2023-2024學(xué)年重慶市高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年重慶市高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

I.已知數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為4=26，則％=()

A.4B.6C.8D.9

【正確答案】B

【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式代入計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閝=2〃，所以6=2囪=6.

故選：B

2.曲線/(x)=e'+χ2-2x的圖像在(OJ(O))處切線的傾斜角為()

,πC兀C2兀r3兀

A.-B.-C.—D.—

3234

【正確答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出傾斜角.

【詳解】因?yàn)?(x)=e'+x2-2x,所以r(x)=e*+2x-2,所以/(0)=efl+2χ0-2=-1,

所以函數(shù)在(Oj(O))處的切線的斜率左=T,則傾斜角為方.

故選：D.

3.設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和為S“，a2+a6=2,5,=18,則4=()

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】B

【分析】設(shè)首項(xiàng)為4,公差為d,依題意得到關(guān)于4、d的方程組，解得4、d,再根據(jù)通

項(xiàng)公式計(jì)算可得.

a+a=2a+6d=2(?

【詳解】設(shè)首項(xiàng)為4,公差為"，依題意，269(l9-1),解得

S9=M+\2d=18Id=I

所以％=%+5"=3.

故選：B

4.為了紀(jì)念我國成功舉辦北京冬奧會(huì)，中國郵政發(fā)行《北京舉辦2022年冬奧會(huì)成功紀(jì)念》

郵票，圖案分別為冬奧會(huì)會(huì)徽“冬夢(mèng)”、冬殘奧會(huì)會(huì)徽“飛躍”、冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”、冬殘

奧會(huì)吉祥物"雪容融'’及"志愿者標(biāo)志”，現(xiàn)將一套5枚郵票任取3枚，要求取出的郵票既含會(huì)

徽郵票又含吉祥物郵票，則不同的取法種數(shù)為()

A.8B.10C.16D.18

【正確答案】A

【分析】分類討論3枚郵票的組成情況，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求

解.

【詳解】由題意可知：會(huì)徽郵票有2枚，吉祥物郵票有2枚，“志愿者標(biāo)志”有1枚，

若任取3枚，取出的郵票既含會(huì)徽郵票又含吉祥物郵票，則有：

若會(huì)徽郵票有2枚，吉祥物郵票有I枚，共有1x2=2種；

若會(huì)徽郵票有1枚，吉祥物郵票有2枚，共有2x1=2種；

若會(huì)徽郵票有1枚，吉祥物郵票有1枚，“志愿者標(biāo)志“有1枚，共有2x2xl=4種；

故共有2+2+4=8種.

故選：A.

5.函數(shù)/(x)=XSinX+cos%-；*?,Xe(O,兀)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A??T)b?H)c?闖d?(τ'π)

【正確答案】c

【分析】對(duì)函數(shù)“X)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性令yχx)>0,解得cosx>;,通過余

弦函數(shù)的知識(shí)，結(jié)合Xe(O,兀)求出最終結(jié)果.

【詳解】/(x)=XSinX+cos》-%?,

.?.∕,(Λ)=SinX+XCosX-SinXX=XCOSX-gx=?sX-g),

令/")>。，解得COSX>；,又x∈(0,π).?.x∈^O,y^,

函數(shù)/(x)=XSinX+cosx-；/,Xe(O,兀)的單調(diào)遞增區(qū)間為(θ,g)?

故選：C.

6.己知雙曲線C:￡-￡=l(α,b>0)的左右焦點(diǎn)分別是片，鳥，點(diǎn)尸在第一象限且在C

的漸近線上，PK1是以PK為斜邊的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為()

A.√5B.√3C.3D.2

【正確答案】A

【分析】首先求出漸近線方程，依題意可得點(diǎn)尸(G2c)在漸近線y=?x上，即可得到，=2,

再根據(jù)離心率公式計(jì)算可得.

