中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略（全國(guó)通用）4 倍長(zhǎng)中線模型構(gòu)造全等三角形

第04講倍長(zhǎng)中線模型構(gòu)造全等三角形

【應(yīng)對(duì)方法與策略】

倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)

應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用

“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用）。

三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通?？紤]倍長(zhǎng)中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中

線延長(zhǎng)一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法.

主要思路：倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

在aABC中AD是BC邊中線

,E

延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE

作CF,AD于F,作BE_LAD的延長(zhǎng)線于E連接BE

A

延長(zhǎng)MD到N,使DN=MD,連接CD

【多題一解】

一、單選題

1.（2021?浙江湖州?二模）如圖，在四邊形ABe。中，ABHCD,ABLBD,AB=5,BD=4,CD=3,

點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則8E的長(zhǎng)為（）.

【答案】C

【分析】延長(zhǎng)BE交CD延長(zhǎng)線于P,可證aAEB公ZsCEP,求出力P,根據(jù)勾股定理求出BP的長(zhǎng)，從而求

出BM的長(zhǎng).

【詳解】解：延長(zhǎng)BE交CZ）延長(zhǎng)線于尸，

'：AB//CD,

.?.NEAB=NECP,

在aAEB和ACEP中，

ZEAB=NECP

<AE=CE

ZAEB=ZCEP

：.∕?AEB^∕?CEP（ASA）

/.BE=PE9CP=AB=5

又?.?CD=3,

.'.PD=2,

"：BD=4

?*?BP=y∣DP1+BD1=2√5

：.BE=WBP=亞.

【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全等，依據(jù)勾股

定理求出BP.

2.（2021?甘肅蘭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ZiABC中，AB=4,AC=2,點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，則AO的長(zhǎng)可能

是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)AD到E,使。E=A。，連接BE.證44。CgZ?EOB（S4S）,可得BE=AC=2,再利用三角

形的三邊關(guān)系求出AE的范圍即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：延長(zhǎng)4。到E,使。E=AO,連接8E,

在AAJDC^LEDB1I1，

AD=ED

?ZADC=NEDB,

CD=BD

：.ΛADC^∕?EDB（SAS）,

.?.BE=AC=2,

??ΛBE中，AB-BE<AE<AB+BE,

即2V2AO<6,

解得1<AD<3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的全等判定利性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟練證明三角形的全等是解題的關(guān)

鍵.

3.（2021.全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，CD=2AD=8,E為AD上一點(diǎn),F為

OC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.BF=4B.AABC>2.XABFC.ED+BC=EBD.S四邊JgOEBC=2SvE*7f

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到Co=2AD=28C=8,且尸為DC的中點(diǎn)，所以C尸=BC=4,由

此可判斷A選項(xiàng)；再結(jié)合平行線的性質(zhì)可以得到NCFB=NFB4,由此可判斷8選項(xiàng)；同時(shí)延長(zhǎng)EF和BC

交于點(diǎn)P,DF=CF/DFE=ZPFC,ND=NFCP可以證得，￡）￡￡■三CFP,所以ED+BC=CP+BC=BP,

由此可以判斷C選項(xiàng)；由于MEEMbP,所以%邊形函（C=SVz心，由此可以判斷。選項(xiàng)；

【詳解】四邊形ABCD是平行四邊形

CD=2AD=2BC=8

：.CF=BC=4

由于條件不足，所以無(wú)法證明3尸=4,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

CF=BC=4

.?.NCFB=ZFBC

DC//AB

.?.NCFB=NFBC=NFBA

.??ZABC=2ZABF

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

同時(shí)延長(zhǎng)Eb和BC交于點(diǎn)P

ADBP

???ZD=ZFCP

DF=CF

???在ADFE和CFP中：/DFE=ZPFC

ZD=ZFCP(ASA)

：.DFE=CFP

??ED+BC=CP+BC=BP

由于條件不足，并不能證明解=郎，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤;

DFE=ACFP

?"?S四邊形O￡8C=SNBEp

尸為。C的中點(diǎn)

=

?,?SYBEP2S?JBEF=S四邊形DEBC

故。選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，根據(jù)題意作出相應(yīng)的輔助線是求解本

題的關(guān)鍵.

二、填空題

4.（2019?湖北?武漢市糧道街中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，?ABCΦ,。是AB的中點(diǎn)，CD：AC：BC=I：

2：2√3,則NBCO=.

C

一

ADB

【答案】30°

【分析】利用“中線倍長(zhǎng)法”構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而得出等腰三角形，再通過(guò)作等腰三角形的高，依據(jù)銳角

三角函數(shù)可求出答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)CO到E,使。E=C。，連接BE,過(guò)E點(diǎn)作EFLBC,垂足為凡

；。是AB的中點(diǎn)，

：.AD=BD,

又,：NADC=NBDE,DE=DC,

：./XADCQ叢BDE(SAS),

：.AC=BE,

'：CD：AC：BC=I:2：2√3,

設(shè)Cn=加，則AC=2，〃=BE=CE,

：.FC=FB=WBC=舊m,

在Rt?CEF中，COSNFCE=工--正2=立，

CE2m2

ΛZFCE=30o,即NBeZ)=30°,

故答案為：30°.

