不確定度測量評定方法

1參考文獻1ISO/IECGUIDE99:2007《國際計量學詞匯－基本和通用概念及相關術語》[InternationalVocabularyofMetrology－BasicandGeneralConceptsandAssociatedTerms(VIN)]——VIM-32ISO/IECGUIDE98-3:2008《測量不確定度—第3部分：測量不確定度表示指南》[Uncertaintyofmeasurement—Part3:Guidetotheexpressionofuncertaintyinmeasurement(GUM:1995)]。第一章概述一、測量誤差和測量不確定度二、測量不確定度發(fā)展簡介三、(VIM-3)中不確定度有關術語四、檢測結果符合性評價3一、測量誤差和不確定度(1)(一)測量誤差(1)

在測量不確定度概念提出之前，測量結果的質(zhì)量是用測量誤差來評價，VIM-2定義誤差為“測量結果減去被測量的真值”。真值定義為“與給定的特定量的約定定義一致的值”。量的真值只有通過完善的測量才有可能獲得，因此，真值按其本性是不確定的。所以，誤差是一個理想的概念，一般不能準確知道。4一、測量誤差和不確定度(2)(一)測量誤差(2)

理論上說，為進行測量而復現(xiàn)的量應與被測量的定義完全一致。然而，在通常情況下，定義的量是不可能實現(xiàn)的，測量是在被測量的近似量上進行的。例如，聲速定義為：聲音在N2

0.7808，O2

0.2095，Ar

0.00935及CO2

0.00035(摩爾分數(shù))成分組成的干燥空氣中，在溫度T

273.1K，和壓力p

101325Pa下的速度。5一、測量誤差和不確定度(3)(一)測量誤差(3)

在描述測量的誤差方法中，認為真值是惟一的，而實際上是未知的，由于真值不能確定，實際上用的是約定真值。其測量目的是要確定盡可能接近該單一真值的量值。由于“誤差”的存在，誤差方法認為儀器和測量并不能產(chǎn)生一單一的真值。如前所述，“誤差”分為系統(tǒng)的和隨機(偶然)的，并假定這兩類誤差總是可以被識別的。在“誤差傳遞”中，必須對它們做不同的處理，但是，沒有一種一致的規(guī)則能將它們合成而構成給定測量結果的總誤差。通常只能估計總誤差絕對值的上限，并不精確地稱之為“不確定度(uncertainty)”。6(二)測量不確定度(1)測量結果的不確定度反映了對被測量的值的認識不足。對已認識的系統(tǒng)影響進行修正后的測量結果仍然只是被測量值的估計值。因為還存在著由于隨機影響引起的不確定度和由于對系統(tǒng)影響修正不完全而引入的不確定度。不確定度表明了這樣的事實，對給定的被測量和給定的被測量的測量結果而言，存在的不是一個值，而是分散在測得量值附近的無窮多個值，這些值是與所有的觀測值、數(shù)據(jù)以及人們對物理世界的認識完全相符，并且是按不同的置信程度可以賦予被測量的。一、測量誤差和不確定度(4)7二、測量誤差和不確定度(5)(二)測量不確定度(2)VIM-2和GUN定義測量不確定度為：

表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結果相聯(lián)系的參數(shù)?！咀?】此參數(shù)可以是諸如標準偏差或其倍數(shù)，或說明了置信的水平的區(qū)間的半寬度.【注2】測量不確定度由多個分量組成。其中的一些分量可用測量列結果的統(tǒng)計分布估算，并用實驗標準偏差表征。另一些分量可用基于經(jīng)驗或其他信息的假定概率分布估算，也可用標準偏差表征。二、測量不確定度發(fā)展簡介(1)(一)測量不確定度的提出和GUM的發(fā)布(1)

1963年，原美國國家標準局(NBS)——現(xiàn)標準和技術研究院(NIST)的數(shù)理統(tǒng)計學者埃森哈特(Eisenhart)在《儀器校準系統(tǒng)精密度和準確度評定》中明確提出了測量不確定度的概念。隨后，不確定度這個術語逐漸在測量領域被廣泛應用，但不同行業(yè)以及不同國家和地區(qū)的表示方法各不相同。二、測量不確定度發(fā)展簡介(2)(一)測量不確定度的提出和GUM的發(fā)布(2)

