2023-2024學(xué)年天津市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題（含解析）

2023-2024學(xué)年天津市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)八上期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息

條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,

字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題(每題4分，共48分)

1.下列各命題是真命題的是()

A.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.B.三角形任意兩邊之和小于第三

邊.

C.三角形的一個(gè)外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角.D.同位角相等.

2.計(jì)算”的結(jié)果是()

A.±2B.2C.-2D.4

3.小明的媽媽在菜市場(chǎng)買回2斤蘿卜、1斤排骨共花了41.4元，而兩個(gè)月前買同重量

的這兩樣菜只要36元，與兩個(gè)月前相比，這次蘿卜的單價(jià)下降了10%,但排骨單價(jià)卻

上漲了20%,設(shè)兩個(gè)月前買的蘿卜和排骨的單價(jià)分別為X元/斤，y元/斤，則可列方程

為()

2x+y=362x+y=41.4

A，[2×(l-10%)x+(l+20%)γ=41.4B'∣2χ(l-10%)x+(l+20%)y=36

x+2y=41.4x+2y=36

c'[(l-10%)%+2×(l+20%)y=36?'∣(l-10%)%+2×(l+20%)y=41.4

4.如圖所示.在aABC中,AC=BC,NC=90。，AD平分NCAB交BC于點(diǎn)D,DE±AB

于點(diǎn)E,若AB=6cm,則aDEB的周長(zhǎng)為()

A.12cmB.8cmD.4cm

5.五一”期間，某班同學(xué)包租一輛面包車前去東方太陽(yáng)城游覽，面包車的租金為300

元，出發(fā)時(shí)，又增加了4名同學(xué)，且租金不變，這樣每個(gè)同學(xué)比原來少分?jǐn)偭?0元車

費(fèi)，若設(shè)原來參加游覽的同學(xué)有X人，為求X,可列方程為()

300300300300300300

A.------=20B.=20C.=20

%-4Xx+4XXΛ≡4^

300300

D.=20

Xx+4

6.如圖，ZkABC中，ZC=90o,AC=BC,AD平分NCAB,交BC于點(diǎn)D,DE±AB

于點(diǎn)E,且AB=6cm,則ADEB的周長(zhǎng)為（）

C.8cmD.以上都不對(duì)

C.±2√2D.2

8.在根式①，。+己②代③而④5abc中最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.①②B.③④C.0(3)D.①④

9.下列各式中，能運(yùn)用“平方差公式”進(jìn)行因式分解的是（)

22222

A.X-4xB.-a+4Z?C.χ-4x+4D.-X-1

10.若a'=3,a>=2,則a2*+〉等于()

A.18B.8C.7D.6

11.下列從左到右的運(yùn)算是因式分解的是()

A.2/-2α+l=2α(α+l)B.(?-γ)(%+y)=x2-γ2

C.9f—6X+1-(3X—1)^D.+y~=(X—?)"+2,xy

12.一艘輪船在靜水中的最大航速為30千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行100千米

所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？設(shè)江水

的流速為X千米/時(shí)，則可列方程（）

A__1_0_0_—___6_0__B__1_0_0_____6_0__

"3Q+x~30-x'x+30~x-3Q

1006010060

C--------=---------D--------=---------

,30-x30+X'Λ-30x+30

二、填空題（每題4分，共24分）

13.要使2——+乙X=1成立，則X=

X-1l-x

14.將一副直角三角板按如圖所示疊放在一起，則圖中Na的度數(shù)是.

60o

15.若M,=3,α"=5,則屋+"=.

16.如圖，ABC的周長(zhǎng)為32,且8。=。。,4。_18。于。，A4CD的周長(zhǎng)為24,

那么AO的長(zhǎng)為

17.下面是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)表:

第1行1

第2行√2下＞2

第3行√5√6√72√23

第4行√10√ΓT2√3√13√?√154

???…

那么第n（〃>1,且n是整數(shù)）行的第2個(gè)數(shù)是.（用含n的代數(shù)式表示）

18.如圖，在ΔABC若中，AD是BC邊上的高，AE是NS4C平分線.若

NB=38o,ZC=70°,則NDAE=

19.（8分）如圖，直線L：y=-；》+2與X軸、y軸分別交于4、8兩點(diǎn)，在y

軸上有一點(diǎn)c（θ,4）,動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿丫軸向左移動(dòng).

（1）求A、5兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求ACOM的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間f之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)f為何值時(shí)ACOMgΔ4O3,并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).

20.（8分）如圖，在ABC中，。是邊AB上一點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，作B//AB

交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

⑴證明：ADEyCFE；

(2)若ZB=ZAC3,CE=5,CF=I,求。B?

