數(shù)列之?dāng)?shù)列與向量、解析幾何

數(shù)列與向量例數(shù)列的首項，前項和為，且、、〔n≥2〕分別是直線上的點A、B、C的橫坐標(biāo)，，設(shè)，．⑴判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；⑵設(shè)，證明：．解：⑴由題意得〔n≥2〕，又∵，數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列。[那么〔〕]⑵由及得，那么例=,=,〔1〕求證：為等差數(shù)列；(2)假設(shè),問是否存在,對于任意〔〕，不等式成立.解〔1〕為等差數(shù)列〔2〕例在直角坐標(biāo)平面中，點，其中n是正整數(shù)，對平面上任一點A0，記A1為A0關(guān)于點P1的對稱點，A2為A1關(guān)于點P2的對稱點，……，An為An－1關(guān)于點Pn的對稱點.〔1〕求向量的坐標(biāo)；〔2〕對任意偶數(shù)n，用n表示向量的坐標(biāo).〔1〕設(shè)對稱故〔2〕同理可得：故例設(shè)SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸正方向上的單位向量分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，坐標(biāo)平面上點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別滿足以下兩個條件：①SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.〔1〕求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)四邊形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的表達(dá)式；〔3〕對于〔Ⅱ〕中的SKIPIF1<0，是否存在最小的自然數(shù)M，對一切SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立？假設(shè)存在，求M；假設(shè)不存在，說明理由．解：〔1〕

〔2〕，〔3〕SKIPIF1<0等即在數(shù)列中，SKIPIF1<0是數(shù)列的最大項，所以存在最小的自然數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，對一切SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0＜M成立.數(shù)列與解析幾何例在平面上有一系列點對每個自然數(shù),點位于函數(shù)的圖象上．以點為圓心的⊙與軸都相切，且⊙與⊙又彼此外切．假設(shè),且．〔1〕求證：數(shù)列是等差數(shù)列；PnPn+1〔2〕設(shè)⊙的面積為，,求證：PnPn+1解：〔1〕依題意，⊙的半徑，⊙與⊙彼此外切，兩邊平方，化簡得,即,，，∴數(shù)列是等差數(shù)列．(2)由題設(shè)，，∴，即，，＝＝例如圖，是曲線上的個點，點在軸的正半軸上，是正三角形(是坐標(biāo)原點).(Ⅰ)寫出；(Ⅱ)求出點的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式；(Ⅲ)設(shè)，假設(shè)對任意正整數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：(Ⅰ)(Ⅱ)依題意，那么yxOA0PyxOA0P1P2P3A1A2A3在正三角形中，有..，，①同理可得.②①-②并變形得，，.∴數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列.，..(Ⅲ)解法1：∵，∴..∴當(dāng)時，上式恒為負(fù)值，∴當(dāng)時，，∴數(shù)列是遞減數(shù)列.的最大值為.假設(shè)對任意正整數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，那么不等式在時恒成立，即不等式在時恒成立.設(shè)，那么且，∴解之，得或，即的取值范圍是.例設(shè)曲線上的點為過P0作曲線c的切線與x軸交于Q1，過Q1作平行于y軸的直線與曲線c交于，然后再過P1作曲線c的切線交x軸于Q2，過Q2作平行于y軸的直線與曲線c交于，依此類推，作出以下各點：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…Pn，Qn+1…，，設(shè)〔1〕求出過點P0的切線方程；〔2〕設(shè)求的表達(dá)式；〔3〕設(shè)求解：〔1〕∴過點P0的切線段為即〔2〕∴過點Pn的切線方程為將的坐標(biāo)代入方程得：故數(shù)列是首項為的等比數(shù)列〔3〕例點滿足：，且〔1〕求過點的直線的方程；〔2〕判斷點與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；〔3〕求點的極限位置。