2023-2024學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二年級上冊階段性檢測數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二上冊階段性檢測數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.等差數(shù)列3,11,19,27,…的通項公式是()

A.all=Sn+5B.an=8n-5C.an=Sn-5D.a,l=-8?+5

【正確答案】B

【分析】首先得到首項與公差，即可求出通項公式.

【詳解】因為等差數(shù)列｛q｝的首項4=3,公差d=ll-3=8,

所以通項公式為q=4+(〃_l)d=3+8(〃_l)=8〃_5.

故選：B

2.設(shè)函數(shù)/'(X)是函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，若/(x)=cosx,則/，)=()

A.-昱B.--C.?D.3

2222

【正確答案】A

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計算可得.

【詳解】因為/(x)=cosx,所以/'(x)=—sinx,所以尸(W)=-Sinm=一等.

故選：A

3.有4人站成一排，若甲、乙兩人關(guān)系好而相鄰，則不同的排法種數(shù)共有()

A.256B.24C.12D.8

【正確答案】C

【分析】由題意，相鄰問題利用捆綁法即可求解.

【詳解】解：因為甲、乙兩人關(guān)系好而相鄰，

所以利用捆綁法可得有&&=12種不同的排法，

故選：C.

4.若函數(shù)/(x)=∕r-31nx,則/(x)的單調(diào)增區(qū)間為()

D.(θ,∣)和(1,+8)

【正確答案】C

【分析】求出函數(shù)定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=W-x-3InX的定義域為(0,+功，

又f'(x)=2x-l--==(2x-3)(x+l),

XXX

令冏x)>0,得x>∣,所以“X)的單調(diào)增區(qū)間為(|,+8)，

故選：C.

5.己知函數(shù)y=f(χ)的圖像在點M(1"⑴)處的切線方程是y=gχ+2,那么/⑴+/⑴=

()

A.~?B.1C.-D.3

22

【正確答案】D

【分析】利用切線方程求得了⑴，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得/⑴=；，即可求得答案.

【詳解】由題意函數(shù)y=/(χ)的圖像在點Λ∕(1,∕(1))處的切線方程是y=；x+2,

則/⑴=gχl+2=∣,/(1)=∣,

??∕(1)+∕(D=j+∣=3,

故選：D

6.已知/(x)=ln?L若尸(Xo)=L則與=()

Xe

A.—B.—eC.-D.e

ee

【正確答案】B

【分析】求/Q)=InJ的導(dǎo)數(shù)，代入導(dǎo)數(shù)值即可求解.

X

【詳解】因為/(x)=ln'=Tnx.所以:。)=—

XX

由/'O?)=--^=^,解得XO=-e.

?e

故選：B.

7.高三(2)班某天安排6節(jié)課，其中語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、生物、地理各一節(jié)，若要

求物理課比生物課先上，語文課與數(shù)學(xué)課相鄰，則編排方案共有()

A.42種B.96種C.120種D.144種

【正確答案】C

【分析】根據(jù)語文課與數(shù)學(xué)課相鄰，則利用捆綁法，物理課比生物課先上則利用對稱法求解.

【詳解】因為要求物理課比生物課先上，語文課與數(shù)學(xué)課相鄰，

所以課程編排方案共有?A；A；=120種，

故選：C.

8.定義在R上的函數(shù)〃X)和g(x),其各自導(dǎo)函數(shù)r(X)和g'(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)

F(X)=/(x)-g(x)其極值點的情況是()

B.有兩個極大值點，一個極小值點

C.有一個極大值點，兩個極小值點D.無極大值點，只有三個極小值點

【正確答案】C

【分析】如圖所示，三個交點對應(yīng)的橫坐標(biāo)為西,々，看，尸(X)=f'(χ)-g'(χ),根據(jù)圖像得

到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到答案.

【詳解】如圖所示：三個交點對應(yīng)的橫坐標(biāo)為不七,￡，F(xiàn)'(x)=∕'(x)-g'(x).

當(dāng)x>W時，尸(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)∕<x<X3時，F(xiàn)(X)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)芭<x<三時，F(xiàn)'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x<芭時，F(xiàn)'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

故函數(shù)有一個極大值點，兩個極小值點.

故選.C

本題考查了函數(shù)的圖像的識別，函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，

9.重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現(xiàn)了“底同火不

同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，

其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：

“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；

“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；

“四角格'’屬文火，火力溫和，適合炳菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），

其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放

入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放

法（）

A.108B.36C.9D.6

【正確答案】C

【分析】利用分步計數(shù)原理及分類計數(shù)原理即得.