【詳解】雙曲線C:夕-a=1的漸近線為y=±%,設(shè)耳(-c,0),E(C,0),則依I=2c,

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限且在C的漸近線上，P右片是以P身為斜邊的等腰直角三角形，

所以點(diǎn)P(C?,2c?)在漸近線y=gx上，所以2c=?,即，=2,

所以雙曲線的離心率e=￡=J"=石.

a?aVa"

故選：A

7.定義在R上的函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為廣(力,滿足礦(x)+f(x)>0,則不等式

f∕(χ2)-∕(ι)<o的解集為()

A.(0,1)B.(―∞,-1)<J(1,+∞)C.(—1,1)D.(―l,+∞)

【正確答案】C

【分析】令g(χ)=?√?(χ),求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到g(x)的單調(diào)性,則問題轉(zhuǎn)化為g(f)<g⑴,

根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】令g(χ)=令(χ),則g<χ)="χ)+Λf(χ)>O,

所以g(x)在定義域R上單調(diào)遞增，

不等式f∕(χ2)-"l)<0,即χ2∕(χ2)<"ι),即g(χ2)<g⑴，

所以f<l,解得τ<χ<ι,即不等式d∕(χ2)-"l)<0的解集為(-1,1).

故選：C

8.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為s,,,s,,?ɑ-f-?^,若不等式KWS“WN對(duì)任意的

恒成立，則N-K的最小值為()

317

A.1B.-C.2D.—

412

【正確答案】B

【分析】根據(jù)、"乍差求出。，即可得到S“=1J」Y，再分〃為奇數(shù)、偶

IS,』,""I2）

數(shù)兩種情況討論，分別求出S,,的取值范圍，即可求出K、N的取值范圍，即可得解.

【詳解】因?yàn)镾,,=α—,,所以當(dāng)”=1時(shí)4=α+g,

當(dāng)〃≥2時(shí)S,-=α-（qj',所以S,,=。一（一￡|“-，+（-；『，即可=∣x（-｛Γ，

1Q

因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，所以q="+]=],所以a=l,

則3=

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)S,,=1-1-；）=l+^∫,則1<S,,≤?∣,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)S,,=1-MY=1-1gj,貝弓≤S“<1,

33

所以1≤S,,≤不，因?yàn)椴坏仁終WS,<N對(duì)任意的〃eN'恒成立，

所以NN93,K43；,所以一K≥3-j則N_KN3A_3[=31,即N-K的最小值為3:

2442444

故選：B

二、多選題

9.已知。，夕是兩個(gè)不同的平面，/是一條直線，則下列命題中正確的是（）

A.若?！ㄊ?〃/，貝l"〃aB.若/_Lα,/，￡,則α〃夕

C.若/_La,l//β,則aj_y?D.若C4，I//β,貝∣]∕,α

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中的條件判斷線面、面面的位置關(guān)系，可選出合適的選項(xiàng).

【詳解】解：對(duì)于A,若a∕∕β,l〃B,則〃∕α或∕uα,故A不正確；

對(duì)于B,若Ua,l^β,則α∕R,故B正確；

對(duì)于C,若l，a,“邙，過/的平面7與夕相交，設(shè)交線為加，

r

l∕∕β,IUy,β?γ=rn,貝l"〃機(jī),

.IVa,則加_L&,muβ,故a_L￡,故C正確;

對(duì)于D,若l∕∕β,貝心與α不一定垂直，故D不正確；

故選：BC.

10.已知等差數(shù)列｛αj的首項(xiàng)為29,公差為d,其前〃項(xiàng)和為S“，則下列命題正確的是（）

A.若"=-2,則S15最大

B.若與最大，則d=-2

C.若寸=3,則音

?3?6?

D.若d>0,則4??>23>"2,"2022

【正確答案】AC

【分析】對(duì)于A,利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求解即可；

對(duì)于B,九最大，得到q6≤0,α∣5*0,建立關(guān)于d的不等式，求出d的取值范圍即可判斷；

對(duì)于C,利用數(shù)列Sm,S2mSm,S3加一S2機(jī)，…（機(jī)CN*）也是等差數(shù)列，公差為機(jī)24求解即

可：

對(duì)于D,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式展開4。023>電”2022,得到不<0，即可判斷；

【詳解】對(duì)于A,q=29,（/=-2,

22

Sn=nal+—=7?×29÷?=-n÷30/z=-（?i-15）+225,故選項(xiàng)A正確；

2929

對(duì)于B,q=29,若S∣5最大，貝口464°，45之。，即29+14d≥0,29+15d≤0,—一-≤d≤一一",

1415

d=-2只是其中的一種情況，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,設(shè)S6=3%則邑=八數(shù)列C,S6S39S9-S69S∕2-S%…(用∈N*)也是等差數(shù)列,

首項(xiàng)為53=工，公差為X,.?.Sg-S6=3x,S]2-S9=4χ.?.S9=6x,S]2=lO?x,????11=?故

36?

