2023-2024學年北京市東城區(qū)景山學校高三年級上冊12月月考數(shù)學試卷含詳解

北京景山學校2023—2024學年度第一學期

高三數(shù)學12月月考試卷

注意事項:

（1）請用藍色或黑色圓珠筆、鋼筆或簽字筆答卷，不得用鉛筆或紅筆答卷.

（2）認真審題，字跡工整，卷面整潔.

（3）本試卷共5頁，共三道大題，21道小題.考試時間120分鐘.

（4）請將選擇題的答案填涂在機讀卡上，其余試卷答案填寫在答題紙上，在試卷上作答無效.

一.選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

L若集合A=3T<"<3},5={/<1或X>6},則AC&5)=

A.1x|l<x<31B.|x|-l<x<l}C.1x|l<%<3}D.33<%<6}

2.設z=二」，則在復平面內(nèi)z的共輾復數(shù)對應的點位于（）

2+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在（-8,0）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=-B.>C.y=lg|x|D.y=l-x2

X

4.4知向量（5=（1,1），=（羽一1）,貝是“（a+b），人”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

22

5.已知雙曲線。:二-與=1（。>0/>0）的一個焦點與虛軸的兩個端點構(gòu)成等邊三角形，則。的漸近線方程為

ab

Ay=±-----xB.y=±----xC.y=±y[2xD.y—±y/3x

22

f2rY<0

6.設函數(shù)/("=’一，則滿足/(x+l)<〃2x)的力的取值范圍是()

1,x>0,

A.(-°o,-l]B.(0,+e)C.(-1,0)D.(-a?,0)

7.已知圓C：（尤—a）?+（y+2）2=4與圓。2：（%+））2+（丁+1）2=1相外切，則ab的最大值為（）

r-9

A.2B.717C.-D.4

8.某鐘樓的鐘面部分是一個正方體，在該正方體的四個側(cè)面分別有四個時鐘，如果四個時鐘都是準確的，那么從

零點開始到十二點的過程中，相鄰兩個面上的時針所成的角為45°的位置有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.已知函數(shù)〃x)=—n+—,在下列結(jié)論中：

sinxcosx

①2兀是〃龍)的一個周期；

②/(%)的圖象關于直線x對稱；

③〃%)在區(qū)間，5，。]上無最大值

正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.0B,1C.2D.3

10.設數(shù)列｛4｝,若存在常數(shù)人對任意小的正數(shù)s,總存在正整數(shù)人,當“2小時，|a"一|<s,則數(shù)列｛4｝為

收斂數(shù)列.下列關于收斂數(shù)列說法正確的是()

A.若等比數(shù)列｛%｝是收斂數(shù)列，則公比qe(0,1)

B.等差數(shù)列不可能收斂數(shù)列

C.設公差不為。的等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為S〃(S.H0),則數(shù)列廿一定是收斂數(shù)列

D.設數(shù)列｛%｝的前n項和為S,,,滿足％=1,S?+1=a?+l,則數(shù)列｛??｝是收斂數(shù)列

二.填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

11.函數(shù)y=定義域為____________(用區(qū)間表示).

%2-1

12.二項式(五-2成的展開式中常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)

X

13.已知拋物線：/=2/?%(/?>0),焦點為F,若A、3在拋物線上且在第一象限，|4同=2,忸刊=4,卻=3,

求直線AB的斜率為.

14.正項數(shù)列｛。“｝共有9項，前3項成等差，后7項成等比，為=1,。*=12,。*=192,則%的值為

；q+%++^9的值為■

15.已知函數(shù)/(x)=sin[ox+；J(0<0<3)的圖象的一條對稱軸為直線x=:,/'(%)為函數(shù)八％)的導函

數(shù)，函數(shù)g(x)=/(x)+/'(x),給出以下結(jié)論：①直線x=2是g(x)圖象的一條對稱軸；②g(x)的最小正周

8

期為兀；③g(x)的最大值為百；④點1,0是g(x)圖象的一個對稱中心.則所有正確結(jié)論的序號是

三.解答題(共5小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.)

16.如圖，在三棱柱ABC—4方￡1中，_ABC為等邊三角形，四邊形BCG1片是邊長為2的正方形，D為AB

中點，且行.