E

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，理解直角三角

形的邊角關(guān)系是正確計(jì)算的前提.

5.(2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在正方形ABCO中，MN分別是A。、BC邊上的點(diǎn)，將四邊形

ARVM沿直線MN翻折，使得點(diǎn)A、8分別落在點(diǎn)4、9處，且點(diǎn)方恰好為線段C力的中點(diǎn)，49交

AD于點(diǎn)G,作。PLAftV于點(diǎn)P,交A'8，于點(diǎn)Q.若AG=4,貝IJPQ=.

【答案】蛀

5

【分析】根據(jù)中點(diǎn)這個(gè)條件考慮倍長(zhǎng)，構(gòu)造出全等三角形，進(jìn)而結(jié)合翻折得性質(zhì)產(chǎn)生等腰三角形，綜合等

腰三角形的性質(zhì)通過(guò)設(shè)未知數(shù)表示各線段，再通過(guò)相似三角形建立等式求解正方形的邊長(zhǎng)，最后利用三角

函數(shù)值快速求解.

【詳解】如圖，連接BBB',延長(zhǎng)A?'、Ar）交于點(diǎn)尸，則ACNBazXEDB',ZCB'N=ZFB'D=ZDGB',

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得；RWN為等腰三角形，ZEFM=ZEFN,

作FELMN于點(diǎn)、E,設(shè)D3'=MC=x,則正方形邊長(zhǎng)為2x,

553

則55'=MN=6X,BN=-x,FM=FN=-X,CN=FD=-x,

422

YX11Y

:.DG=2x-4,GM=4——，AM=AM=—，/G=------4

444

X—a4_X_

由4A'MGs^FB'G,得粵=攀，則g=7Γj-,解得x=6,

FBFG￡￡-_4

τ-一

15921

則EC=6,UN=—,CN=—,QG=8,OM=-,

222

PD=空DM=^^

55

1

設(shè)∕CBBr=/NFE=ZMFE=ZMDP=a,則tanα=—=-,

設(shè)∕CB'N=∕DGB'=0,則tan/?=±NC=23,

B,C4

此時(shí)作QH±GD,GH=Q,DH=——,

tanptana

&^+0-=8=QH=S則QQ=√?"=D叵

tanβtana5*、X5

.?.PQ=PD-DQ=當(dāng)

故答案為：神

5

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，及三角函數(shù)的應(yīng)用，綜合性

比較強(qiáng)，難度較大，熟練掌握做輔助線的方法是解決問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再有就是結(jié)合圖中構(gòu)造出的全等

或相似，準(zhǔn)確列式計(jì)算也是本題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

6.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ABCD,ZBCD=90°,A8=1,8C=8=2,E為AD上的中點(diǎn)，

貝IJBE=.

【答案】史

2

【分析】延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)F,XiLNABE^DFE,則BE=EF=；BF,故再在直角三角形BCF中運(yùn)用勾股

定理求出BF長(zhǎng)即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)F,

「AB平行CD,則∕A=∕EDC,ZABE=ZDFE,

又E為AD上的中點(diǎn)，ΛBE=EF,

所以VABEAOEE.

/.BE=EF=；BF,AB=DF=I

：.CF=I

在直角三角形BCF中，BF=Jl2+22=G

，BE=-BF=-.

22

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到線段的關(guān)系，然后運(yùn)用勾股定理求解.

三、解答題

7.（2020?湖南?長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）△ABC中D是BC邊上一點(diǎn)，連接

AD.

（1）如圖1,AD是中線，貝∣JAB+AC_2AD（填>,<或=）；

（2）如圖2,AD是角平分線，求證AB-Ae>BD-CD.

【答案】（1）>;（2）見解析

【分析】（1）延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接CE,利用“SAS”證明△CDE絲AADB,再利用三角形的三

邊關(guān)系證明即可；

（2）在AB上截取AG=AC,連接DG,利用“SAS”證明AADC三ZkADG,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證明

AB-AC>BD-CD.

【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接CE,

在^CDE-?ΔADB中，

AD=DE

</ADB=NEDC,

BD=CD

ΛΔCDE^?ADB(SAS),

ΛAB=CE,

.β.AB+AC=AC+CE>AE=2AD,

即AB+AO2AD；

故答案為：>;

(2)在AB上截取AG=AC,連接DG,

TAD是角平分線，

ΛZ1=Z2,

在AADC和AADG中,

AC=AG

<N1=N2,

AD=AD

ΛΔADC≡ΔADG(SAS),

ΛDC=DG,

，AB-AC=AB-AG=BG>BD-DG=BD-CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，添加輔助線構(gòu)建全等三角形是解

題的關(guān)鍵.