【詳解】由題可知中間格只有一種放法；

十字格有四個位置，3種適合放入，所以有一種放兩個位置，共有3種放法；

四角格有四個位置，2種適合放入，可分為一種放三個位置，另一種放一個位置，有兩種放

法，或每種都放兩個位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；

所以不同放法共有Ix3χ3=9種.

故選：C.

二、填空題

10.已知雙曲線C：2V-V=2,則雙曲線C的焦距是

【正確答案】2#

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出。，瓦。即可求出.

【詳解】已知雙曲線U2χ2-V=2,即C:/-匯=1,

2

貝IJa=I,b=0?c=?∕a2+b2=?/??

所以雙曲線C的焦距為2C=2√L

故答案為.26

11.已知C；“+A：=51,則正整數(shù)"=.

【正確答案】6

【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的運算即可求得答案.

【詳解】由題意，("；)”+=51n3〃2-“-102=0n("-6)(3"+17)=0,得n=6.

故6.

三、雙空題

12.(3x7)5的展開式中f的系數(shù)為,展開式中二項式系數(shù)和為

【正確答案】-9032

【分析】寫出展開式的通項，令5-r=2求出廠，再代入計算可得，展開式中二項式系數(shù)和為

2"，即可得解.

［詳解】二項式3—1)5展開式的通項為(M=G(3x)5^r(-l)r=GX35^rχ(-l)r

令5-=2,解得r=3,所以展開式中χ2的系數(shù)為Cjx32χ(-l)3=-90,

展開式中二項式系數(shù)和為2$=32.

故一90；32

四、填空題

13.將4名志愿者分配到3個不同的北京冬奧場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志

愿者的方案種數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【正確答案】36

【分析】先將4人分成2、1、1三組，再安排給3個不同的場館，由分步乘法計數(shù)原理可得.

【詳解】將4人分到3個不同的體育場館，要求每個場館至少分配1人，則必須且只能有1

個場館分得2人，其余的2個場館各1人，

可先將4人分為2、的三組'有GF

=6種分組方法，再將分好的3組對應(yīng)3個場館,

有&=6種方法，

則共有6x6=36種分配方案.

故36

14.函數(shù)/⑶:^-:丁-辦是氏上的單調(diào)遞增函數(shù)，則〃的取值范圍是.

【正確答案】α≤l

【分析】對，(X)求導(dǎo)，由題設(shè)有α≤e*-x恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求y=e*τ的最小值，即可求

a的范圍.

【詳解】由題設(shè)，f?x)=e'-x-a,又/(x)在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

二α≤e*-x恒成立，令y=e*-x,則y'=e'T,

.?.當(dāng)xe(-8,0)時y'<0,則了遞減；當(dāng)x∈(0,?κo)時y'>0,貝IJy遞增.

?^?Vmin=)'Ix=O=1，故?！?.

故答案為?〃≤l

?.[?l,x≤0

已知函數(shù)/(X)=12J2

15.,若函數(shù)g(x)=[/(X)]-(α+2)∕(X)+24恰有4

一1—3Y+4x+3,X>0

13

個不同的零點，則α的取值范圍為

1314

【正確答案】

τ,τ

【分析】由分段函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出F(X)值域，令r=∕(χ),結(jié)合g(r)圖象特征采用數(shù)形結(jié)

合法可求4的取值范圍.

3?

【詳解】/(?)=<

2,C

一x'—3廠9+4x+3,X>O

、3

當(dāng)x≤0時，/(x)=3?(g)N3?(g)=3>函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)x>O時，/(X)=∣X3-3X2+4Λ-+3,∕,(X)=2√-6Λ+4=2(X2-3X+2)=2(X-1)(X-2),

了?0,1)和(2,+8)時，f(x)單增,x∈(l,2)時，/(x)單減，/(2)=1,

3?

故f(χ)的圖象大致為：

令r=∕(χ),則rw(3,+∞),

g(x)=[∕W]2-(0+2)∕(x)+24。g(。=戶-(α+2)f+2α=(f-a)(f-2),re[3,+∞)

當(dāng)α=2時，g(∕)=G-2)2,r∈[3,+∞),g(r)無零點；

當(dāng)α<2時,?(r)=(r-α)(r-2),∕∈[3,+∞),g(f)無零點；

當(dāng)α>2時，g(f)=(f-α)(f-2),r∈[3,+∞),g(f)=O,貝∣Jr=α,

要使g(x)=[/(X)I2-(a+2)∕(x)+2a恰有4個不同的零點，貝V=小)《俘,當(dāng)，

五、解答題

16.已知函數(shù)/(x)=χ3+χ-16

⑴求曲線y=f(χ)在點(Ij⑴)處的切線方程

(2)已知函數(shù)g(x)=∕(x)-30√+(2匕-I)X+16在點x=l處有極小值T,試確定b的值

【正確答案】⑴4x-18=0

(2)<ι=—,b=一■-

32

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再用點斜式求出切線方程;

P,(ι)=°

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),依題意可得U(1)=-ι即可得到方程組，解得即可，再進(jìn)行檢

驗.