選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,右4■02023>。2°。2022>貝IJ

222

Ol?(ct1+20224)>(4+J)?(Al+202Id)=a；+2022a0>a1+202?aλd+a1<∕+202U=≠>t∕<0

,顯然無論d取何值，都不成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：AC.

11.已知函數(shù)/(x)=lnx+x,對(duì)于滿足1≤X∣<'2≤2的任意4，々，下列說法正確的是()

A.(Λ,-?)[∕(Λ?)-∕(?)]<0B./(xl)-^≤0

C.XI∕(X2)<Λ2∕(XI)D./(Λ?)-∕(X2)>2(Λ1-X2)

【正確答案】BD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷A,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,

從而判斷BC、D.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?(x)=lnx+x,則r(x)=g+l>O,所以/(x)在定義域(0,+∞)上單

調(diào)遞增，

則對(duì)于滿足∣的任意七，々，故錯(cuò)誤；

l≤x<%≤2(?I-?)[∕(Λ,)-∕(Λ2)]>0,A

對(duì)于B：令g(x)=/(X)-f=lnx+x-%2,χ∈[l,2],

貝IJg，(X)=L+1-2X=1+-r~2y2=二(2x+iχ±j)<0,所以g(x)在[L2]上單調(diào)遞減，

XXX

又g(l)=O,所以g(x)≤g(I)=0,即lnx+x≤Fx∈[l,2],即/&)—片≤°,故B正確;

對(duì)于C：令MX)=ZH=貝∣j∕∕(χ)=lZJ所以當(dāng)O<χ<e時(shí)∕z'(χ)>O,當(dāng)x>e

XXX

時(shí)”(%)vθ,

所以MX)在(Qe)上單調(diào)遞增，在(e,÷∞)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)l≤x∣<*2≤2時(shí)牛貝∣]X"(Λ2)>XJ(XJ,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：令〃MX)=/(x)-2x,x∈[l,2],即MX)=InX-x,x∈[l,2],則

m,(x)=^-1=-~-≤0,

XX

所以機(jī)(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，則l≤x∣≤2時(shí)加(入)>根(々)，

即〃與)-2再>〃超)一2/，即/(%)-/仇)>2(玉一七)，故D正確；

故選：BD

12.函數(shù)/(x)=χ2-χ-Mnx,且/(χ)NO對(duì)任意x>O恒成立，則下列命題正確的是()

A.a=?

B.函數(shù)/(x)有極大值點(diǎn)

C.曲線/(x)上存在不同的兩點(diǎn)A,B,使/(x)在AB處切線垂直

D.若方程/(x)=2f在區(qū)間(0川上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則滿足條件的f的最大整數(shù)為4

【正確答案】AC

【分析】由題可知F(I)為函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得。=1可判斷，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件可判斷

B,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合特值可判斷C,根據(jù)特值可判斷D.

【詳解】因?yàn)?(x)=f-χ-α∣nx,x>O,/(1)=0,且〃X)NO對(duì)任意x>0恒成立，

所以"1)為函數(shù)的最小值，又尸(x)=2x-l-?,

則/'(l)=2-l-α=0,即α=l,

當(dāng)α=l時(shí)，f(x)=W-x-lnx,尸(*)=2彳_]」=2*--T=(2x+l)(X1)又》〉。,

\/(X)在(1,一)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

?/(X)在X=I時(shí)取得極小值也是最小值八1)=0,

.?.∕(x)≥0對(duì)任意x>0恒成立，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閒(x)=f-AlnX,r(x)=(2x+?(xT),

?/(x)在(1,一)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，故函數(shù)沒有極大值，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閞(X)=2x-l-L貝令-(χ)=2x-l-1=[BP4X2-3X-2=0,

X?s乙)X乙

可得x=3t4i(負(fù)值舍去),

8

即曲線/(x)上存在不同的兩點(diǎn)A,B,使“X)在AB處切線垂直，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)f=4時(shí)，方程/(力=/—x-lnx=2f=8,而/(4)=12-ln4>8,貝IJ方程/(x)=2f

在區(qū)間(0內(nèi)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根不合題意，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

方法點(diǎn)睛：恒(能)成立問題的解法：

若F(X)在區(qū)間。上有最值，則

(1)恒成立:Vx∈D,∕(x)>O<=>∕(x)min>0；?x∈Z>,∕(x)<O<≠>∕(x)maχ<0；

(2)能成立：3xeP,∕(x)>0θ∕(x)maχ>0;3x∈D,∕(Λr)<0<?∕(x)min<0.