1978年，考慮到測量不確定度的評定和表示在國際上缺乏一致性，世界計量最高權威組織——國際計量委員會(CIPM)要求國際計量局(BIPM)討論并提出如何規(guī)范測量不確定度評定的建議。1980年，BIPM準備了一個測量不確定度評定與表示的征求意見書，并分發(fā)到32個國家計量院(包括中國計量科學研究院)和5個國際組織。同年BIPM提出實驗不確定度評定建議書[INC-1(1980)]。二、測量不確定度發(fā)展簡介(3)(一)測量不確定度的提出和GUM的發(fā)布(3)

1981年，第70屆CIPM討論通過了INC-1(1980)，并發(fā)布了CIPM建議書

CI-1981。該建議書向各國推薦了測量不確定度評定和表示的原則，并要求在CIPM及其各咨詢委員會參與的國際比對和其他工作中，在給出測量結果時必須同時給出測量不確定度。二、測量不確定度發(fā)展簡介(4)(一)測量不確定度的提出和GUM的發(fā)布(4)

1986年，鑒于測量不確定度不僅用于計量領域，同時也用于一切測量領域，BIPM接著提出了不確定度表示建議書CI-1986，要求ISO(國際標準化組織)、IEC(國際電工委員會)、BIPM(國際計量局)、OIML(國際法制計量組織)、IUPAC(國際理論與應用化學聯(lián)合會)、IUPAP(國際理論與應用物理聯(lián)合會)和IFCC(國際臨床化學聯(lián)合會)7個國際組織成立專門工作組，起草測量不確定度評定指導性文件。二、測量不確定度發(fā)展簡介(5)(一)測量不確定度的提出和GUM的發(fā)布(5)

1993年，ISO第4技術咨詢工作組(TAG4)中的測量不確定度表示工作組(WG3)以7個國際組織的名義發(fā)布了《測量不確定度表示指南》(GuidetoExpressionofUncertaintyinMeasurement，1993，簡稱GUM)，1995年又作了訂正和重印。GUM的目的是強調(diào)如何給出測量不確定度評定的完整信息，并提供測量結果國際相互比較的基礎。所以，GUM對測量不確定度的術語、概念、包括不確定度合成的評定方法、測量結果及其不確定度報告的表示方法等，作出了明確的規(guī)定。二、測量不確定度發(fā)展簡介(6)(一)測量不確定度的提出和GUM的發(fā)布(6)

1993年，與GUM相呼應，為使不確定度表示的術語和概念相一致，發(fā)布了新版《國際通用計量學基本術語》(InternationalVocabularyofBasicandGeneralTermsinMetrology，1993，簡稱VIM)，國際上也稱作VIM-2。ISOIECBIPMOIMLIUPACIUPAPIFCC等7個國際組織先后于1978年、1984年聯(lián)合發(fā)布了VIM。在1993年第二版VIM-2中，對測量不確定度有關的名詞術語進行了修訂。GUM和VIM-2的發(fā)布使不同測量領域、不同國家和地區(qū)在評定和表示測量不確定度時具有相同的含義。二、測量不確定度發(fā)展簡介(7)(二)一些國際組織和國家的不確定度規(guī)范(1)

GUM發(fā)布之后，一些國家計量院和國際組織先后制定并發(fā)布了相應的測量不確定度評定的規(guī)范性指南。這些指導性文件包括：1993年，美國標準和技術研究院(NIST)發(fā)布并第一版《NIST測量結果不確定度評定和表示指南》，1994年進行了修改和補充(NISTTechnicalNote1297，1994)。二、測量不確定度發(fā)展簡介(8)(二)一些國際組織和國家的不確定度規(guī)范(2)

1995年，歐洲分析化學中心(EURACHEM)發(fā)布EURACHEMGuide即《分析化學測量不確定度評定指南》(QuantifyingUncertaintyinAnalyticalMeasurement)。1997年，EURACHEM與分析化學國際溯源性合作組織(CITAC)協(xié)商，邀請國際原子能機構(IAEA)，歐洲認可組織(EA)和美國官方分析化學家協(xié)會(AOAC)的代表(來自美、英、德、中、日和澳大利亞的專家)組成工作組，共同討論、修改EURACHEMGuide，并于2000年作為國際性指南文件(EURACHEN/CITACGuide)發(fā)布，使其成為全球分析化學測量不確定度評定指南。二、測量不確定度發(fā)展簡介(9)(二)一些國際組織和國家的不確定度規(guī)范(3)