21.(8分)計(jì)算：

(1)(-3a2b)3-(2a3)2?(-b)3+3a6b3

(2)(2a+b)(2a-b)-(a-b)2

22.（10分）如圖，（1）畫出ΔABC關(guān)于丁軸對(duì)稱的圖形?A8C'.

（2）請(qǐng)寫出點(diǎn)A'、B、C'的坐標(biāo)：A（，）B（，）C

（,）

23.（10分）如圖，在RtZVlBC中，Z090°,以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,

分別交AC,A3于點(diǎn)M、N,再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于一MN的長(zhǎng)半徑畫弧，兩

2

弧交于點(diǎn)P,作射線4尸，交邊BC于點(diǎn)。，若CD=%AB=15,則AABO的面積是

24.(10分)計(jì)算：(I)(2a+3h)(2a-3b)-(a-3b)2

(2)(-------γ—)÷(—-----a)

α+1cι~—1ci—1

25.(12分)閱讀下列材料：

在學(xué)習(xí)“可化為一元一次方程的分式方程及其解法，，的過程中，老師提出一個(gè)問題:

若關(guān)于X的分式方程=1的解為正數(shù)，求a的取值范圍.

經(jīng)過獨(dú)立思考與分析后，小杰和小哲開始交流解題思路如下：

小杰說：解這個(gè)關(guān)于X的分式方程，得x=a+l.由題意可得a+l>0,所以a>-l,

問題解決.

小哲說：你考慮的不全面，還必須保證對(duì)1,即a+l≠l才行.

(1)請(qǐng)回答：的說法是正確的，并簡(jiǎn)述正確的理由是；

(2)參考對(duì)上述問題的討論，解決下面的問題：

若關(guān)于X的方程的解為非負(fù)數(shù)，求m的取值范圍.

=2

r-?>-*

26.一次函數(shù)的圖象過M(6,-1),N(-4,9)兩點(diǎn).

(1)求函數(shù)的表達(dá)式.

(2)當(dāng)y<l時(shí)，求自變量X的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、A

【分析】根據(jù)命題的真假依次判斷即可求解.

【詳解】A.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，正確.

B.三角形任意兩邊之和大于第三邊，故錯(cuò)誤.

C.三角形的一個(gè)外角大于它的任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角，故錯(cuò)誤.

D.兩直線平行，同位角相等，故錯(cuò)誤.

故選A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的性質(zhì)及平行線、相交線的性

質(zhì).

2、B

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念，求4的算術(shù)平方根即可.

【詳解】解：√4=2

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查算術(shù)平方根，掌握概念正確理解題意是解題關(guān)鍵.

3、A

【分析】根據(jù)題目中設(shè)的兩個(gè)月前的蘿卜和排骨的單價(jià)，先列出兩個(gè)月前的式子

2x+y=36,再根據(jù)降價(jià)和漲價(jià)列出現(xiàn)在的式子

2×(l-10%)x+(l+20%)y=41.4,得到方程組.

【詳解】解：兩個(gè)月前買菜的情況列式：2x+y=36,

現(xiàn)在蘿卜的價(jià)格下降了10%,就是(l-10%)χ,排骨的價(jià)格上漲了20%,就是

(l+20%)y,

那么這次買菜的情況列式：2×(l-10%)x+(l+20%)γ=41.4,

2x+y=36

.?.方程組可以列為［2χ(i0%)χ+(ι+20%)y=41.4?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程組.

4、C

【解析】?.?NC=90°,AD平分NCAB交BC于點(diǎn)D,DEj_AB于點(diǎn)E.

ΛDE=DC,

ΛAE=AC=BC,

ΛBE+DE+BD=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6cm.

故選C.

5、D

【解析】設(shè)實(shí)際參加游覽的同學(xué)共X人，則原有的幾名同學(xué)每人分擔(dān)的車費(fèi)為：二”

x+4

元，出發(fā)時(shí)每名同學(xué)分擔(dān)的車費(fèi)為：—,根據(jù)每個(gè)同學(xué)比原來少攤了1元錢車費(fèi)即

X

可得到等量關(guān)系.

解：設(shè)實(shí)際參加游覽的同學(xué)共X人,

“300300

根據(jù)題意得：---------^=1.

Xx+4

故選D.

“點(diǎn)睛”本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是首先弄清題意，根據(jù)關(guān)鍵描述

語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系；易錯(cuò)點(diǎn)是得到出發(fā)前后的人數(shù).

6、B

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CD=DE,根據(jù)全等三角形

對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=AE,求出aDEB的周長(zhǎng)=AB.