若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：a>f[x`)(或a<∕(x)),則

(1)恒成立：a>f(x)^a>f(x)nm;a<f(x)oa<f(x)ιn,n;

(2)能成立：0>∕(x)<=>a>∕(x)mjn;a<f(x)^a<f(x)nm.

三、填空題

13.二十四節(jié)氣是中華民族上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，是中國農(nóng)歷中表示季節(jié)變遷的24個(gè)特定

節(jié)令，二十四節(jié)氣又分為12個(gè)節(jié)氣和12個(gè)中氣，一一相間，二十四節(jié)氣與季節(jié)、月份的關(guān)

系如下表:

季

春Spring夏Summer秋Autumn冬Winter

節(jié)

四七九12

月三月五月八月十月11月

月月月月月月月

份MARMAYAUGOCTNOV

FEBAPRJUNJULSEPDECJAN

立.

節(jié)清芒小白小

驚蟄乂?-夏-≡r立秋寒露立冬大雪

氣春明種暑?露寒

中雨春分谷小滿夏大處暑秋霜降小雪冬至大

氣水雨至署分寒

二十四節(jié)氣反映了太陽的周年視運(yùn)動(dòng)，在公歷中它們的日期是相對(duì)固定的，現(xiàn)行的二十四節(jié)

氣每一個(gè)分別相應(yīng)于太陽在黃道上每運(yùn)動(dòng)15。所到達(dá)的一定位置.如春分太陽位于黃經(jīng)O度，

清明太陽位于黃經(jīng)15度，谷雨太陽位于黃經(jīng)30度，則夏至太陽位于黃經(jīng)度.

【正確答案】90

【分析】根據(jù)題意，夏至是春分后的第六個(gè)節(jié)氣，故春分到夏至相應(yīng)于太陽在黃道上運(yùn)動(dòng)了

15°x6即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，夏至是春分后的第六個(gè)節(jié)氣，

故春分到夏至相應(yīng)于太陽在黃道上運(yùn)動(dòng)了

15°x6=90°

所以夏至太陽位于黃經(jīng)90度.

故90.

14.已知數(shù)列｛α,,｝滿足4=1,4"=普，〃61<,則％=.

n-?-1

【正確答案】-

n

【分析】依題意可得("+l)q,M=%,,即可得到｛〃4｝為常數(shù)數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公

式.

【詳解】因?yàn)?=1,?所以("+l)α,,+j=叫,，

+ln+?

所以｛"%｝為常數(shù)數(shù)列，且加“=1,所以4=L.

n

故答案為.一

n

15.若x=l是函數(shù)/Cr)=*-Or-α)e"的一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。=.

【正確答案】1

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得r(ι)=o,代入求出參數(shù)。的值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=(χ2-Or-α)e",所以/'(x)=(Y-αx-α+2x-α)e*,

依題意可得了'⑴=0,βp(l2-α×l-Ω+2×l-α)e'=0,解得〃=1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

故1

16.對(duì)于數(shù)列{《J,記-=rnin也,02,,ak},1=1,2,,n,n∈N*.則稱{"}是{q}的“下

界數(shù)列"，令%=-〃2+20〃，｛〃｝是｛4,｝的下界數(shù)列，則

(4-4)+(%-2)++(?-?)=--------------------;

(參考公式：/+22+3?++*/("+I)。"+9)

6

H(∕?+l)(2n+l)

【正確答案】——一【+(10n-9)n,l≤;?≤19

969,鹿≥20

【分析】首先分析?！ǖ膯握{(diào)性，結(jié)合所給''下界數(shù)列''的定義求出｛a｝的通項(xiàng)公式，再分

1≤〃≤19和〃≥20兩種情況討論，利用分組求和法計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?一川+2（歷，所以a“=一（〃-10『+100,