8.（2020?北京一一匕一中九年級(jí)階段練習(xí)）在.ABC中，ZC=90o,AC>BC,D是AB的中點(diǎn)，E為直線

AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE,過(guò)點(diǎn)D作DFJ_DE,交直線BC于點(diǎn)F,連接EF.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，AE=2,BF=I,求EF的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形2,用等式表示AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

【答案】（1）√5;（2）AE2+BF2=EF2,證明見解析

【分析】（1）由三角形的中位線定理得DE〃BC,DE=TBC,進(jìn)而證明四邊形CEDF是矩形得DE=CF,

得出CF,再根據(jù)勾股定理得結(jié)果：

（2）過(guò)點(diǎn)B作BM〃AC,與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,連接MF,證明△ADEgZkBDM得AE=BM,DE=

DM,由垂直平分線的判定定理得EF=MF,進(jìn)而根據(jù)勾股定理得結(jié)論.

【詳解】解：（1）是AB的中點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)，

ΛDE√BC,DE=^BC,

VZACB=90°,

ΛZDEC=90°,

VDF±DE,

二∕EDF=90°,

二四邊形CEDF是矩形,

ΛDE=CF=?BC,

ΛCF=BF=L

?"E=AE=2,

?*?EF=√CF2+CE2=√l2+22=√5：

(2)AE2+BF2=EF2.

證明：過(guò)點(diǎn)B作BM〃AC,與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,連接MF,

則/AED=NBMD,/CBM=NACB=90。，

=D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，

ΛAD=BD,

ZAED=/BMD

在AADE和ABDM中，?^ADE=ZBDM,

AD=BD

Λ?ADE^?BDM(AAS),

ΛAE=BM,DE=DM,

VDF±DE,

/.EF=MF,

VBM2+BF2=MF2,

ΛAE2+BF2=EF2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直平分線的判定，

關(guān)鍵在于構(gòu)造全等三角形.

9.（2020?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）己知：如圖所示，AD平分NBAC,M是BC的中點(diǎn)，MF//AD,分別交

CA延長(zhǎng)線，AB于F、E.

求證：BE=CF.

【答案】見解析.

【分析】過(guò)B作BN〃AC交EM延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，易證ABMN絲z?CMF,可得CF=BN,然后由MF〃AD,

AD平分NBAC可得∕F=NDAC=∕BAD=/BEM,/BEM=NN,所以BE=BN=CF.

【詳解】證明：過(guò)B作BN〃AC交EM延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，

VBN/7AC,BM=CM,

ΛZBMN=ZCMF,ZN=ZF,

Λ?BMN^?CMF,

ΛCF=BN,

又?.?MF∕/AD,AD平分NBAC,

...NF=NDAC=/BAD=NBEM,

/.ZBEM=ZN,

ABE=BN=CE

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造出

等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

10.（2020?北京?中考真題）在ΛBC中，ZC=90o,AC>BC,D是AB的中點(diǎn).E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接

DE,過(guò)點(diǎn)D作DFLDE,交直線BC于點(diǎn)F,連接EF.

（1）如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AE=a,8F=b,求EF的長(zhǎng)（用含“力的式子表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

【答案】（1）√ZT；（2）圖見解析，EF2=AE2+BF2,證明見解析.

【分析】（1）先根據(jù)中位線定理和線段中點(diǎn)定義可得DE〃8C,DE=；BC,CE=ΛE=α,再根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)可得OE=CF,從而可得CF=BF=b,然后利用勾股定理即可得；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/皿＞=NG3O,ZDEA=ZDGB,再根據(jù)三角形全等的

判定定理與性質(zhì)可得￡D=G￡）,AE=BG,然后根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)可得EF=FG,最后在

RjBGF中,利用勾股定理、等量代換即可得證.

【詳解】（1）是AB的中點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)

.?.DE為AfiC的中位線，hCE=AE=a

：.DEHBC,DE=-BC

2

,/NC=90°

.?.ZDEC=180o-ZC=90°

,.?DFlDE

：.NEDF=90。

二四邊形DECF為矩形

.?.DE=CF

.?CF=-BC=-（BF+CF）

22

：.CF=BF=b

則在Rt二CEF中，EF=y∣CE2+CF2=y∣a2+h2；

(2)過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接FG

,.?BGHAC

：.ZEAD=ZGBD,NDEA=NDGB

YD是AB的中點(diǎn)

，AD=BD

ZEAD=ZGBD

在，EAD和AGBD中，■NDEA=NDGB

AD=BD

：.^EAD=_GBD(AAS)

：.ED=GD,AE=BG

又；DFLDE

.?.DF是線段EG的垂直平分線

,EF=FG

YNC=90。，BGHAC

.?.NGBF=NC=90°

在RfBGF中，由勾股定理得：FG2=BG2+BF2

二EF2=AE2+BF2.

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、垂直平分線的判定

與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(2),通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)

鍵.

11.(2020?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在aABC中，AB=AC,。為線段8C的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

DB=DA,BEj_A。于點(diǎn)E,取BE的中點(diǎn)F,連接Af

(1)若AC=√I?,AE=B求BE的長(zhǎng)；

(2)在(1)的條件下，求AABO的面積.