(1)求證:平面ABB.A,；

B.P

(2)已知點尸在線段用C上，且直線AP與平面AC。所成角的正弦值為包，求酷7的值.

5

、J3

17.在-ABC中，角A,B,C的對邊分別為"c,acos5+]-6=c.

(1)求A的大??；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件選擇一個作為已知，使得.ABC存在且唯一確定，求邊上高線的

長.

條件①：cosB=,6=1；條件②：a-2,c-2^/3；條件③：b=3,c-A/3.

14

注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分.

18.根據(jù)《國家學生體質(zhì)健康標準》，高三男生和女生立定跳遠單項等級如下(單位：cm)：

立定跳遠單項等級高三男生高三女生

優(yōu)秀260及以上194及以上

良好245~259180-193

及格205-244150-179

不及格204及以下149及以下

從某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，將其立定跳遠測試成績整理如下(精確到1cm)：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假設用頻率估計概率，且每個同學的測試成績相互獨立.

(1)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率;

(2)從該校全體高三男生中隨機抽取2人，全體高三女生中隨機抽取1人，設X為這3人中立定跳遠單項等級為

優(yōu)秀的人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E(X)；

(3)從該校全體高三女生中隨機抽取3人，設“這3人立定跳遠單項既有優(yōu)秀，又有其它等級”為事件A,“這3

人的立定跳遠單項至多有1個是優(yōu)秀”為事件8.判斷A與8是否相互獨立.(結(jié)論不要求證明)

19.已知橢圓C：[+]=1(。〉人〉0),長軸長為4,離心率是走.

a2b22

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)斜率為左(左＞0)且不過原點的直線/交橢圓C于A,8兩點,線段的中點為￡,射線OE交橢圓C于點

G,交直線x=-4于點。若2ToD||o耳，證明：直線/經(jīng)過定點，并求出定點坐標.

20.已知函數(shù)/(x)=ln“+a.

x+1

(1)若/'(1)=；,求“值；

(2)當。＞2時，

①求證：/(X)有唯一的極值點均；

②記/⑴的零點為與,是否存在。使得上＜二?說明理由.

%

21.設A是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意xeA,都有x-leA或x+leA,則稱A為自鄰集.記集合

4={1,2,,〃}(〃22,〃eN)的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為au.

(1)直接寫出A4的所有自鄰集;

北京景山學校2023—2024學年度第一學期

高三數(shù)學12月月考試卷

一.選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

什備人A=\x\-l<x<5={x|x<l或x>6},貝“Ac做可=(

1.若集合II)

A.X1<%<B.1x|-l<x<1C.x\l<x<D.x|3<x<61

【答案】C

【分析】應用集合的交、補運算求集合即可.

【詳解】由題設45={劃146},又人={%卜1<x<3}

所以Ac(45)={%|1?尤<3}

故選：C

-IQ.

2.設則在復平面內(nèi)z的共輾復數(shù)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】利用復數(shù)的除法運算求出復數(shù)z及其共軌復數(shù)即可得解.

(l-3i)(2-i)-l-7i17.-17

【詳解】依題意,z=-------=----_1,則z=_g+，

(2+i)(2-i)5

17

所以在復平面內(nèi)Z的共軟復數(shù)對應的點(-二,二)位于第二象限.

故選：B

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(-8,0)上單調(diào)遞減的是()

A.y=—B.y=e-'C.y=lg|x|D.y=1-x2

x

【答案】C

【分析】由奇偶性排除兩個選項，符合條件的函數(shù)再判斷單調(diào)性即可得解.

【詳解】對于A,函數(shù)>是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，A不是;

X

對于B,函數(shù)>在R上單調(diào)遞減，不具有奇偶性，B不是;

對于C,函數(shù)y=lg|x|是偶函數(shù)，當X>o時，丫=電%在(0,+00)上單調(diào)遞增,

于是y=lg|x|在(-8,0)上單調(diào)遞減,C是;

對于D,函數(shù)y=l-k是偶函數(shù)，在(-co,0)上單調(diào)遞增，D不是.

