2023-2024學(xué)年安徽省高二年級(jí)下冊(cè)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年安徽省高二年級(jí)下冊(cè)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)

模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若函數(shù)yi=sin2xi+%、xiw[o,卻，函數(shù)以=也+3,則(xi-X2)2+(yi—次)2的最小值為()

A,將+也押B,普C.(嚀即D.正書或

【正確答案】D

師WF訴詢表示兩函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)之間的距離，其最小值應(yīng)為曲線刈上與直線

戶平行的切線的切點(diǎn)到直線及的距離.

由題可得yi'=2cos2xi,令川=1,

則cos2xi=1,

得網(wǎng)4或取舍去)，所以刈=￥,

故切點(diǎn)為&￥),切點(diǎn)到直線V2的距離為--+3]n-34+15

6啦

所以(XLX2)2+0L”)2的最小值為(L3**15F

故選D.

2.設(shè)函數(shù)兀r)=*lnx(x>0),則7(x)()

A.在區(qū)間(%1),(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn)

B.在區(qū)間1),(1,e)內(nèi)均無零點(diǎn)

C.在區(qū)間&1)內(nèi)有零點(diǎn),在區(qū)間(l,e)內(nèi)無零點(diǎn)

D.在區(qū)間@,1)內(nèi)無零點(diǎn),在區(qū)間(l,e)內(nèi)有零點(diǎn)

【正確答案】D

尼)=:“言

當(dāng)0<x<3時(shí)/(x)<0,故函數(shù)Hx)在區(qū)間(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減.

由于居)=川)=]e)咚1<0,故函數(shù)於)在區(qū)間&,1)內(nèi)無零點(diǎn),在區(qū)間(l,e)內(nèi)有零點(diǎn).

故選D.

3.已知函數(shù)兀0的定義域是R<0)=2,且對(duì)任意xeR,/(x)+/Xx)>l,則不等式ex-Xx)>ex+l的解

集為()

A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.或x>l}D.或}

【正確答案】A

設(shè)g(x)=ex-/(x)-ex,

則gU)=exWx)+/V)-l].

?.?對(duì)任意xGRJ(x)t/'(x)>l,

.'.g'(x)>0在R上恒成立.

???g(x)=ex：/(x)-ex在R上為增函數(shù).

又y(o)=2,，g(o)=i.

故g(x)=exy(x)-ex>l的解集為{x|x>0},

即不等式ex?v)>ex+l的解集為{x|x>0}.

4.已知函數(shù)/(x)=sin[2x+g),/'(X)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)N=2/(x)+,1(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)

間是()

A.[宣,S]B.[一符,即C.[一冬第D.[-5y]

【正確答案】A

因?yàn)楹瘮?shù)Xx)=sinCx+g),/(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，所以函數(shù)^=孫)+/田

=2sin(2x-旬+2cos(2x*p'

=2Wsirr；2x+今+至=2娘sini-卻

由2E+基2x+里2既+弄，YZ,可得E+強(qiáng)ScWE+gRGZ,結(jié)合選項(xiàng)可知，當(dāng)％=0

時(shí)，函數(shù)y=Z/(x)+/(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為語囹.故選A.

5.若函數(shù)/(x)=x3-12x在區(qū)間(左一1,A+1)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.(-00,-3]U[-1,1]U[3,+oo)B.(—3,-1)U(1,3)

C.(-2,2)D.不存在這樣的實(shí)數(shù)太

【正確答案】B

由題意得，/(x)=3x2—12=0在區(qū)間(4-1,4+1)上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

又/(》)=3/—12=0的根為±2,且"X)在x=2或x=-2兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而區(qū)間(左一1,%+1)

的區(qū)間長(zhǎng)度為2,

故只有2或一2在區(qū)間(后一1,左+1)內(nèi)，

：.k-\<2<k+1或k-\<-2<k+1,

:.1<K3或一3<%<—1,故選B.

6.已知函數(shù)/(幻=以一/一1必?存在極值，若這些極值的和大于5+ln2,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為()

A.(—00,4)B.(4,+co)C.(—00,2)D.(2,+00)

【正確答案】B

*.*/(%)=ax—X2—lnx(x>0),

.V(x)=-2xL^l

??7(x)存在極值，

???/(x)=0在(0,+8)上有實(shí)根，

即2/—ax+1=0在(0,+8)上有實(shí)根，

即a=2x+］在(0,+8)上有實(shí)根.