(3)若/BAC=/DAE求證：2AF=4O;

【答案】(1)2√3i(2)y；(3)見詳解

【分析】(1)在心AAEB中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；

(2)?DE=X,則AD=6+X,根據(jù)勾股定理求出A。的長(zhǎng)，再利用三角的面積公式計(jì)算即可；

(3)如圖，延長(zhǎng)A尸至M點(diǎn)，使Af=M凡連接首先證明A4E/絲Z?MFB,再證明△ABΛ∕名Z?4CO

即可.

【詳解】解：(1)YAB=AC,AC=岳,

..AB=J15,

"：BEVAD,AE=日

在RtXAEB中，BE=y∣AB2-AE2=√(√15)2-(√3)2=2√3;

(2)設(shè)DE=x,貝IJAD=Λ∕3+Λ)

AD=BD,

BD=?/?+X,

在用.3￡>E中，根據(jù)勾股定理得:

BE2+ED2=BD2,

BP(2√3)2+X2=(√3+X)2,

解得：X=攣

2

即OE=整,

2

則AO=AE+DE=6+手，

則S"Z)=LAE=JX(G+地)X2G="；

abd2222

(3)證明：如圖，延長(zhǎng)AF至M點(diǎn)，使AF=MR連接5M,

/.EF=BFf

在△AEF和aM3F中，

AF=FM

<NAFE=NBFM

EF=BF

：.∕?AEF^AMBF(SAS),

：.AFAE=AFMB.

J.AE∕∕MBi

ΛZEAB+ZABA/=180°,

???ZABM=180°-ZBADf

AB=AC,DB=DA,

：.ZABC=ZACB=NBAD,

ZACD=180°-ZACB9

：./ABM=ZACD.

又TNBAC=NDAR

ΛZBAC-ZMAC=ZDAF-ZMAC.

ΛZ1=Z2.

在△A3M和△ACO中,

Z1=Z2

,AB=AC,

ΛABM=ZACD

：.^ABM^∕?ACD（A5Λ）,

.'.AM=AD,

^,."AM=AF+MF=2AF,

：.IAF=AD.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是中線延

長(zhǎng)一倍，作出正確的輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于?？碱}型.

12.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在AABC中，。是BC中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，尸是AC上

一點(diǎn).若NEzm=90。，且BE2+FC2=E產(chǎn)，求證：NBAC=90。.

【答案】見解析

【分析】延長(zhǎng)尸。到G使。G=D凡連接BG,EG,先證明△8。Gg△?）尸（SAS）得8G=FC,NGBD

=NC,從而有BG〃AC,DG=DF,又由勾股定理的逆定理得NABG=90。，再利用平行線的性質(zhì)即可證

明結(jié)論成立.

【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)F。到G使。G=OF,連接BG,EG,

-O為BC中點(diǎn),

：.BD=CD,

；在4BDG??CDF中,

BD=CD

-ZBDG=ZCDF,

DG=DF

：.ABDG且ACDFCSAS）,

：.BG=FC,/GBD=NC,

：.BG//AC,DG=DF,

"JEDYDF,

：.EG=EF,

,.*BE2+FC2=EF2,

.,.BE2+BG-=EG2,

/.ZABG=90°,

,.?BG//AC,

：.NA+ZABG=180°,

.?.ZBAC=90o.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，熟練掌

握三角形全等的判定及性質(zhì)以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

13.（2020.福建福州.九年級(jí)開學(xué)考試）如圖1,已知正方形ABCD和等腰MΔBEF,EF=BE,

NBEF=90°,F是線段BC上一點(diǎn)，取OF中點(diǎn)G,連接EG、CG.

（1）探究EG與CG的數(shù)量與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由:

（2）如圖2,將圖1中的等腰心ΔBEF繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)c°（0<a<90。），則（1）中的結(jié)論是否仍然成

立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，若Ao=2,求2GE+8尸的最小值.

【答案】（1）EG=CG且EGLCG.理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）2√2

【分析】（1）首先根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)得出8、E,。三點(diǎn)共線，然后利用直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)即可證明EG=CG,然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得出

/EGC=90°,從而證明EGLCG；

(2)延長(zhǎng)CG至“，使GH=CG,連接〃尸交BC于M,連接E，、EC,首先通過(guò)SAS證明

AHFGACDG,從而利用全等三角形的性質(zhì)及平行線的判定證明HFHCD,進(jìn)而可利用正方形和等腰

直角三角形的性質(zhì)證明ABEC絲AFEH,從而可證明結(jié)論仍然成立；

(3)連接AH,首先根據(jù)題意確定當(dāng)A、H、G,C在同一直線上時(shí)，2GE+8"有最小值，此時(shí)8E在

BC上，然后根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)得出2GE+3F有最小值就是AC的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求解

即可.

【詳解】解：(1)EG=CG且EGLCG.