【詳解】解：TAD平分NCAB,ZC=90o,DE±AB,

ΛCD=DE,

AD^AD

在AACD和AAED中，＜

CD=DEt

Λ?ACD^?AED(HL),

ΛAC=AE,

Λ∏ΓW?DEB的周長(zhǎng)=BD+DE+BE,

=BD+CD+BE,

=BC+BE,

=AC+BE,

=AE+BE,

=AB,

TAB=6cm,

Λ?DEB的周長(zhǎng)為6cm.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等與根據(jù)HL證明全等，等量代換理清邏輯。

7、D

【詳解】解：根據(jù)立方根的定義，由23=8,可得8的立方根是2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查立方根.

8、C

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】①JTTP^是最簡(jiǎn)二次根式；

哧考,被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式；

③而是最簡(jiǎn)二次根式；

Φ√27^=3√3∑^,被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，最簡(jiǎn)二次根式的概念：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方

數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

9、B

【分析】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)：①兩項(xiàng)式；②兩個(gè)數(shù)的平方差，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷

即可.

【詳解】A.X2-4X=X(X-4),提公因式進(jìn)行因式分解，故A選項(xiàng)不符合題意

B.-a2+4b2=(2b+a)(2b-a),利用平方差公式進(jìn)行因式分解，故B選項(xiàng)符合題意

C.χ2-4x+4=(x-2)2=(x-2),運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解，故C選項(xiàng)不符合

題意

D.-χ2-l,不能因式分解，故D選項(xiàng)不符合題意

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式特點(diǎn).

10、A

【分析】直接利用塞的乘方運(yùn)算法則結(jié)合同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算法則求出答案.

【詳解】解：?.,ax=3,a>=2,

.*.a2x+y=（ax）2×ay=32×2=l.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了塞的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)募的乘法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)

鍵.

11、C

【分析】按照因式分解的概念：把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，逐一進(jìn)行判

斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)等號(hào)左右兩邊不相等，故錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)等號(hào)右邊不是乘積的形式，故錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)等號(hào)右邊是乘積的形式，故正確；

D選項(xiàng)等號(hào)右邊不是乘積的形式，故錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查因式分解，掌握因式分解的概念是解題的關(guān)鍵.

12、A

【解析】設(shè)江水的流速為X千米/時(shí)，

IOO_60

30+x30-X'

故選A.

點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：本題主要考查分式方程的實(shí)際問題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思,

根據(jù)題目給出的條件，設(shè)出未知數(shù)，分別找出順?biāo)湍缢畬?duì)應(yīng)的時(shí)間，找出合適的等量

關(guān)系，列出方程即可.

二、填空題（每題4分，共24分）

3

13、一

2

【分析】?jī)蛇叧艘裕╔-I）去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)

檢驗(yàn)即可得到得到X的值.

【詳解】?jī)蛇叧艘裕堃?）去分母得：2-x=x-l,

3

解得：%=—?

2

經(jīng)檢驗(yàn)X=?3是分式方程的解，

2

3

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程時(shí)注意要檢驗(yàn).

14、75°

【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出Nl的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于

與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

所以，Na=45°+30°=75°.

故答案為750

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，直角三角形

兩銳角互余的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15、15

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕乘法法則來求即可.

【詳解】解：am+n=a'"a"=3×5=15

【點(diǎn)睛】

本題考查的是同底數(shù)幕的乘法法則,同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加.

16、1

【解析】試題分析：因?yàn)锳B=AC,ADJ_BC,所以BD=CD,因?yàn)锳ABC的周長(zhǎng)為32,

所以AC+CD=32×?=16,又因?yàn)椤鰽CD的周長(zhǎng)為24,所以AD="24"-(AC+CD)

2

="24-16="1.

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).

2

17、λ∕(∏-l)+2

【分析】根據(jù)每一行的最后一個(gè)數(shù)的被開方數(shù)是所在的行數(shù)的平方，寫出第(〃-1)行

的最后一個(gè)數(shù)的平方是(〃-1)2,據(jù)此可寫出答案.

【詳解】第2行最后一個(gè)數(shù)字是：√4=2.

第3行最后一個(gè)數(shù)字是：√9=3.

第4行最后一個(gè)數(shù)字是：√16=4,

第(〃一1)行最后一個(gè)數(shù)字是：/-I)?=1,

第〃行第一個(gè)數(shù)字是：J(〃—速+1,

第〃行第二個(gè)數(shù)字是：&〃—嚀+2,

2

故答案為：λ∕(∕ι-l)+2

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律型一數(shù)字變化，解題的關(guān)鍵是確定每一行最后一個(gè)數(shù)字.

18、16°

【分析】根據(jù)直角三角形內(nèi)角和定理求出NBAC,根據(jù)角平分線的定義求出NBAE,

結(jié)合圖形計(jì)算即可.