由2x+92#7J=2娘，(當(dāng)且僅當(dāng)x=乎時(shí)，等號(hào)成立)，

得a>2娘(a=2筐時(shí)無極值，舍去).

此時(shí)，/(x)=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，

X2

1

-

2

兀⑵是人刈的兩個(gè)極值，

依題意得/(X1)+/(X2)=a(x\+%2)—(x+x)—(liDCi+1g)=￡一耳-1；一層=,+1+ln2>5+

ln2.

化簡(jiǎn)得標(biāo)>16,又a>2"，...“>4.

二。的取值范圍是(4,+oo).

7.已知函數(shù)/(x)=-x3-ax在(-8,-1］上單調(diào)遞減，且g(x)=x2-f在區(qū)間(1,2］上既有最大

值，又有最小值，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(-2,4-oo)B.［-3,+co)C.［-3,—2)D.［―3,-2］

【正確答案】c

因?yàn)楹瘮?shù),/(x)=-x3一"在(-8,—1］上單調(diào)遞減，

所以/(x)=-3x2—a<0對(duì)于一切xC(—8,-1］恒成立，

得一3x2%,所以的-3.

又因?yàn)間a)=x2-f在區(qū)間(1,2］上既有最大值，又有最小值，

所以，可知g'(x)=2x+,在(1,2)上有零點(diǎn)，也就是極值點(diǎn)，

即2x+3=O有解，解得。=一級(jí)3,

可得一16々<2,所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為［-3,-2).

8.已知函數(shù),/)的定義域?yàn)?0,+8),“X)為./(X)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足Xx)v-V(x)，則不等式

人》+1)>3-1如2―1)的解集是()

A.(2,4-00)B.(1,+oo)C.(1,2)D.(0,1)

【正確答案】A

設(shè)g(x)='/(x),xG(0,+8),則g'(x)=/(x)+./(x)-

，g'(x)<0,

；.g(x)在(x,+8)上為減函數(shù).為X)的定義域?yàn)?0,4-00),

心(x以-1>解0,j得,9.

將原不等式的兩邊同乘(x+1),得(x+l)/(x+l)>(x2—l)/(x2-l),即g(x+l)>g(x2-1),

Ax+\<x2—1,解得x>2或x<—1(舍去)，

???原不等式的解集為(2,+oo).

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知定義在R上的函數(shù);(x),其導(dǎo)函數(shù)/(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是

B.函數(shù)/(X)在［a,6］上單調(diào)遞增，在［b,由上單調(diào)遞減

C../(x)的極值點(diǎn)為c,e

D."x)的極大值為/S)

【正確答案】ABD

由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系知，

當(dāng)/(x)>0時(shí)，式編單調(diào)遞增，

當(dāng)/(x)<0時(shí)，/(X)單調(diào)遞減.

結(jié)合所給圖象知，x￡(a,c)時(shí)，/(x)>0,

.?.兀0在(a,c)上單調(diào)遞增，

xG(c,e)時(shí)，/(x)<0,

??/x)在(c,e)上單調(diào)遞減，

xG(e,+8)時(shí),/(x)>0,

?Mx)在(e,+?))上單調(diào)遞增，

二函數(shù)Xx)在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值，

??加x)的極值點(diǎn)為c,e.故C正確，A,B,D均不正確.

10.已知函數(shù),/(x)=#-4x+2,下列說法中正確的有()

A.函數(shù)危)的極大值為竽，極小值為一號(hào)

B.當(dāng)xG［3,4］時(shí)，函數(shù)外)的最大值為苧，最小值為一學(xué)

C.函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間為［-2,2］

D.曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=-4x+2

【正確答案】ACD

因?yàn)椤?=#一41+2,所以/(X)=X2-4,

由/。)>0,得x<-2或x>2,由/(x)<0,得一2Vx<2,

所以函數(shù)兀0在(一8,-2)上遞增，在［-2,2］上遞減，在(2,+8)上遞增，故選項(xiàng)C正確;

所以當(dāng)》=一2時(shí)，./(x)取得極大值八—2)=暴(-2>—4x(-2)+2=苧，

當(dāng)x=2時(shí)，外)取得極小值<2)=923—4><2+2=一學(xué)，故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)xW［3,4］時(shí)，")為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)x=3時(shí)，外)取得最小值/(3)=933-4x3+2

=-1,當(dāng)x=4時(shí)，於)取得最大值/(4)=943-4'4+2=苧，故選項(xiàng)B不正確；

因?yàn)?(0)=-4,所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為夕一2=-4口—0),即)>=一公

+2,故選項(xiàng)D正確.