理由如下：如圖1,連接80.

,/正方形ABCD和等腰Rt?BEF,

.,.NEBF=ZDBC=45°,

：.B、E、D三點(diǎn)共線.

VZD￡F=9()°,G為。尸的中點(diǎn)，NDCB=90°,

：.EG=LDF=CG=DG.

2

/.NEGF=2ZEDG,NCGF=2NCDG.

NEGF+NCGF=2ZEDC=90°,

即/EGC=90°,

：.EG1CG.

(2)仍然成立.

理由如下：如圖2,延長(zhǎng)CG至/7,使GH=CG,連接”產(chǎn)交BC于用，連接EH、EC.

圖2

'：GF=GD,ZHGF=ZCGD,HG=CG,

：.∕?HFGm∕?CDG(SAS),

ΛHF=CD,NGHF=NGCD,

HFHCD.

；ABCD是正方形，

ΛHF=BC,HFLBC.

?：Z?3E尸是等腰直角三角形，

：.BE=EF,NEBC=NHFE,

ABEC絲/XFEH(SAS),

HE=EC,NBEC=NFEH,

,NBEF=NHEC=90°,

.?.?ECH為等腰直角三角形.

又,；CG=GH,

：.EG=CG且EG_LCG.

(3)如下圖，連接A",

當(dāng)A、H、G,C在同一直線上時(shí)，2GE+8尸有最小值，止匕時(shí)8E在BC上,

VFHHAB,ACUBF,

???四邊形ABFH是平行四邊形，

.^.AH=BF,由（2）知CG=GH,

：.2GE+BF=CH+AH=AC,

即2GE+3F有最小值，就是AC的長(zhǎng)，

由勾股定理得AC=√22+22=2√2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形綜合，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì),

全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2020.陜西咸陽(yáng).一模）問(wèn)題提出

（1）如圖，AD是.?ASC的中線，則/W+AC249；（填“>”“<”或“=”）

問(wèn)題探究

（2）如圖，在矩形ABCD中，8=3,6C=4,點(diǎn)E為3C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為Co上任意一點(diǎn)，當(dāng)AAEF的

周長(zhǎng)最小時(shí)，求CF的長(zhǎng)；

問(wèn)題解決

（3）如圖，在矩形ABC。中，AC=4,BC=2,點(diǎn)。為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為A3上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為

4C上任意一點(diǎn)，連接P。、PQ、BQ,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使折線OPQ8的長(zhǎng)度最??？若存在，請(qǐng)確定

點(diǎn)。的位置，并求出折線OPQB的最小長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）>:（2）CF-Ii（3）當(dāng)點(diǎn)。與AC的中點(diǎn)。重合時(shí)，折線OPQB的長(zhǎng)度最小，最小長(zhǎng)度為

4.

【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出AS=EC,再根據(jù)三角形的三邊

關(guān)系定理即可得；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出A8=3,N8=N88=90o,A8∕∕8,從而可得AE的長(zhǎng)，再

根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)之間線段最短得出AAEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)F的位置，然后利用相似三角形

的判定與性質(zhì)即可得；

（3）如圖（見解析），先根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出折線OPQB的長(zhǎng)度最小時(shí)，B',Q,P,O'

四點(diǎn)共線，再利用直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出NBAC=30。，AB=20，AO=2,然后利用軸對(duì)

稱的性質(zhì)、角的和差可得49=26,A。'=2,NBZO'=90。，由此利用勾股定理可求出從?’的長(zhǎng)，即折線

OPQB的最小長(zhǎng)度；設(shè)B'0'交AC于點(diǎn)Q',根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得AQ'=2,從而可得

AQ'=AO,由此即可得折線OPQB的長(zhǎng)度最小時(shí)，點(diǎn)Q的位置.

【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)AD,使得OE=4）,連接CE

A￡）是一AfiC的中線

.BD=CD

AD=ED

在ZXABD和_ECD中，■ZADB=NEDC

BD=CD

.?.ABD=^ECD（SAS）

AB=EC

在AACE中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：EC+AC>AE,^EC+AC>AD^DE

,?AB+AC>2AD

故答案為：>;

（2）如圖，作點(diǎn)E關(guān)于8的對(duì)稱點(diǎn)G,連接FG,則CE=CG

.四邊形ABCD是矩形，CD=3,BC=4

AB=CD=3,ZB=ZBCD=90o,AB//CD

二。C垂直平分EG

..EF=FG

點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

BE=CE=LBC=2

2

/.AE=y∣AB2+BE2=713>CG=CE=2,BG=BC+CG=6

貝IJ△AEF的周長(zhǎng)為AE+EF+4/=舊+EF+A/=后+尸G+4F

要使44EF的周長(zhǎng)最小，只需FG+AF

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)AEG共線時(shí)，F(xiàn)G+Ab取得最小值A(chǔ)G

QABHCD

：.-FCG-ABG

.FCCGFC2

..---=----,即----=—

ABBG36

解得CF=1；

(3)如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)作點(diǎn)。關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)O',連接AQ,QB',AO',PO,90,則