故選：c

4.已知向量。=(1,1)/=(羽一1),貝『'％=—1”是“(4+))，>''的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】A

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標表示，求出對應的x的值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】當x=—1時，a=(l,l)力=(一1,一1)，則匕=(0,0)，

所以(a+/?)?/?=0x(-1)+Ox(—1)=0,故有(a+))_L〃，

當(a+Z?)_LZ?時，因為a+Z?=(l+x,0),

所以(a+bjb=(l+x)xx+Ox(-l)=0,即％2+尤=0,解得了=0或x=-L,

故“x=—1”是“(a+b^Vb”的充分不必要條件.

故選：A

22

5.已知雙曲線。:二-2=1(°>0/>())的一個焦點與虛軸的兩個端點構(gòu)成等邊三角形，則C的漸近線方程為

ab

()

A.y=±^^xB.y=±^-xC.y=±A/2XD.y=±y/3x

22

【答案】A

b

【分析】根據(jù)等邊三角形得出。，。的關系，進而求得一得漸近線方程.

a

【詳解】由已知及雙曲線的對稱性可得tan3(r=2,所以0=技.所以〃=，？萬=回，所以2=變，所

ca2

以C的漸近線方程為y=±^-x.

故選：A.

f2rY<0

6.設函數(shù)/("=’一，則滿足〃%+1)</(2力的元的取值范圍是()

1,JC>0,

A.(f-1]B.(0,+。)C.(-1,0)D.(-oo,0)

【答案】D

【分析】先作出了(%)的圖象，然后根據(jù)條件結(jié)合圖象列出關于x的不等式組，由此求解出結(jié)果.

【詳解】作出函數(shù)/(%)的圖象如圖所示,

要使〃x+l）</（2x）,

x+1<0

r2x<0

貝|2xW0或41八，

<-x+l>0

x+l>2x

即x?—l或—I<x<0,

所以不等式解集為（-8,0），

故選：D

7.已知圓G:（無一a]+（y+2）z=4與圓C?++（y+l）~=1相外切，則aZ?的最大值為（）

r-9

A.2B.Vl7C.-D.4

【答案】A

【分析】由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由兩圓外切可得（。+?2=8,要使ab取得最大值，則。，b同號，不

妨取a>0,b>0,然后利用基本不等式求得ab的最大值.

【詳解】圓4：。一。）2+（丁+2）2=4的圓心為￡（。,—2）,半徑（=2,

圓C2：（x+6）2+（y+l）2=l的圓心為C?（一仇T）,半徑弓=1,

由圓G與圓G相外切，得IGGE+G

即J（a+4+（-2+1）2=3,

（a+by=8,

要使ab取得最大值，則a,b同號，不妨取a>0,b>0,

由基本不等式，得

.?々64（等）2=：=2,當且僅當a=b=行時等號成立，

ab的最大值為2.

故選：A.

8.某鐘樓的鐘面部分是一個正方體，在該正方體的四個側(cè)面分別有四個時鐘，如果四個時鐘都是準確的，那么從

零點開始到十二點的過程中，相鄰兩個面上的時針所成的角為45°的位置有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標系，結(jié)合實例分析空間兩直線所成角即可得解.

【詳解】取正方體ABC。—A4CR的相鄰兩個面它們的中心分別為是對應鐘面圓

心，

0點時，兩個鐘面時針分別指向點及耳，顯然OEIIO\E[,

直線。片,qC分別為正方體相鄰兩個正方形的面對角線所在直線，它們成60°的角,

即兩個鐘面時針分別指向點用，。時，兩個時針所成的角為60°,

當兩個鐘面時針分別指向點￡片時，有。尸,日片，因此當時針從0點轉(zhuǎn)到3點的過程中,

兩個時針所在直線所成的角從0°逐漸增大到90°,令成45°角的位置時針分別指向棱4片,與G上的點P,《,

如圖，建立空間直角坐標系，令AB=2,則0(2,1,1),q(1,2』)，

談EP=t,顯然耳《=心則P(2,l+/,2),《(lT,2,2),O尸=(0J,1),OJ4=(T,0,1),

cos〈OP,0擊〉=——-=cos45°=~^=

解得f=J應—1,

因此時針從0點轉(zhuǎn)到3點的過程中，相鄰兩個面上的時針所成的角為45。的位置有1個，

同理時針從3點轉(zhuǎn)到6點，6點轉(zhuǎn)到9點，9點轉(zhuǎn)到12點，兩個時針所成的角為45。的位置各有1個,

所以從零點開始到十二點的過程中，相鄰兩個面上的時針所成的角為45。的位置有4個.

