關(guān)關(guān)系的量：當(dāng)自變量一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2．回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析．3．散點(diǎn)圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖．4．正相關(guān)與負(fù)相關(guān)概念：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，稱為正相關(guān)．如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱為負(fù)相關(guān)．相關(guān)系數(shù)：r＝叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)，用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)程度．7．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：|r|≤1，且|r|越接近1，相關(guān)程度越大；且|r|越接近0，相關(guān)程度越小．8．獨(dú)立性檢驗(yàn)：一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：2×2列聯(lián)表 若要推斷的論述為H1：X與Y有關(guān)系，可以按如下步驟判斷結(jié)論H1成立的可能性：(1)通過(guò)三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無(wú)法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度．①在三維柱形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與副對(duì)角線上的兩個(gè)柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大．②在二維條形圖中，可以估計(jì)滿足條件X＝x1的個(gè)體中具有Y＝y(tǒng)1的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件X＝x2的個(gè)體中具有Y＝y(tǒng)2的個(gè)體所占的比例.“兩個(gè)比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大．”(2)可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度．具體做法是：①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要的可信程度確定臨界值k0；②利用公式K2＝，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k；③如果k＞k0，就以(1－P(K2≥k0))×100%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)．【要點(diǎn)解讀】要點(diǎn)七相關(guān)關(guān)系的判斷【例7】山東魯潔棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上對(duì)某棉花新品種進(jìn)行施化肥量x對(duì)產(chǎn)量y影響的試驗(yàn)，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位：kg)．然后進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在確認(rèn)具有線性相關(guān)關(guān)系后，再求其回歸直線．?！敬鸢浮恳c(diǎn)九獨(dú)立性檢驗(yàn)【例9】(2009·遼寧)某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：甲廠：乙廠：(1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問(wèn)是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.【命題立意】考查由采集樣本的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)獨(dú)立性.【標(biāo)準(zhǔn)解析】利用公式計(jì)算K2的值，比較它與臨界值的大小關(guān)系，來(lái)判斷事件X與Y是否有關(guān)的問(wèn)題．【誤區(qū)警示】圖表數(shù)據(jù)及利用計(jì)算數(shù)據(jù)判斷獨(dú)立性的步驟必須正確理解.【答案】(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為＝72%；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為＝64%.（2）所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”【變式訓(xùn)練】在對(duì)人們休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表； (2)畫出二維條形圖； (3)檢驗(yàn)休閑方式是否與性別有關(guān)，可靠性有多大．【標(biāo)準(zhǔn)解析】獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查。【技巧點(diǎn)撥】先由已知條件轉(zhuǎn)化聯(lián)表及條形圖，然后由公式計(jì)算k2與臨界值的關(guān)系。【答案】(1)2×2列聯(lián)表如圖：(2)二維條形圖如圖：(3)假設(shè)休閑方式與性別無(wú)關(guān),則K2＝≈6.201＞5.024，所以有理由認(rèn)為休閑方式與性別無(wú)關(guān)是不合理的，即我們有97.5%的把握認(rèn)為休閑方式與性別有關(guān)．【原創(chuàng)題探討】【原創(chuàng)精典1】某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量130 由于不小心，表格中A、C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚了，統(tǒng)計(jì)員只記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是________件．【解析】設(shè)樣本的總?cè)萘繛閤，則eq\f(x,3000)×1300＝130，∴x＝300. ∴A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300－130＝170(件)． 設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y＋y＋10＝170，∴y＝80.∴C產(chǎn)品的數(shù)量為eq\f(3000,300)×80＝800.【答案】800[來(lái)源:Z。xx。k.Com]【原創(chuàng)精典2】如右圖是某電視臺(tái)綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A．84,4.84B．84,1.6C．85,4D．85,1.6【解析】由莖葉圖可知評(píng)委打出的最低分為79，最高分為93，其余得分為84,84,86,84,87，故平均分為eq\f(84×3＋86＋87,5)＝85，方差為eq\f(1,5)[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.【答案】D【原創(chuàng)精典3】近年來(lái)，由于亂砍濫伐，掠奪性使用森林資源，我國(guó)長(zhǎng)江、黃河流域植被遭到破壞，土地沙化嚴(yán)重，洪澇災(zāi)害時(shí)有發(fā)生．