QB=QB',OP=σP

：.折線OPQB的長(zhǎng)度為。尸+PQ+QB=ON+PQ+QB'

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，O'P+PQ+QB'≥B'O',當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B',°,P,O,四點(diǎn)共線時(shí)，折線OPQB取得最

小長(zhǎng)度為8'θ'

：在矩形ABCD中，AC=4,BC=2,ZABC=90°

二ZfiAC=30o,AB=yjAC2-BC2=2√3

?.?點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)

/.AO=-AC=I

2

：點(diǎn)5與點(diǎn)長(zhǎng)關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)。與點(diǎn)O'關(guān)于AB對(duì)稱

ZB1AC=ZBAC=30o,ABC=AB=2√3

ZOrAB=ZBAC^30°,A。=Ao=2

.?.ABACf=AB'AC+ABAC+AOAB=90°

.?.B'O'=yjAB'2+AO'2=7(2√^)2+22=4

設(shè)8'θ'交AC于點(diǎn)Q'

在Rt^AB'O'中，AO'=2,B'O'=4

ZAB'(7=30。

.?.ZAOfB'=90°-ZAB'Of=60°,即ZAO'Q'=60°

又,/NO'AQ'=NBAC+NO'AB=60°

.?.ZVlOQ,是等邊三角形

.?.AQ'=AO'=2

：Ao=2

AQ=AO

二點(diǎn)。'與AC的中點(diǎn)。重合

綜上，當(dāng)點(diǎn)。與AC的中點(diǎn)。重合時(shí)，折線OPQB的長(zhǎng)度最小，最小長(zhǎng)度為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角

形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(3),利用軸對(duì)稱的性質(zhì)正確找出折線OPQB的最小長(zhǎng)度是解題關(guān)

鍵.

15.(2020.安徽合肥?二模)如圖，正方形ABC。中，E為BC邊上任意點(diǎn)，AF平分/EAO,交CQ于點(diǎn)

F.

(1)如圖1,若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE；

(2)在(1)的條件下，求笠CE的值；

BC

(3)如圖2,延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,延長(zhǎng)AE交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接"G,當(dāng)CG=D尸時(shí)，求

證：HGLAG.

D

【答案】（1）見解析；（2）；；（3）見解析

4

【分析】（1）延長(zhǎng)BC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,利用“AAS”證△ADF絲ZXGCF得AD=CG,據(jù)此知CG=

BC=BE+CE,根據(jù)EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得證；

（2）設(shè)CE=a,BE=b,則AE=2a+b,AB=a+b,在RtAABE中，由ABZfBEZ=AE?可得b=3a,據(jù)

此可得答案；

?p,FH

（3）連接DG,證△ADF且Z^DCG得NCDG=NDAF,再證^AFHs^DFG得——=——,結(jié)合NAFD=

DFFG

ZHFG,知AADFsAiHGF,從而得出NADF=NFGH,根據(jù)NADF=90。即可得證.

【詳解】解：（1）如圖1,延長(zhǎng)BC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

?'AD∕∕CG,

：.ZDAF=ZGf

又TAF平分ND4E,

???ZDAF=ZEAF9

：.ZG=ZEAF9

：.EA=EG9

Y點(diǎn)/為CZ)的中點(diǎn)，

ICF=DF,

又∕DFA=∕CFG,ZFAD=ZG,

：.AGCF(AAS),

：.AD=CGf

：?CG=BC=BE+CE,

：.EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE↑

(2)設(shè)CE=a,BE=b,貝∣JAE=2a+b,AB=a+b9

222222

在RtZkABE中，AB+BE=AEfBP(tz+?)+?=(2^+Z?),

解得b=3a,b=-。(舍)，

?CEa_1

φβBC^Σ+?^4；

(3)如圖2,連接。G,

VCG=DF,DC=DAfZADF=ZDCG,

：.∕?ADF^ΛDCG(SAS),

：.ZCDG=ZDAF,

：.ZHAF=ZFDG,

又???ZAFH=ZDFGf

：.XAFHSi?DFG,

.AFFH

??=,

DFFG

又?：ZAFD=ZHFGf

：.XADFsAHGF,

：.ZADF=ZFGH,

?/ZADF=90o,

∕FGH=900,

：.AG.LGH.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定與

性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

16.(2020?江西宜春?一模)將一大、一小兩個(gè)等腰直角三角形拼在一起,

OA=OB,OC=OD,ZAOB=ACOD=90',連接AC,BD.

(1)如圖1,若40、。三點(diǎn)在同一條直線上，則AC與8。的關(guān)系是

(2)如圖2,若4。、。三點(diǎn)不在同一條直線上,AC與8。相交于點(diǎn)E,連接OE,猜想AE、BE、OE之間

的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

(3)如圖3,在(2)的條件下作BC的中點(diǎn)下,連接QF,直接寫出A。與OF之間的關(guān)系.