故選：D

9.已知函數(shù)〃x)=—^+」一，在下列結(jié)論中：

sinxcos%

①2兀是了(%)一個周期；

②/(%)的圖象關于直線x對稱;

③/(%)在區(qū)間[-5'0J上無最大值

正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.OB.1C.2D.3

【答案】B

【分析】①②根據(jù)周期性和對稱性滿足的關系式判斷；③利用換元法求函數(shù)了⑺在xe-?o的最值情況.

11

=2&f—：+2兀=0

7兀

sin

44

所以2兀不是“％)的一個周期，故①錯誤;

c°s；sm;2所以了⑴的圖象不關于直線x對

----------1-------,X<—

cosxsinx2

稱，故②錯；

/x_11_sinx_cosx_2(sinx-cosx)(、

J(-^)-：?；~2=二72I兀?

smxcosxl-(sinx-cosx)l-(sinx-cosx),于"n卜

2

令t—sinx-cosx—A/2sin[x——,則x——]——,——,tE[——1),

212/\

了二匚”=口，在fe卜應，-1)上單調(diào)遞增，所以無最大值，即函數(shù)"X)在xe-],0上無最大值，故③

正確.

故選：B.

10.設數(shù)列｛%｝,若存在常數(shù)上對任意小的正數(shù)S,總存在正整數(shù)%,當“2%時，\an-t\<s,則數(shù)列｛4｝為

收斂數(shù)列.下列關于收斂數(shù)列說法正確的是()

A.若等比數(shù)列｛%｝是收斂數(shù)列，則公比qe(0,1)

B.等差數(shù)列不可能是收斂數(shù)列

C.設公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為s〃(s〃w0),則數(shù)列K一定是收斂數(shù)列

D.設數(shù)列｛??｝的前n項和為Sn,滿足％=1,S用=4+1,則數(shù)列｛a,J是收斂數(shù)列

【答案】C

【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合特殊的等差數(shù)列和等比數(shù)列、數(shù)列的周期性、等差數(shù)列前九項和公式逐一判斷即可.

【詳解】當數(shù)列為常數(shù)列（不為零），因此該數(shù)列是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，顯然該數(shù)列是收斂數(shù)列，因此選項AB

不正確；

選項C：設等差數(shù)列｛4｝的公差為

J_=______I______1

所以S1,八,，當dwO時，當"一中冷時，—>0,

n

nax+—n（n-l）aSn

所以數(shù)列〈《一定是收斂數(shù)列，因此本選項正確；

Sn.

選項D：因為4=1,Sn+1=an+1,所以可得出=1，

當”22,“eN*時，由5用=%+lnS,+1,兩式相減，得。用=-,

所以%=0,4=-L%=-1，&=0，%=1，所以該數(shù)列的周期為6,該數(shù)列不可能是收斂數(shù)列，因此本選項說法

不正確，

故選：C

【點睛】關鍵點睛：利用數(shù)列的周期性、常數(shù)列的性質(zhì)是解題的關鍵.

二.填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

11.函數(shù)）的定義域為_________（用區(qū)間表示）.

x2-l

【答案】［o,i）（L”）##（L”）3°，I）

【分析】根據(jù)定義域的定義即可列不等式求解.

V-i^o八

【詳解】由題意可得nx?0且xwl,

%>0

故定義域為：［0,1）。,包）

12.二項式（?-2成的展開式中常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

X

【答案】60

【分析】求出二項式展開式的通項公式，再求出x的指數(shù)為0的項即得.

【詳解】二項式（?—j）6的展開式的通項公式ZM=G（J，6f1―2）=（—2）'，

3

由3—耳廠=0,得r=2,則4=（—2>C：=4x15=60,

所以二項式（?-2）6的展開式中常數(shù)項為60.

X

故答案為：60

13.已知拋物線：y2=2px(p>0),焦點為F，若A3在拋物線上且在第一象限，|人刊=2,忸刊=4,|AB|=3,

求直線AB的斜率為.

【答案】更

【分析】設A3的斜率為左，根據(jù)拋物線的定義以及弦長公式建立方程即可求解.