11.已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=a(x+2)(x-“)，若/(x)在x=a處取得極小值，則a的取值范

圍是()

A.(-00,-2)B.(0,+8)C.(0,1)D.(-1,0)

【正確答案】AB

'?'/W=a(x+2)(x-a),若a<-2,則/(x)在(一8,a)上單調(diào)遞減,在(a,-2)上單調(diào)遞增，

.\Xx)在x=a處取得極小值，符合題意；

若-2<a<0,則./)在(一2,㈤上單調(diào)遞增，

在(a,+oo)上單調(diào)遞減，從而")在》=“處取得極大值，不符合題意；

若。＞0,則Hx)在(-2,a)上單調(diào)遞減，在(。，+8)上單調(diào)遞增，從而y(x)在工=a處取得極小

值，符合題意.

12.若存在過點(diǎn)。(0,0)的直線/與曲線人》)=好-3》2+2%和y=x2+a都相切，則a的值可

以是()

A1RJ-fAD-----

八.iD.M=3264

【正確答案】AB

因?yàn)?0,0)在直線/上，當(dāng)。(0,0)為/(x)的切點(diǎn)時(shí)，

因?yàn)榘?)=2,所以直線/的方程為y=2x,

又直線I與y=x2+a相切，

所以/-2x=0滿足/=4-4a=0,得a=l;

當(dāng)。(0,0)不是人公的切點(diǎn)時(shí)，

設(shè)切點(diǎn)為(xo,x-3x+2xo)(xo#O),

則f(xo)=3x—6xo+2,

23

以

廠

所0

3X-

o=3x-6xo+2,2

1

I，所以直線/的方程為y=

4X

由」不得工2+｝+4=0,

Jf+a,4

由題意得/=看一4q=0,所以〃=言.

綜上得a—\或。=吉.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。

13.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為若2Sn=3aL2〃(“CN*),則數(shù)列｛念｝的通項(xiàng)公式為

n

【正確答案】an=3-l

令〃=1,得2QI=3QI—2,解得QI=2;

當(dāng)論2時(shí),由2Sn=3斯一2〃(〃eN*),得2s1=3如_】一2(〃一1),

兩式相減得2如=3如-3如一1-2,即詼=3如_|+2,整理得"一\=3,

數(shù)列｛念+1｝是首項(xiàng)為m+l=3,公比為3的等比數(shù)列，

nn

?\an+1=3,/.an=3—1.

14.已知函數(shù)y=；e2x+4-ln(2x+5),則該函數(shù)的圖象在x=-2處的切線的傾斜角為

【正確答案】學(xué)

因?yàn)閥=4e2x+4-ln(2x+5),

所以V=；e2x+4x(2x+4)，一擊x(2x+5丫

l2x+42——1—X2

=2eX2x+5

所以y|x=-2=l—2=-1.

設(shè)該函數(shù)的圖象在x=-2處的切線的傾斜角為小

則tana=—1,

又儀￡[0,71),所以a=苧，

所以該函數(shù)的圖象在x=-2處的切線的傾斜角為坐.

15.定義在區(qū)間(0,+8)上函數(shù)段)使不等式賀x)q/\x)<Mx)恒成立，/㈤為府)的導(dǎo)數(shù)，則

院-的取值范圍是.

【正確答案】(4,8)

令以乃二等，則g，(x)=3產(chǎn)^,

因?yàn)閃)<3/(x),則W)-3/(x)<0.

所以g'(x)<0在(0,+刃)上恒成立.

即g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

可得g(2)〈g(l),即等-v罕?.

O1

由2段)V機(jī)T)可得則海-<8,

令松尸等，則以x)=^3,

因?yàn)闀?x)>賀x),即寸(x)-〃(x)>0,

所以〃(x)>0在(0,+8)上恒成立，

即心)在(0,+8)上單調(diào)遞增.所以〃(2)>〃(1).

即年MD，即需-所以4〈崗-<8?

16.已知)，=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，負(fù)—2)=0,且當(dāng)x>0時(shí)仆)二尾⑺<0,則不等式

(X-1)兆-1)>0的解集是.

【正確答案】(—11)U(3,+oo)

由歹=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(—2)=0,得/(2)=0.