解：〔1〕由，得：顯然直線的方程為〔2〕由，得：∴點，猜測點在直線上，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n＝2時，點假設(shè)當(dāng)時，點，即當(dāng)時，∴點綜上，點〔3〕由，得：∴數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列即點的極限位置為點P〔0，1〕例△ABC中，|AB|=|AC|=1，，P1為AB邊上的一點，，從P1向BC作垂線，垂足是Q1；從Q1向CA作垂線，垂足是R1；從R1向AB作垂線，垂足是P2，再由P2開始重復(fù)上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4……〔1〕令BPn為xn，尋求BPn與〔即〕之間的關(guān)系?！?〕點列是否一定趨向于某一個定點P0？說明理由；〔3〕假設(shè)，那么是否存在正整數(shù)m，使點P0與Pm之間的距離小于0.001？假設(shè)存在，求m的最小值。解：〔1〕由|AB|=|AC|=1，從而△ABC為邊長為1的正三角形那么，于是∴同樣又即〔2〕由〔1〕可得：∴的等比數(shù)列∴當(dāng)∴點Pn趨向點P0，其中P0在AB上，且BP0〔3〕由當(dāng)∴的最小值為4例數(shù)軸上有一列點P1，P2，P3，…，Pn，…，當(dāng)時，點Pn是把線段Pn–1Pn+1作n等分的分點中最靠近Pn+1的點，設(shè)線段P1P2，P2P3，…，PnPn+1的長度分別為a1，a2，a3，…，an，其中a1=1．〔1〕寫出a2，a3和an〔，〕的表達(dá)式；〔2〕證明a1+a2+a3+…+an<3〔〕；.解：(1)由，令n=2，P1P2=P2P3，所以a2=1，令n=3，P2P3=2P3P4，所以，同理，．所以(2)因為所以．而n=1時，易知a1=1<3成立，所以(3)假設(shè)有兩個點A〔p，ap〕，B〔q，aq〕，都在函數(shù)即．所以．消去k得，……①以下考查數(shù)列{bn}，的增減情況，，當(dāng)n>2時，n2–3n+1>0，所以對于函數(shù){bn}有b2>b3>b4>…>bn>…所以①式不能成立，所以，不可能有兩個點同時在函數(shù)圖像上． 例過點P〔1，0〕作曲線的切線，切點為M1，設(shè)M1在x軸上的投影是點P1。又過點P1作曲線C的切線，切點為M2，設(shè)M2在x軸上的投影是點P2，…。依此下去，得到一系列點M1，M2…，Mn，…，設(shè)它們的橫坐標(biāo)a1，a2，…，an，…，構(gòu)成數(shù)列為?！?〕求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；〔2〕求證：；〔3〕當(dāng)?shù)那皀項和Sn。解：〔1〕對求導(dǎo)數(shù)，得的切線方程是當(dāng)n=1時，切線過點P〔1，0〕，即0當(dāng)n>1時，切線過點，即0所以數(shù)列所以數(shù)列〔2〕應(yīng)用二項公式定理，得〔3〕當(dāng)，同乘以兩式相減，得所以例點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)〔n∈N〕順次為一次函數(shù)圖像上的點，點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)〔n∈N〕順次為x軸正半軸上的點，其中x1=a〔0＜a＜1〕，對于任意n∈N，點An、Bn、An+1構(gòu)成一個頂角的頂點為Bn的等腰三角形。⑴求數(shù)列{yn}的通項公式，并證明{yn}是等差數(shù)列；⑵證明xn+2-xn為常數(shù)，并求出數(shù)列{xn}的通項公式；⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？假設(shè)有，求出此時a值；假設(shè)不存在，請說明理由。解：〔1〕(nN),∵yn+1-yn=,∴{yn}為等差數(shù)列〔2〕因為與為等腰三角形.所以，兩式相減得?！鄕1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6，…，x2n都是公差為2的等差數(shù)列，∴〔3〕要使AnBnAn+1為直角三形，那么|AnAn+1|=2=2()xn+1-xn=2()當(dāng)n為奇數(shù)時，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).2(1-a)=2()a=(n為奇數(shù)，0＜a＜1)(*)