【詳解】設4斗％),3(々,％)則由于的斜率存在，設的斜率為左.A,B,

都在尤軸上方，由題意知左>0,

由拋物線定義防

2,由弦長公式AB=^/i1記|

+—=

所以AB=J1+k1%一4|=3nJl+k。=^=>k=

故答案為：為

14.正項數(shù)列｛4｝共有9項，前3項成等差，后7項成等比，“i=l,a*=12,a*=192,則%的值為

；Q]+%++〃9的值為?

【答案】①.48②.384

【分析】設出正項數(shù)列｛%｝成等比數(shù)列的后7項的公比，求出。7及。3，。2,再分組求和即得.

【詳解】正項數(shù)列｛4｝成等比數(shù)列的后7項的首項為火，設公比為4,則/=，=16,而q>0,解得

q=2,

于是。3=烏=3,%=。5/=48,顯然出='+%=2,

Q2

3(1—27)

所以〃]+2+/++%=3H—-————384.

故答案為：48；384

15.已知函數(shù)/(x)=sin10x+；](0<<y<3)的圖象的一條對稱軸為直線》=1，f'(x)為函數(shù)/(%)的導函

數(shù)，函數(shù)g(x)=/(x)+/'(x),給出以下結(jié)論：①直線x=巴是g(x)圖象的一條對稱軸；②g(x)的最小正周

8

期為兀；③g(x)的最大值為④點1,0是g(x)圖象的一個對稱中心.則所有正確結(jié)論的序號是

【答案】②③

【分析】根據(jù)題意可得++：/eZ,再結(jié)合0<。<3,可求出。=2,從而得出函數(shù)八%)的解析式為

o42

1

/(x)=sin12x+：J,進而得到8(司=5呵2%+()+20)512%+‘="；3(2%+9),即可判斷各項的真假.

【詳解】因為〃x)=sin0X+；的圖象的一條對稱軸為直線》=巴，

k4J8

7C7C7C

所以一coH——kjiH—，k￡Z,所以G=8k+2,k￡Z,

842

又0</〈3,所以①=2,所以/(x)=sin[2x+：),所以尸(x)=2cos12%+：

所以g(%)=sin121+：+2cos—sin2x

2

=y/5cos(2x+0)tan(p=—

TT7Lg，"且g［曰］，一"且g［曰］，。)

可取o<0<5，顯然夕74

易知g(x)的最大值為石，最小正周期為兀，故①④錯誤，②③正確.

故答案為：②③.

【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是熟練掌握復合函數(shù)的求導，從而得解.

三.解答題(共5小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.)

16.如圖，在三棱柱ABC—A/1cl中，.A5C為等邊三角形，四邊形3CG片是邊長為2的正方形，D為AB

中點，且\D=下.

(1)求證:era平面；

九六|5,P|

(2)已知點尸在線段及C上，且直線AP與平面所成角的正弦值為包，求號的值.

【答案】（1）證明見解析;

⑵I-

【分析】（1）由勾股定理可得AALAD,再利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.

（2）建立空間直角坐標系，結(jié)合線面角的向量求法求出點P位置即可.