所以當(dāng)ι≤"≤ιo時(shí)％單調(diào)遞增，當(dāng)〃>10時(shí)/單調(diào)遞減，且q=%,

又4=min{q,o2,,所以當(dāng)1≤Z≤1O時(shí)4=min{^,?,,ak}=al=19,

當(dāng)11≤Z≤19時(shí)仇=min{01,02,MJ=q=19,

2

當(dāng)左≥2()時(shí)a=min{q,%,,ak}=ak=-Λ+20Λ,

19,1≤H≤19-n2+20/7-19,1≤n≤19

BP=所以%-2=<

-n2+20n,n≥200,n≥20

所以當(dāng)1≤"≤19時(shí)(4-4)+(%-&)++(“〃—”〃)

=(-l2+20×l-19)+(-22+20×2-19)+?+(-√+20n-19)

=-(l2+22+÷H2)+(20×1-19+20×2-19+÷20n-19)

n(n+l)(2n+l)(1+20n-19)?

^^6+2-

=-〃(〃+?(2"+1)+(]。〃-9)〃,

當(dāng)〃≥20時(shí)(q—4)+(%—4)++(4—)

=(q-4)+(。2-%)++(a?―5兇)+。=—]9(∣9+12xJ9+])+(10χ]9-9)x]9=969,

π(n+l)(2n+l)/八八\?

所以S/4)+(生—仇)++(?！币晃?=?6+(10H-9)∕I,1≤H≤I9

969,π≥20

.,--——-------^+(10∕j-9)n,l≤M≤I9

故4J6'/

969,“≥20

四、解答題

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，n∈N*,且滿足S3=6,2a1+α2=4.

(1)求通項(xiàng)公式可；

(2)設(shè)〃=W,求數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和卻

【正確答案】(1)?！?"

⑵4=("-1)2""+2

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程解得外,",再寫通項(xiàng)即可;

(2)利用錯(cuò)位相減法求和即可.

[la+cι=43α∣+d=4

【詳解】(1)設(shè)｛%｝的公差為d,由f得3.(3-1),

5=63a+———Ld=6

2

解得則4=〃;

(2)由(1)可知或=〃x2"(〃eN*),

所以7；=1x2'+2x2?+…+〃x2"①，

27；=l×22+2×23+???+π×2,'+l(g),

由①-②得：-1=2+2?+2'+…+2"-〃X2”“，

所以)_〃x2"”=-2+2×2,,-n×2^+',

整理得.(=(〃-1)2""+2(〃∈N)

18.已知函數(shù)/(x)=d-3x2+4-a,a∈R.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)在xe[0,4]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)

(2)(0,4]

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，再求出區(qū)間端點(diǎn)值，依題意可得

/(o)≥o

-/(2)<0,即可得到不等式組，解得即可.

√(4)≥0

【詳解】(1)因?yàn)镕(X)=V-3爐+4—%所以解(X)=3/-6x=3x(x-2),

所以當(dāng)x>2或x<0時(shí)P{X)>0,當(dāng)0<x<2時(shí)/'(x)<0,

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).

(2)由(1)可知/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,4)上單調(diào)遞增，

所以"XL,=∕(2)=F,又"0)=4-α,/(4)=20-α,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在xe[0,4]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

'/(O)≥0[4-0≥0

所以?∕5<0,即一α<0

，解得0<α≤4,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,4].

/(4)≥0卜0-α≥0

19.四棱錐尸―ABCD中，P4，底面ABCD,四邊形ABC。是正方形，PA=AB=2.

M

(1)求證：平面RACJ?平面戶8￡)；

(2)設(shè)點(diǎn)M為棱Pe的中點(diǎn)，求直線與平面PB。所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

*

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明面面垂直.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算線面角正弦值.

【詳解】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,0)、C(2,2,0)、尸(0,0,2)、8(2,0,0)、

D(0,2,0),

則AC=(2,2,0)?AP=(0,0,2)、BP=(—2,0,2)、DP=(0-2,2),

.?zn?AC=2x+2j,=0、

設(shè)平面APC的法向量為%=(x,y,z),則｛,所以W=z(I,-1,0),

m?AP=2z=0

n?BP=—2a+2c=0

設(shè)平面/W的法向量為〃=(α,b,c),則｛,所以〃=(1,1,1),

'm?DP=-2b+2c=0

X

(2)因?yàn)辄c(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn)，所以"(1,1,1),所以=(—1,1,1),

nBM

設(shè)直線與平面尸8￡)所成角為6,所以sin。=

∣n∣?∣βM∣3,

所以直線BM與平面尸8。所成角的正弦值為;.

2

O經(jīng)過點(diǎn)(0,6),且右準(zhǔn)線為x=g=4?

