2022年安徽省淮南市尚塘中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年安徽省淮南市尚塘中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)在處的切線為A、

B、 C、

D、

參考答案：B略2.已知雙曲線的離心率為2，一個焦點與拋物線的焦點相同，則雙曲線的漸近方程為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知下列命題：①二次函數(shù)有最大值；②正項等差數(shù)列的公差大于零；③函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．其中真命題的個數(shù)為A.0 B.1C2 D.3參考答案：B【分析】根據(jù)命題真假的判斷條件，按涉及到的知識進行判斷，對于①，沒有給出a的值，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷二次函數(shù)的最值與a的取值關(guān)系，從而判斷該命題的真假；對于②，舉特例，例如遞減的每項為正的等差數(shù)列，根據(jù)公差的值做出判斷；對于③，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷圖象是否關(guān)于原點對稱.【詳解】解：①假命題，反例：當，拋物線開口向上，有最小值；②假命題，反例：若數(shù)列為遞減數(shù)列，如數(shù)列20，17,14,11,8,5,2，它的公差是-3；③真命題，是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱.故選B.【點睛】本題主要考查命題真假的判斷，需根據(jù)所學(xué)的知識進行判斷，相對不難.4.設(shè)F1、F2是橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左右焦點，P是直線x=a上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則橢圓E的離心率為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根據(jù)P為直線x=a上一點，可建立方程，由此可求橢圓的離心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P為直線x=a上一點∴2（a﹣c）=2c∴e==故選：B．【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5.在等比數(shù)列中，其前項的和為，且，，則數(shù)列的前項和為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.已知集合A={x|x+2＞0}，B={x|x2+2x﹣3≤0}，則A∩B=（）A．[﹣3，﹣2） B．[﹣3，﹣1] C．（﹣2，1] D．[﹣2，1]參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】化簡集合A、B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={x|x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}，則A∩B={x|﹣2＜x≤1}=（﹣2，1]．故選：C．7.圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交

B.相切C.相離D.直線過圓心參考答案：C8.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓(a>5)的兩個焦點，且|F1F2|＝8，弦AB過點F1，則△ABF2的周長為（）A.10

B.20

C.2

D.4參考答案：D略9.拋物線y2=4x的焦點坐標為（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】確定拋物線的焦點位置，進而可確定拋物線的焦點坐標．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點在x軸上，且p=2∴=1∴拋物線y2=4x的焦點坐標為（1，0）故選B．10.已知正四面體ABCD棱長為,其外接圓的體積為,內(nèi)切球的體積為,則等于(

)A.9

B.8

C.

D.27參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若方程所表示的曲線為C，給出下列四個命題： ①若C為橢圓，則1<t<4;

②若C為雙曲線，則t>4或t<1； ③曲線C不可能是圓；

④若C表示橢圓，且長軸在x軸上，則. 其中真命題的序號為

（把所有正確命題的序號都填在橫線上）.參考答案：②略12.三棱錐的三視圖如下（尺寸的長度單位為）．則這個三棱錐的體積為

_________;參考答案：13.設(shè)F為拋物線C：y=x2的焦點，曲線y=（k＞0）與C交于點P，PF⊥y軸，則k=．參考答案：2【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求出P點坐標，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得k值．【解答】解：拋物線C：y=x2的焦點F為（0，1），曲線y=（k＞0）與C交于點P，PF⊥y軸，得：P點縱坐標為1，代入C得：P點橫坐標為2，故k=2，故答案為2．14.設(shè)函數(shù)，若，，則的值為

參考答案：15.如圖，在三棱錐A﹣BCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O為BD中點，點P，Q分別為線段AO，BC上的動點（不含端點），且AP=CQ，則三棱錐P﹣QCO體積的最大值為

．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得AO⊥BD，再利用面面垂直的性質(zhì)可得AO⊥平面BCD，利用三角形的面積計算公式可得S△OCQ=，利用V三棱錐P﹣OCQ=，及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：設(shè)AP=x，∵O為BD中點，AD=AB=，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AO⊥平面BCD．∴PO是三棱錐P﹣QCO的高．AO==1．∴OP=1﹣x，（0＜x＜1）．在△BCO中，BC=，OB=1，∴OC==1，∠OCB=45°．∴S△OCQ===．∴V三棱錐P﹣OCQ====．當且僅當x=時取等號．∴三棱錐P﹣QCO體積的最大值為．故答案為：．16.已知A（1，1），B（﹣2，3），O為坐標原點，若直線l：ax+by+1=0與△ABO所圍成的區(qū)域（包括邊界）沒有公共點，則a﹣3b的取值范圍為