【小問1詳解】

在三棱柱ABC—中，AAi=BBl=2,AD=-AB=-BC=l,AlD=45,

顯然4加+其與=5=AQ2,則AA_LAD,又515ABCRBI12,

于是又ADBC=B,AD,BCu平面ABC,

因此AAL平面ABC,又CE>U平面ABC,即有CD，"，

在正JRC中，。為A5中點，則CDLA5,又ABi叫=A,A3,u平面AB與A,

所以CD，平面ABB】

【小問2詳解】

取中點為。，與G中點為。，則OA1BC,OQA.BC,

由（1）知，[AJ,平面ABC,且OAu平面ABC,則。4，A4],又B、BIRA,

有OA_LBB「BBiCBC=B,55],BCu平面5CC4,于是。4,平面BCC4,04,06,0。兩兩垂直

以。為坐標原點，。8,。。,。4的方向為X軸、y軸、Z軸的正方向，建立空間直角坐標系，

1h

則。(0,0,0),A(0,0,6),A(0,2,6),C(-l,0,0),D(-,0,事),B}(1,2,0)，

CD=(1,0,岑),*=(1,2,若)，。用=(2,2,0),AC=(—1,0,-石)，

.n-CD=—x+z=0.1-

設平面A。。的法向量為〃=(九,y,z),則＜22,令1=1,得〃=(1,1,一代)，

n-G4t=%+2y+0z=0

設CP=2CB[=(22,22,0),2e[0,1],則AP=AC+CP=AC+=(22-1,24—百)，

由直線AP與平面A。。所成角的正弦值為差，得

,\I\AP-n\|2A-1+2A+3|2小

|cos/(AAPP,n)|=----------=/?占~~—=-----,

\AP\\n\J(2X-I)2+(22)2+3-V55

即|2/l+l|=J(2/l—l)2+(2/l)2+3,整理得4萬—82+3=0,而解得X=

\B.P\1

即點P為線段耳。的中點，所以房i=

17.在ABC中，角A,5c的對邊分別為"c,acosB+^^-6=c.

(1)求A的大??；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件選擇一個作為已知，使得.ABC存在且唯一確定，求邊上高線的

長.

條件①：cosB=之亞^,6=1；條件②：a—2,c—2A/3；條件③：b=3,c=A/3.

14

注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分.

7T

【答案】(1)

6

(2)條件①：叵;條件③：

72

【分析】(1)利用正弦定理，邊化角，再利用三角恒等變換求解即可.

(2)根據(jù)三角形全等條件可知①③滿足條件，條件②由余弦定理可得力有兩解，不滿足條件，條件①：根據(jù)

sinC=sin(A+3),結(jié)合等面積求解即可；條件③：利用余弦定理結(jié)合等面積求解即可.

【小問1詳解】

J3

在中因為acosBn---b=c，

2

由正弦定理得sinAcossinB=sinC，

2

所以sinAcos3+sin3=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,即4sin5=sinBcosA,

又因為A5￡(0,?),sinB^O,所以cosA=且，A=-

26

【小問2詳解】

設5c邊上的高為/?,

條件①：因為cos3=,所以Be（0,二）,sinB=，

14214

所以0<A+5〈不，根據(jù)三角形全等（角角邊）可知，ABC存在且唯一確定.

所以sinC=sin(A+B)=sinAcos3+sin3cosA=-----，

則l/za=』absinC,解得〃=且，即BC邊上的高為變.

2277

RIdCU,z..b+c~-Qb+12—9

條件②：由余弦定理得cosA=--------------,n即n——=-----產(chǎn),

2bc24j3b

解得〃=2或4,此時滿足條件的.ABC的三角形有兩個，條件②不符合題意.

條件③：根據(jù)三角形全等（邊角邊）可得"。存在且唯一確定，

由余弦定理得cos4="十廠—礦，即走=9+3］礦,解得。=退，

2bc26百

1133

則一/za=—bcsinA,解得力二一，即5C邊上的高為一.

2222

18.根據(jù)《國家學生體質(zhì)健康標準》,高三男生和女生立定跳遠單項等級如下（單位：cm）

立定跳遠單項等級高三男生高三女生

優(yōu)秀260及以上194及以上

良好245~259180-193

及格205-244150-179

不及格204及以下149及以下

從某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，將其立定跳遠測試成績整理如下（精確到1cm）：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假設用頻率估計概率，且每個同學的測試成績相互獨立.

（1）分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率；

（2）從該校全體高三男生中隨機抽取2人，全體高三女生中隨機抽取1人，設X為這3人中立定跳遠單項等級為

優(yōu)秀的人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E(x)；

(3)從該校全體高三女生中隨機抽取3人，設“這3人的立定跳遠單項既有優(yōu)秀，又有其它等級”為事件A,“這3

人的立定跳遠單項至多有1個是優(yōu)秀”為事件8.判斷A與8是否相互獨立.(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1),

3

⑵-

6

(3)A與8相互獨立

【分析】(1)樣本中立定跳遠單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為4,獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為6,計算頻率得到優(yōu)秀率

的估計值；

(2)由題設，X的所有可能取值為0，L2,3.算出對應概率的估計值，得到X的數(shù)學期望的估計值；

(3)利用兩個事件相互獨立的定義判斷即可.

【小問1詳解】

樣本中立定跳遠單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為4，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為6,

所以估計該校高三男生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為之=!；估計高三女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為二=4.

123122

【小問2詳解】

由題設，X的所有可能取值為。J2,3.