【答案】(1)AC=M且AClBr)；(2)AE=BE+五OE;證明見解析；(3)4)=20F且AOLOF.

【分析】(1)根據(jù)題意利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及延長(zhǎng)Ae交BD于點(diǎn)C進(jìn)行角的等量代換進(jìn)行分

析即可；

(2)根據(jù)題意在AE上截取AM=BE,連接OM,并全等三角形的判定證明AAOC三MOD和

SAMO=ABEO,進(jìn)而利用勾股定理得出OM2+。爐=Λ∕E2進(jìn)行分析求解即可；

(3)過(guò)點(diǎn)B作BM〃0C,交OF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)N,證明ABFMBACF0,

ΔA0D≡Δ0BM,進(jìn)而即可得到結(jié)論.

(詳解】解：(1)：OA=OB,OC=0D,ZAOB=ZCOD=90°,

Λ..AOC=^BOD(SAS),AC=BD,

延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)C"如下圖：

^.?AAOC^J3OD,ZACO=ZBCC,

.?.NACo+ZCAO=NBCC+NCBC=90°,ZBCC=90,

即4C/8。，綜上AC=3。且ACJLBO,

故答案為：AC=BDS.AC1BD；

(2)AE=BE÷√2OF

證明:在A石上截取AM=B已連接OM

ΛAOB=/COD=9G

.?.ZAOB+ZBOC=∕COD+/BOC

.?.ZAOC=NBOD

在ΔAOC和ΔBOf>中

AO=BO

<ZAOC=ZBOD

OC=OD

.?ΔAOC=ABOD(SAS)

:.ZCAO=ZDBO

在ΔΛMO和MEO中

AM=BE

<ZMAO=/EBO

AO=BO

.?.ΔAMO二ABEO(SAS)

.?.OM=OE,ZAOM=NBOE

ZAOM+ZMOB=9(f

:./BOE+/BOM=90

:.OM2+OE2=ME2

即2OE2=ME2

:.6oE=ME

ME-^-MA=AE

.?.?[2OE+BE=AE;

⑶4)=209且AZ)理由如下：

過(guò)點(diǎn)B作BM〃0C,交OF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,延長(zhǎng)FO交AD于點(diǎn)N,

VBMZzOC,

ΛZM=ZFOC,

VZBFM=ZCFO,BF=CF,

ΛΔBFM=ΔCFO(AAS),

ΛOF=MF,BM=CO,

VDO=CO,

ΛDO=BM,

VBM/7OC,

ΛZOBM+ZBOC=180o,

YZBOC+ZAOD=360o-90o-90o=180o,

ΛZOBM=ZAOD,

XVAO=BO,

ΛΔAOD≤ΔOBM(SAS),

ΛAD=OM=2OF,ZBOM=ZOAD,

TZBOM+ZAON=180o-90o=90o,

ΛZOAD+ZAON=90o,即OF_LAD.

：.AO=2Ob且ADJ尸.

λ

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)以及

全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.（2022?安徽宿州.九年級(jí)期末）已知：在矩形ABeD中，連接AC,過(guò)點(diǎn)力作。F/AC,交AC于點(diǎn)

E,交AB于點(diǎn)F.

5

（1）如圖1,若tanZACD=——.

2

①求證：AF=BF;

②連接BE,求證：CD=√2BE.

（2）如圖2,AF-=AB-BF，求cos/FDC的值.

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）苴二?.

2

【分析】（1）①根據(jù)已知易得Nl=NAs,再由tanNAC。=也可得4C=42=也，即可得

2ADCD2

AF=^CD,而矩形對(duì)邊相等，從而可得AF=3尸；

②延長(zhǎng)CB、DF,交于點(diǎn)G.易證8是CG的中點(diǎn)，故RtZ?GEC中，BE=^-CG=BC.再由些=立即

2CD2

可得出結(jié)論；

/c_I?pAnAn

（3）根據(jù)人尸=48.BF可得A/=出二48,再由X=嘗=籌可得AZ^=A&AF,進(jìn)而由勾股定理

2∕?DCDAB

o?WDF2=AD2+AF2=AF2,繼而得至=尸，再結(jié)合NAH）/尸。C即可解題.

22

【詳解】（1）證明：①如圖，在矩形ABC。中，NDAB=NAoC=90。，

ΛZl+ZEDC=90o,

又YDFJLAC9

：.Z2+ZEDC=90o,

???NI=N2,

?.?tan∕2="=也

AD2

.,-AD_血

??tan2_1-=,

DC2

?絲-I

??二一,

CD2

又AB=CD,

ΛAF=-AB,

2

/.AF=BF.

②證明：如解圖2,延長(zhǎng)CB、DF,交于點(diǎn)G.

；在矩形ABCO中，ADHBC,

：.NG=Nl,

在，BFG和AAFD中,

ZG=Zl

</BFG=ZAFD

AF=BF

：?`BFG空叢AFD,

：.BG=AD=BC,

故RtAGEC中，BE=gcG=BC.