．參考答案：（﹣∞，）【分析】根據(jù)所給的三個點的坐標和直線與△ABO所圍成的區(qū)域（包括邊界）沒有公共點，得到關(guān)于a，b的不等式組，根據(jù)不等式組畫出可行域，求出目標函數(shù)的取值范圍．【解答】解：A（1，1），B（﹣2，3），O為坐標原點，直線l：ax+by+1=0與△ABO所圍成區(qū)域（包含邊界）沒有公共點，得不等式組，令z=a﹣3b，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，判斷知，z=a﹣3b在A取得最大值，由，解得M（﹣，﹣），可得a﹣3b＜．∴a﹣3b的取值范圍是（﹣∞，）．故答案為：（﹣∞，）．17.已知實數(shù)滿足，則的最大值為___________.參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知各項都不相等的等差數(shù)列的前六項和為60，且的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和.參考答案：（1）設(shè)數(shù)列的公差是，則，即①，即

②由①②解得累加，得，19.（1）計算（2）求中心在原點，焦點在坐標軸上，并且經(jīng)過點P（3，）和Q（，5）的雙曲線方程．參考答案：【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；雙曲線的標準方程．【分析】（1）直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案；（2）由題意設(shè)出雙曲線方程為，代入兩點的坐標，聯(lián)立方程組求得m，n的值得答案．【解答】解：（1）==；

（2）由題意設(shè)雙曲線方程為，∵雙曲線經(jīng)過點P（3，）和Q（，5），∴，解得．∴雙曲線方程為：．20.（本小題滿分13分）已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點(，).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在不過原點O的直線l，使得直線l與該橢圓交于P、Q兩點，滿足直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列？若存在，試求△OPQ面積的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）由題可設(shè)橢圓的方程為＋＝1（a>b>0），則，解得：，∴橢圓的方程為：.（2）假設(shè)這樣的直線l存在，由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，∴可設(shè)l：y＝kx＋m（m≠0），設(shè)P(，)，Q(，)，由消去y得：＝0，則△＝>0，且＋＝，·＝，∴·＝(k＋m)(k＋m)＝k2＋km(＋)＋m2，∵直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列，∴＝k2，∴＝0，又m≠0，∴k2＝，∴k＝.由于OP、OQ的斜率存在，∴≠0且≠0，∴m2≠1，又△>0，∴m2<4k2＋1＝2，∴0<m2<2且m2≠1，設(shè)原點O到直線l的距離為d，則d＝，又|PQ|＝，∴S△OPQ＝×d×|PQ|＝××＝|m|·＝＝，∵0<m2<2且m2≠1，∴0<<1，即S△OPQ∈(0，1)，∴這樣的直線l存在，且S△OPQ的取值范圍為：(0，1).21.直線l與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，已知=（ax1，by1），=（ax2，by2），若⊥且橢圓的離心率，又橢圓經(jīng)過點，O為坐標原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線l過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求直線l的斜率k的值；（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程．【專題】綜合題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）利用橢圓的離心率，橢圓經(jīng)過點，建立方程組，求得幾何量，從而可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合=0可得方程，從而可求直線l的斜率k的值；（Ⅲ）分類討論：①當直線AB斜率不存在時，即x1=x2，y1=﹣y2，利用=0，A在橢圓上，可求△AOB的面積；②當直線AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合=0可得△AOB的面積是定值．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率，橢圓經(jīng)過點，∴…2分∴a=2，b=1∴橢圓的方程為…3分（Ⅱ）依題意，設(shè)l的方程為由，∴顯然△＞0，…5分由已知=0得：==解得…6分．（Ⅲ）①當直線AB斜率不存在時，即x1=x2，y1=﹣y2，∵=0，∴，∵A在橢圓上，∴，∴，|y1|=∴S==1；②當直線AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，可得（k2+4）x2+2ktx+t