P(X=0)估計為($2xg=|；

P(X=1)估計為C；xgxgxg+(：)2xg=1；

2

P(x=2)估計4xlx|xl+(l)xl=A;

P(X=3)估計

JZ1o

24s17

估計X的數(shù)學期望石(X)=0x—+1義一+2x—+3x—=—.

v79918186

【小問3詳解】

P(A)估計為

P(3)估計為

P(AB)估計為=-,

32y2)8

尸(AB)=P(A)P(3),所以A與B相互獨立.

19.已知橢圓C：二+4=1（?！??！?）,長軸長為4,離心率是也

a2b②2

（I）求橢圓C的標準方程;

（2）斜率為左（左>0）且不過原點直線/交橢圓C于A,2兩點，線段AB的中點為E,射線OE交橢圓C于點

G,交直線為=-4于點。若2ToD||o目，證明：直線/經(jīng)過定點，并求出定點坐標.

【答案】（1）—+/=1；

4-

（2）證明見解析，（—1,0）.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可求出橢圓C的標準方程.

（2）設直線/的方程為：y^kx+t,k>0,聯(lián)立直線與橢圓得交點坐標，再結(jié)合已知求出f的值即可得結(jié)論.

【小問1詳解】

22

由橢圓C:=+與=l（a〉6〉0）的長軸長為4,得2。=4,即a=2,

ab

由離心率是立，得J"—/=,4—/=昱，解得/；=1,

2a22

尤2

所以橢圓C的標準方程為—+/=1.

4-

【小問2詳解】

設直線/的方程為：y^kx+t,k>0,t^0,

y1kx消去y并整理得：(4k2+l)x2+8to+4z2-4=0,

由<

x+4y~=4

2

A=64k2t2-16（4Z:+l）（r-1）>0,即4儲+1-r>0，設4（尤1，%）,5（乙,〉2），

8左彳Dt4ktt

則石+"一訴p/+%—初+”而，于是點E（一訴pG"，

直線的方程為丁=—工x,則點。（―4,1），

4kk

1°

y-x16k2116421

由<-4k，解得/=與，,/=__,設點6(%,如)，貝4君=

2:2/442+―4^+1G4左？+1'-4左2+1'

x+4y=4

顯然點瓦G,。的縱坐標力，為，為同號，由0目得，yl=yD-yE,

因此一—=l?一J,解得/=左，此時A>0,直線/：,=左（％+1）過定點（―L0）,

4f+lk4V+1

所以直線/經(jīng)過定點，該定點坐標為(-1,0).

x=-4

八一皿”、lnx+?

20.已知函數(shù)/(%)=------.

x+1

(1)若/'。)=；，求。的值；

(2)當。>2時，

①求證：“無)有唯一的極值點均；

②記/(1)的零點為與,是否存在。使得土We??說明理由.

%

【答案】(1)0=1.

(2)①證明見解析，②不存在，詳細見解析.

【分析】(1)求得導函數(shù)，由/"(I)=；,代入計算即可.

⑵①求得,⑴,+7nx-a設g(x)=i+_L—mx—。，由函數(shù)性質(zhì)可知g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減.進而由

g(e-a)=l+efl>0,g(l)=2-a<0,可得f(x)=0有(0,+oo)有唯一解，進而利用導數(shù)可判斷,⑺有唯一的極

值點A.

②由題意，可得與=一,假設存在°,使上We2,進而可知尸<%We?：由g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞減,

%

g(e-a)>0,則g(e2Y)<0,求得。42,與已知矛盾，則假設錯誤.

【小問1詳解】

因為=墨二/>°'所以1----Inx-a

2-a1

因為/"")=--=->所以。=L

44

【小問2詳解】

①/⑺的定義域是(0,+8),

1~\---Inx—a

ra)=-y一—,

(x+1)-

令/'(%)=。,，則1+,一Inx-a=0.

x

設80)=1+工一111工一。,因為丁=工，，=一111%在(0,+00)上單調(diào)遞減，

XX

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

因為g(e-°)=l+e">0,g(l)=2—a<0,所以g(x)在(0,+oo)上有唯一的零點，|

所以/'(%)=0有(0,+8)有唯一解，不妨設為西,西e(e-fl,l).

/(x)與/(元)的情況如下，

X(Xp+oo)

(0,王)X1

f,M+