【詳解】(1)因為f(x)=χ3+χT6,所以/(l)=r+l-16=T4,

∕z(x)=3X2÷1,

則r(l)=3xf+l=4,所以函數(shù)在點(Ij(I))處的切線方程為y+14=4(xT),

即4x-y-18=0.

(2)因為g(x)=/(x)-3αr2÷(2?-1)X+16=X3-3ax1-?-2bx,

所以g'(x)=3X2-6ax+2b,

?

g'⑴=03-6。+28=03

依題意可得,即，解得

g⑴=Tl-3^+2?=-l?

~2

經(jīng)檢驗g(x)在X=1處取得極小值滿足題意.

17.已知函數(shù)/(x)=4-qInX.

(I)若曲線N=F(X)在X=I處的切線方程為x-2y+l=0,求〃的值;

(H)求函數(shù)y=f(χ)在區(qū)間［1,4］上的極值.

【正確答案】(I)O(II)詳見解析

【分析】(I)求出/(X)=&-α∕αr的導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，然后求解α即可.

(II)求出/'(X)=—!之一@=正必，通過①當(dāng)2αWl,即a≤;時，②當(dāng)2a22,③當(dāng)1

2yXX2x2

<2r∕<2,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值.

【詳解】解：(I)因為"x)=6-ah*

所以(3=小一『

所以廣⑴=：-。.

因為y="x)在X=I處的切線方程為x-2y+l=0.

所以1丁α=17,

22

解得α=0?

(II)因為/(X)=五-Hn?,x∈［l,4］,

UUIr、1a4x~^cι

所以f(χ)=而一1=b'

①當(dāng)2a≤l,即a≤;時，r(x)≥0在［1,4］恒成立,

所以y=J(χ)在口，4］單調(diào)遞增;

所以y="χ)在［1,4］無極值；

②當(dāng)2α≥2,即α≥l時，/'(6≤0在口，4卜恒成立,

所以y=∕(x)在［1,4］單調(diào)遞減，

所以y=f(χ)在［1,4］無極值；

③當(dāng)l<2a<2,即:<“<l時，

X,f?x),f(X)變化如下表：

X(∣,4α2)4a2(402,4)

r(χ)-0+

f(x)單調(diào)遞減、極小值單調(diào)遞增/

因此，的減區(qū)間為(1,4/),增區(qū)間為(4〃,4).

所以當(dāng)x=4∕時，有極小值為2a-2αln(2α),無極大值.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的極值的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

18.已知(2x-l)"展開式中所有二項式系數(shù)的和為256,且滿足

(2X-1)”=%+4?(x+1)+a?,(x+?)+4，(x+1)，++,(x+1)".求：

⑴〃和旬的值

⑵旬+4++an

⑶IaoI+1aJ+甩|+匕1+同

【正確答案】(1)"=8,?=6561

(2)1

(3)322785

【分析】(1)根據(jù)二項式系數(shù)的和得出〃值，令x+l=0,求出與的值；

(2)令x+l=l,即x=()求得結(jié)果；

(3)由(2x-l)3=[-3+2(x+l)(求出展開式的通項，再求出4,得出結(jié)果.

【詳解】(1)己知(2x-l)"展開式中所有二項式系數(shù)的和為256,則2"=256,解得"=8.

所以(2x—l)s=%+4?(x+1)+4?(x+1)~+%?(x+1)，++〃J(X+1)?,

令x+l=O,即x=-l,則4=(-3)8=6561.

所以〃=8,?=6561

(2)令x+l=l,即X=0,則4+α∣++?=(-1)8=1.

(3)(2x-l)8=[-3+2(X÷I)]8的展開式的通項為

r8rr

τr+l=q(-3廣.[2(X+D]=q(-3)^.2?(x÷iy,

86253

?=3>O,4=C(-3)7.2<0,?=C^(-3)?2>O,03=C^(-3)?2<0,

44

α4=Cg(-3)?2>0,

所以∣?∣+lwl∣+∣Λ2∣+lii1∣+∣674∣=?-al+a2-a3+a4

=38+C；3,-2+C^36-22+C^3S?23+C*34-24

=34(34+Cs33?2+32?22+e?3?2324)

=34(81+432+1008+1344+1120)

=322785.

19.設(shè)函數(shù)Fa)=2∕(x+l)(其中e=2?71828....).