(2)若過右焦點(diǎn)的直線/：y=依-左與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，直線/交右準(zhǔn)線于點(diǎn)N,右準(zhǔn)

線交X軸于點(diǎn)M,IB,AMN,BMN的面積分別為S∣,邑，求S∣+S?-3∣MM的最大值.

2222

【正確答案】⑴三+E=I或二+二=1

43123

【分析】(1)根據(jù)橢圓所過點(diǎn)得6,再由《=4列出方程求解即可；

C

(2)根據(jù)直線過定點(diǎn)，判斷橢圓方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，由根與系數(shù)關(guān)系求出占+%，

聯(lián)立準(zhǔn)線與直線方程求出N點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出E+S2-3∣MN∣的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后利用均值

不等式求解即可.

【詳解】(1)由題意，ft=√3,

又《=歸0=4,解得C=I或c=3,

CC

所以儲(chǔ)=從+。2=4或12,

故所求橢圓方程為《+^=1或±→2=1?

43123

(2)因?yàn)橹本€/：》=履一上=Z(X-1),所以直線過定點(diǎn)(1,0),

而宜線過焦點(diǎn)尸，

22

所以橢圓方程為二r+匕v=1，

43

(22

工+二=1

聯(lián)立43,消元得(3+4^2)χ2-8公》+4公-12=0,

y=kx-k

設(shè)A(%,χ),B(X2,J2),

則為+通=毋4/2-12

%N=

3+4/

fx=4

由V,,可得N(4,3口,

[y=KX-K

S1+S2_3|MNl=g(4-x∣)IMN?+∣(4-x2)IMNl-31MNl

={∣[8-(X1+X2)]-3}∣≡∣

上〕?3∣^

3+4?2J-3+4^2

.?.SI+5-3∣MΛ^∣=——≤-2.===更

由題意I，2甸3京2加r4，

當(dāng)且僅當(dāng)4|&|=2，即k=±且時(shí)等號(hào)成立.

Ikl2

21.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，且S“=2%-〃，?eN\

（1）求數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式；

⑵令bn=（T）（%+1）,求數(shù)列也｝的前2"項(xiàng)和為Q.

α,4+∣

【正確答案】（1）2"-1

（2）1.22,,∣_]

151,/?=1/、

【分析】（1）根據(jù)％=?c作差得到4=2%+l,從而得到4+1=2（4T+1）,

IAf一1，〃"

即可得到｛4,,+l｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）得2=（7廣H?+?：]，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.

?Z—?Z—1/

【詳解】(1)因?yàn)镾,,=2勺-〃①，當(dāng)〃=1時(shí)5=24-1,解得4=1,

當(dāng)〃22時(shí)S,-=2a“_]②，

①-②得S11-Sn,l=2an-n-?l+(π-l),BPa?=Ian-2allt-?,

所以",,=2α,τ+l,則4+l=2(α,τ+l),所以a+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

所以《+1=2",則α1,=2"-l.

->1—；—23-l+24-lJ+

22-l25-l

------+-------------------------+-------+------+—------------

2,-122-l22-l323-l+233-l+234-l22"-l22"i

Λ∩

22.已知函數(shù)/(x)=2InX--------?—2,a∈R.

(1)求函數(shù)/(χ)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)“X)有唯一的極值點(diǎn)而，

①求實(shí)數(shù)。取值范圍；

②證明.片?/(%)+2片?e』+1≥O

【正確答案】(1)答案見詳解

⑵①(一,0)；②證明見詳解

【分析】(1)求導(dǎo)，分類討論判斷原函數(shù)單調(diào)性；

(2)①根據(jù)(1)中的單調(diào)性，分析判斷極值點(diǎn)；②根據(jù)①可知%>0,a=-(片+2χ°),整理

分析可得原不等式等價(jià)于In%-'+4+er-；",構(gòu)建新函數(shù)

F(x)=lnx-→^+e,-t-i,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

【詳解】⑴由題意可知：/(χ)的定義域?yàn)?o,+e),且/⑺=2+W+4=生:"ll,

vzXX-XX

當(dāng)α≥0時(shí)，則尸(X)=亞士辛O在定義域內(nèi)恒成立,

故函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間為(0,+8),無遞減區(qū)間：

當(dāng)“<0時(shí)，令J"(x)=O,解得N=-l-y∕l