易知咚],=邁竽?,則當(dāng)x>0時(shí)，y=華是增函數(shù)，

所以當(dāng)x>2時(shí)，呼>華=0,即-)>0;

當(dāng)0<x<2時(shí)，娛孕=0,即於)<0.

A2

又/(X)是奇函數(shù)，所以當(dāng)一2〃<0時(shí)，外)>0;當(dāng)XV—2時(shí)，/)<0.

不等式(1以1)>。，即沁故屋或晨，

解得x>3或一14<1,故不等式的解集是(一1,1)U(3,+ao).

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知等差數(shù)列｛?。凉M足。2+a4=6,前7項(xiàng)的和a=28.

(1)求數(shù)列｛所｝的通項(xiàng)公式；

2n

(2)設(shè)d=,4+]|"一+]),求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和

【正確答案】解(1)設(shè)等差數(shù)列｛〃n｝的公差為"

由〃2+。4=6可知43=3,即41+24=3.

;前7項(xiàng)和$7=28,

.?.04=4,即3+3d=4,

解得m=l,d=\.

,數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為%=1+(〃—1)x1=〃.

⑵：bn=QQ+1)所+1)

2n

11

-2"1

二｛瓦｝的前n項(xiàng)和Tn=b\+b2+...+bn

18.(12分)已知函數(shù)y(x)=xlrLr-；ax2-x恰有兩個(gè)極值點(diǎn)Xi,X2(X|〈X2).

(1)求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

⑵求證：2[1一目>°;

(3)求證：備+高>2°e.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【正確答案】(1)解由題意得了(x)=lnx-ax(x>0),令/'(x)=0,

得。=竽，設(shè)g(x)=^(x>0),g<x)=上萼，故當(dāng)0*e時(shí)，

或x)>0,當(dāng)x>e時(shí)，g'(x)<0,所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+s)上單調(diào)遞減.

又g(D=0，g(e)=；,當(dāng)x>e時(shí)，式x)>0,

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為卜，；).

(2)證明由(1)得Ig—ax2=0,且X2>e,故。=若.要證211-自>“，只要證2"-蕓)>譬,

只要證2偌-白>1nx2.

設(shè)h(x)=2x—|—lnx(x>e),

則似》)=2+2=吟尸2>0,

所以〃(X)在(e,+8)上單調(diào)遞增，

故A(x)>/z(e)=2e——l>0.

因此2；］一目成立.

(3)證明由⑴得Inxi一3=0,ln%2—0X2=0,且lvxi〈evx2,故〃="：：：'二

由⑴得OVoeVl,要證明高+煮>2〃e,只要證明^+=>2Q.

%+A”需分需7號(hào)蓍=/｛祭-I

=/日一緊2吟.

設(shè)G(x)=x——21nx(0<x<l),

則G-(x)=l+A：=學(xué)％0.

所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故G(x)<G(l)=O.

結(jié)合ovqvl,所以X1-X2V0,，音一21碌<0,故有白+!一2”>0.

因此高+公2成立,所以看+熹>2也

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=2x3—3a%2-2,其中“CR.

(1)若。=1,求/(x)在［0,2］上的最大值和最小值；

(2)若x=2是函數(shù)人幻的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的值.

【正確答案】解⑴當(dāng)a=\時(shí)，")=2^-3/-2,f(x)=6x2-6x,

令/(X)=6X2-6X=0,得XI=0,X2=1,

列表:

X0(0,1)1(1.2)2

/(X)0—0+

fix}-2減-3增2

由表可知，函數(shù)Hx)在［0,2］上最大值為2,最小值為-3.

(2/(x)=6x2-6ax,因?yàn)閤=2是函數(shù)/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，

所以/(2)=0,解得a=2.

當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=6x2—12x,令/(x)=0,解得xi=0,X2=2.

列表：

X(—8,0)0(0,2)2(2.+8)

/(X)+0—0+

fix')增極大值大0)減極小值＜2)增

因此，當(dāng)a=2時(shí)，x=2是函數(shù)./)的一個(gè)極值點(diǎn).

20.(12分)已知函數(shù)/)=g+3必0(其中aGR),且4/)=*,

求：(1VU)的表達(dá)式；

(2)曲線y=/(x)在x="處的切線方程.

【正確答案】解(iy(x)=x2+3/(a),于是有/⑷=a2+"g)w(a)=一寫,

所以/(力=$3-苧X,

137

即r

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又加)=7,3/-126