(1)求函數(shù)/S)的極值；

(2)求函數(shù)/S)在［f,f+l］?>-3)上的最小值;

(3)若g(x)=∕+4x+2,判斷函數(shù)∕7(x)=2f(x)-g(x)+2零點個數(shù).

【正確答案】(1)極小值=/(-2)=-2-2,不存在極大值；(2)見解析；(3)1個.

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性和極值；(2)討論［fj+l］(f>-3)與

單調(diào)區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行求解；(3)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過單

調(diào)性和極值的符號判定函數(shù)的零點個數(shù).

【詳解】(Df'(x)=2ex(x+2'),

由/'(x)>0得x>-2,由f'(x)<O得X<-2,

/(x)在(-2,+∞)單調(diào)遞增，在(-∞,-2)單調(diào)遞減.

??"(x)極小值=/(-2)=-，不存在極大值.

(2)由(1)知，/(x)在(-2,+∞)單調(diào)遞增，在(-∞,-2)單調(diào)遞減.t>—3,:.t+\>—2

當(dāng)-3<r<-2時，F(xiàn)(X)在億-2］單調(diào)遞減，［-2,∕+l∣單調(diào)遞增，

2

???∕ωmin=/(-2)=-2^-.

當(dāng)f≥-2時，/O)在UJ+1］單調(diào)遞增，

/(x)πιin=∕ω=2√(r+l);

(3)由題意F(X)=4e*(x+l)-χ2-4x

求導(dǎo)得F(X)=4ex(x+i)+4ex-2x-4=2(x+2)(2e'-l),

由尸'(x)>0得x>-ln2或XV—2,由F'(χ)<0得一2<x<-ln2

所以尸O)在(→≈,-2),(-∣n2,+∞)上單調(diào)遞增，在(-2,-In2)上單調(diào)遞減

.?.F(X)極小值=F(-ln2)=2+21n2-(ln2)2=2+ln2(2-ln2)>0

當(dāng)YTTC時，F(xiàn)(X)C0,

故函數(shù)尸(X)=2∕(x)-g(x)+2只有一個零點.

20.已知I函數(shù)/(x)=MlnX-D,k∈R.

(1)當(dāng)x>l時，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若對于任意xe[e,e2],都有/(x)<41nx成立，求實數(shù)G的取值范圍;

(3)若xl≠Xz,且/(占)=/(芻)，證明.為?X2<?

Q

【正確答案】(1)答案見解析；(2)(1—r，+8)；(3)證明見解析.

e^

【詳解】(1).r(X)=LX+山-%-1=依-%,

①A≤O時，因為χ>l,所以/'(X)=Inx-Z>0,

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，+功，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值；

②當(dāng)%>0時，令I(lǐng)nX—々=0,解得x=e",

當(dāng)l<x<i時，/'(x)<0;當(dāng)x>e*,f↑x)>0.

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0,i),單調(diào)遞增區(qū)間是(i,+8),

在區(qū)間(l,+∞)上的極小值為f(e")=(Z-"l)i=-e*,無極大值.

(2)由題意，/(x)-41nx<0,

即問題轉(zhuǎn)化為(x-4)ku-(A+l)x<0對于xe[e,e[恒成立，

即A+1>(±二：)InX對于X∈[e,e[恒成立，

?z?(x-4)lnx,/、41nx÷x-4

令g(x)=i——--,則g(x)=------2——‘

XX

令r(x)=41nx+x-4,xe[e,e[,貝"(X)=—+1>O,

所以f(x)在區(qū)間[e,e[上單調(diào)遞增，故G)min=()=e-4+4=e>0,故g'(x)>0,

所以g(x)在區(qū)間[e,e[上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)πm=gd)=2-*

ku

要使左+1>(上:)對于xe[e,e[恒成立,只要Hl>g(x)maχ,

所以我+1>2弓，即實數(shù)Z的取值范圍為(l-*+∞∣.

(3)證法1因為∕G)=∕(Λ2),由(1)知，函數(shù)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞減，在區(qū)間

上單調(diào)遞增，且/(*)=0.

不妨設(shè)王<々，則0<%</<當(dāng)</+,

Ae2k

要證XlX2<*，只要證X)<—,即證e<方<—.

X?l

(*、

因為/(X)在區(qū)間(e*,+8)上單調(diào)遞增，所以—，

?xI7

又/(%)="/),即證—，

VxI/

/2k?(2k?2k

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=∕(x)-∕∣—=(InX-后一I)X-IlnJ■—k-?—,

kλ√?Λ1A

-Yx∈(θ,e*).

即h?χ)y=x?nx-(?k+?)yx+e2k—

∕ιr(x)=lnx+l-(?+l)+e2λɑ~y~+-—1)(｝心\(32一

-^J=(lnx-?)—-,

因為x∈(θ,e