沿黃某地區(qū)為積極響應(yīng)和支持“保護(hù)母親河”的倡議，建造了長(zhǎng)100千米，寬0.5千米的防護(hù)林．有關(guān)部門為掌握這一防護(hù)林共約有多少棵樹，從中選出10塊（每塊長(zhǎng)1千米，寬0.5千米）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，每塊樹木數(shù)量如下（單位：棵）65100632006460064700673006330065100666006280065500請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算這一防護(hù)林共約有多少棵樹（結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）．【解析】要求學(xué)生有用樣本估計(jì)總體的思想方法，另一方面要求學(xué)生有應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，這是今后中考命題發(fā)展的趨勢(shì)．【答案】先計(jì)算出＝（65100＋63200＋64600＋64700＋67300＋63300＋65100＋66600＋62800＋65500）＝64820．于是，可以估計(jì)這一防護(hù)林平均每塊約有64820株樹．又64820×100＝6482000≈6.48×106（株），于是可以估計(jì)這一防護(hù)林大約共有6.48×106株樹．新動(dòng)向前瞻【樣題1】已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是________．【解析】∵中位數(shù)為10.5，∴eq\f(a＋b,2)＝10.5，a＋b＝21， ∵x＝eq\f(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20,10)＝10， ∴s2＝eq\f(1,10)[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a)2＋(10－b)2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]． 令y＝(10－a)2＋(10－b)2＝2a2－42a＋221＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(21,2)))2＋eq\f(1,2)， 當(dāng)a＝10.5時(shí)，y取最小值，方差s2也取最小值．∴a＝10.5，b＝10.5.【答案】10.510.5【樣題2】某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K2≈3.918，經(jīng)查對(duì)臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05. p：有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”； q：若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r：這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%； s：這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%. 則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上) ①p∧q；②綈p∧q；③(綈p∧綈q)∧(r∨s)；④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．【解析】由題意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以只有p正確，即有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”，由真值表知①、④為真命題．【答案】①④【樣題3】①合情推理是由特殊到一般的推理，得到的結(jié)論不一定正確，演繹推理是由一般到特殊的推理，得到的結(jié)論一定正確； ②一般地，當(dāng)r的絕對(duì)值大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，如果變量y與x之間的相關(guān)系數(shù)r＝－0.9568，則變量y與x之間具有線性關(guān)系； ③用獨(dú)立性檢驗(yàn)(2×2列聯(lián)表法)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系時(shí)，算出的隨機(jī)變量K2的值越大，說(shuō)明“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大； ④命題p：?x∈R使得x2＋x＋1＜0，則綈p：?x∈R均有x2＋x＋1≥0. 其中結(jié)論正確的序號(hào)為________．(寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào))【解析】②通過(guò)統(tǒng)計(jì)假設(shè)，查表得結(jié)論正確；③參考兩個(gè)分類變量x和y有關(guān)系的可信度表：k2的值越大，說(shuō)明“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大；④正確，命題p：?x∈R使得p(x)，則綈p：?x∈R均有綈p(x)．【答案】②③④【樣題4】出下列四個(gè)命題： ①?x∈R，cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))一定不成立；②今年初某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)“達(dá)菲(藥物)”對(duì)甲型H1N1流感病毒是否有抑制作用，把墨西哥的患者數(shù)據(jù)庫(kù)中的500名使用達(dá)菲的人與另外500名未用達(dá)菲的人一段時(shí)間內(nèi)患甲型H1N1流感的療效記錄作比較，提出假設(shè)H0：“達(dá)菲不能起到抑制甲型H1N1流感病毒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K2≈3.918，經(jīng)查對(duì)臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，說(shuō)明達(dá)菲抑制甲型H1N1流感病毒的有效率為95%；③|a·b|＝|a||b|是|λa＋μb|＝|λ||a|＋|μ||b|成立的充要條件；④如右圖的莖葉圖是某班在一次測(cè)驗(yàn)時(shí)的成績(jī)：可斷定：女生成績(jī)比較集中，整體水平稍高于男生． 其中真命題的序號(hào)是________．(填上所有真命題的序號(hào))【解析】對(duì)于①，等式展開后可化簡(jiǎn)為asinx＋bcosx＝0的形式，可知一定有解；對(duì)于②，正確解釋是：有95%的把握認(rèn)為“達(dá)菲對(duì)甲型H1N1流感病毒有抑制作用”；對(duì)于③，由向量模的性質(zhì)知不正確．【答案】④【樣題5】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)求回歸直線方程； (3)試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出為10百萬(wàn)元時(shí)，銷售額多大？【解析】線性回歸問(wèn)題的綜合考查?！敬鸢浮?1)根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖如下： (2)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560 因此，x＝eq\f(25,5)＝5，y＝e