［詳解］VZB=38o,ZC=70°,

：.NBAC=Tr

?.?AE是∕β4C平分線

ΛZBAE=36°

TA。是BC邊上的高，NB=38°

：.ZBAD52°

ΛZZME=52°-36°=16°

故答案為：16°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的角度問題,掌握直角三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題(共78分)

∣"8-2t(0<t≤4)

19、(I)A(0,4),B(0,2)；(2)S=(/、；(3)當(dāng)t=2或1時(shí)，ACOMg/IXAOB,

［2t-8(t>4)

此時(shí)M(2,0)或(-2,0).

【分析】(1)由直線L的函數(shù)解析式，令y=0求A點(diǎn)坐標(biāo)，x=0求B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由面積公式S=:OM?OC求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)^?COM^?AOB,OM=OB,貝!∣t時(shí)間內(nèi)移動(dòng)了AM,可算出t值，并得到M

點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)Vy=-yx+2,

當(dāng)X=O時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=4,

則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,0)、B(0,2)；

(2)VC(0,4),A(4,0)

ΛOC=OA=4,

當(dāng)0≤t≤4時(shí)，OM=OA-AM=4-t,SΔOCM=—×4×(4-t)=8-2t；

.2

當(dāng)t>4時(shí)，OM=AM-OA=t-4,SOCM=—×4×(t-4)=2t-8；

Δ2

^8-2t(0<t≤4)

.?.ACOM的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間f之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=〈)、

2t-8(t>4)

(3)VOC=OA,ZAOB=ZCOM=90o,

二只需OB=OM,則ACoMgaAOB,

即OM=2,

此時(shí)，若M在X軸的正半軸時(shí)，t=2,

M在X軸的負(fù)半軸，貝!]t=l.

故當(dāng)t=2或1時(shí)，ACOMgAAOB,此時(shí)M(2,0)或(-2,0).

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和三角形的面積公式，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，理解

全等三角形的判定定理是關(guān)鍵.

20、(1)見解析；(2)3

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NA=NFCE,NADE=NF,根據(jù)中點(diǎn)的定義可得

AE=CE,最后利用AAS即可證出ADEaCFE;

(2)根據(jù)等角對(duì)等邊即可求出AB=AC=10,然后根據(jù)(1)中全等可得AD=CF=7,即

可求出。3.

【詳解】(1)證明：TC尸〃AB

ΛZA=ZFCE,ZADE=ZF

VE是邊AC的中點(diǎn)

ΛAE=CE

在aADE和ACFE中

ZA=NFCE

<ZADE=ZF

AE=CE

ΛADEgCFE

(2)解：'：AB=ZACB,CE=5,CF=I,

：.AB=AC=CE+AE=2CE=10

,：ADE^..CFE

ΛAD=CF=7

ΛDB=AB-AD=3

【點(diǎn)睛】

此題考查的是平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和等腰三角形的判定，掌握平行

線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和等角對(duì)等邊是解決此題的關(guān)鍵.

21、(1)-10a6b3;(1)3a'+lab-Ib1

【分析】(1)直接利用整式的混合運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)得出答案；

(1)直接利用乘法公式分別化簡(jiǎn)得出答案.

【詳解】解：(1)原式=-17a6b3-4a6(-b3)+3a6b3

=-10a6b3;

(1)原式=4a∣-1-(al-lab+bl)

=3a'+lab-Ib1.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

22、(1)見解析；(2)A,(3,2)B(4,二3)C(1?二D

【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱的特點(diǎn)，分別繪制A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到對(duì)

稱圖形；

(2)根據(jù)對(duì)稱圖形讀得坐標(biāo).

【詳解】(1)圖形如下：

B'

(2)根據(jù)圖形得：A(3,2)B(4,二3)C(1>二D

【點(diǎn)睛】

本題考查繪制軸對(duì)稱圖形，注意，繪制軸對(duì)稱圖形實(shí)質(zhì)就是繪制對(duì)稱點(diǎn)，然后將對(duì)稱點(diǎn)

依次連接即為對(duì)稱圖形.

23、1

【解析】判斷出4尸是NBAC的平分線，過點(diǎn)。作。EjLA5于E,根據(jù)角平分線上的

點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD,然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得

解.

【詳解】由題意得：Ap是NBAC的平分線，過點(diǎn)。作。EJ于E?

又；NC=90。，：.DE=CD,.?.Z?ABO的面積=LAB?Z)E=LX15X4=1.

22

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)以及角平分線的畫法，熟記性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24、(1)3a2+6ab-lSb2;(2)—

a+a

【分析】(1)先根據(jù)平方差公式對(duì)第一項(xiàng)式子化簡(jiǎn)，再根據(jù)完全平方公式把括號(hào)展開，

再化簡(jiǎn)合并同類項(xiàng)即可得到答案.

(2)先通分去合并，再化簡(jiǎn)即可得到答案.

【詳解】(1)解：(2a+3b)(2a