由(1)可知生=Y?,

CD2

.BE√2

??---—,

CD2

CD=立BE，

(2)VAF2=ABBF>AF+BF=AB,

?.石+1.,

??A,dβ=--------AFc,

2

又YNACF=NOCA,

ApΛΓ)

：.tanZACD=tanZADF=—=—

ADCD

.??AD2=AB.AF=AF2，

2

在RfZiAO尸中，DF2=AD-+AF2=AF2,

2

?r?r??+rr

??DF=------AλF,

2

?/“八AF√5-l

??cosZ-AFD=--=--------

FD2

又；在矩形ABCD中，ABHCD,

：.ZAFD=ZFDC,

COSNfDC=避二■.

2

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等判定和性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)

等；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算，利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)換線段比是解題的關(guān)鍵.

18?（2021?江蘇宿遷?二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊

形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊.

證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形A8CO的對(duì)角線AC,BD互相垂直，垂足為點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G的直線垂直

于A。，垂足為點(diǎn)E,與邊BC交于點(diǎn)F,由垂直關(guān)系得NEGO+NFGC=90,NEGD+NEDG=90,所

以NEDG=NFGC,由同弧所對(duì)的圓周角相等得NAr）B=NAc3,所以NFGC=NFCG,則FG=FC,同

理，F(xiàn)G=FB,故BF=FC；

【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊“為

(填“真命題”，"假命題”)；

【探究】(1)如圖2,ΔAGB和ΔDGC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，ZAGB=NOGC=90,過(guò)點(diǎn)G的直線

垂直于AO,垂足為點(diǎn)E,與邊BC交于點(diǎn)尸.證明：點(diǎn)廠是BC的中點(diǎn)；

(2)如圖3,ΔAGB和ΔZ)GC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形NAG5=NZ)GC=90,點(diǎn)F是8C的中點(diǎn)，連接

【答案】【思考】真命題；【探究】(1)證明見解析；(2)4.

【思考】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出NF3G=NFG3,再利用等量代換計(jì)算

NG4L>+NEG4=90°.結(jié)論可得；

(1)過(guò)點(diǎn)8作BH//GC,交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，利用同角的余角相等得出N“GC=NEDG和

ZBGH=ZEAG,進(jìn)而得到ΔAGO=AGB”;再證明AGC尸=MF*,結(jié)論可得；

(2)過(guò)點(diǎn)C作交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)出，易證AGBF=MCF,得到G"=2GF=4,

AG=CH.再進(jìn)一步說(shuō)明ΔAGDMΔWCG,可得Ao=G”,結(jié)論可得.

【詳解】解：【思考】“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一

邊''為真命題.

理由如下：如下圖，

VAClBD,F為BC的中點(diǎn),

BF=GF=FC.

：,/FBG=/FGB.

?：/FBG=/GAD,

：?ZFGB=ZGAD.

?/ZAGB=90,

/.AFGB+ZEGA=180°-90°=90o.

???ZGAD+ZEGA=90o.

???NAEG=96.

即：EG.LAD.

???命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題.

故答案為：真命題.

【探究】（1）如下圖，過(guò)點(diǎn)B作5H〃GC,交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，

：,ZH=ZHGC.

VZDGC=90\

???/HGC+NEGD=90.

?：EG-LADf

???∕EGD+∕EDG=9(f.

：.ZHGC=ZEDG.

?.?NAG3=90;

，NBGH+NAGE=90°.

?：EGlADf

.?.NAGE+NE4G=90°.

JZBGH=ZEAG.

???ΔAG8為等腰直角三角形，

???AG=BG.

在ΔAGO和AGb”中，

NEAG=NBGH

<ZADG=ZH

AG=BG

：.ΔAGD^GBH(AAS).

：.GD=BH.

*：GD=GC1

：.GC=BH.

在AGCF和及〃苗中，

ZHGC=ZH

<ZGFC=NHFB

GC=BH

：.?GCF=AHFB(AAS).

：.CF=BF.

即尸是BC的中點(diǎn).

(2)如下圖，過(guò)點(diǎn)C作MH//3G,交G尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”,

?：MHI/BG,

...ZBGC=NGCM,NBGF=NH.

在AG5/和AHCF中,

NBGF=ZH

ZBFG=ACFH

BF=FC

.?.AGBF≡AHCF(AAS).

：.GB=CH,GF=FH=2.

：.GH=2GF=A.

'：GB=AG,

：.AG=CH.

"：ZAGD=NAGB+NCGD-NBGC=180°-NBGC，

ZGCH=180°-ZGCM

：.ZAGD=ZGCH.

在ΔAGf>和MCG中，

AG=CH

-ZAGD=NHCG

GD=GC

：.ΔAGD≡AHCG(SAS).

二AD=GH=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用中點(diǎn)

添加平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

19.(2020.江蘇徐州.模擬預(yù)測(cè))(1)閱讀理解：

如圖①，在ABC中，若AS=8,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

可以用如下方法：將，A8繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到△￡》￡