1999年，EA發(fā)布EA-4/02《校準中測量不確定度評定》(ExpressionofUncertaintyinMeasurementincalibration)。

2003年，EA發(fā)布EA-4/16《定量檢測中測量不確定度表示指南》(EAGuidelinesontheEvaluatingtheUncertaintyinQuantitativeTesting)。二、測量不確定度發(fā)展簡介(10)(二)一些國際組織和國家的不確定度規(guī)范(4)

2002年，國際電工委員會(IEC)國際無線電干擾特別委員會(CISPR)發(fā)布CISPR16-4(Firstedition2002-05)《電磁干擾(EMC)測量中不確定度評定指南》(GuidanceonEvaluatingtheUncertaintyinElectromagneticInterferenceMeasurement)。該指南給出了EMC檢測中不確定度評定的計算公式，其附錄A提供了為確定測量設備引起的各測量不確定度分量而需要的有關數(shù)據(jù)信息，規(guī)定了測量不確定度主要來源的值的極限值。為需考慮所使用的儀器引入的不確定度對測量結果或符合性判斷結論的影響提供了指南。二、測量不確定度發(fā)展簡介(11)(三)我國的不確定度規(guī)范(1)

1996年，中國計量科學研究院制定了《測量不確定度規(guī)范》。1998年，發(fā)布JJF1001-1998《通用計量術語和定義》(其內(nèi)容在VIM的基礎上補充了法制計量有關的術語和定義)。二、測量不確定度發(fā)展簡介(12)(三)我國的不確定度規(guī)范(2)

1999年，發(fā)布JJF1059-1999《測量不確定度評定和表示》。其基本概念、評定和表示方法與GUM一致，但是沒有包括GUM中建議書INC-1980的內(nèi)容和6個不確定度評定實例。JJF1059和JJF1001構成了我國進行測量不確定度評定的基礎。2005年，參照EURACHEN/CITACGuide，發(fā)布JJF1135-2005《化學分析測量不確定度評定》。二、測量不確定度發(fā)展簡介(13)(三)我國的不確定度規(guī)范(3)

1999年以來，中國合格評定國家認可委員會(CNAS)發(fā)布了一系列測量不確定度評定規(guī)范文件或指南文件，包括CNAS-CL07《測量不確定度評估和報告通用要求》、CNAS-GL05《測量不確定度要求的實施指南》、CNAS-GL06《化學領域不確定度指南》(等同采用EURACHEN/CITACGuide)、CNAS-GL07《電磁干擾測量中不確定度的評定指南》(等同采用CISPR16-4)、CNAS-GL08《校準領域不確定度的評估指南》(等同采用EA-4/02)等。這些指南或規(guī)范文件構成了我國實驗室認可中測量不確定度評定的框架。二、測量不確定度發(fā)展簡介(14)(四)不確定度評定最新動態(tài)(1)

隨著國際上合格評定工作的發(fā)展，測量不確定度評定不僅應用于物理學、化學、實驗室醫(yī)學、生物學、工程技術測量領域，而且還應用于諸如生物化學、食品科學、司法科學和分子生物學等測量領域。因此急需對VIM-2進行修訂，以涵蓋各測量領域的名詞術語。二、測量不確定度發(fā)展簡介(15)(四)不確定度評定最新動態(tài)(2)

1997年，由起草《測量不確定度表示指南》(GUM)和《國際通用計量學基本術語》(VIM)最初版本的7個國際組織組成了計量導則聯(lián)合委員會(JCGM)，由BIPM局長擔任主席。該聯(lián)合委員會主持過ISO第4技術咨詢工作組(TAG4)的工作，最初由BIPMIECIFCCISOIUPACIUPAP和OIML的代表組成，2005年，國際實驗室認可合作組織(ILAC)作為成員參與其工作。JCGM有兩個工作組：第1工作組(JCGM/WG1)名為“測量不確定度表示工作組”，任務是推廣應用及補充完善GUM；第2工作組(JCGM/WG2)名為“VIM工作組”，任務是修訂VIM及推廣其應用。二、測量不確定度發(fā)展簡介(16)(四)不確定度評定最新動態(tài)(3)

2004年，JCGM/WG2向JCGM代表的8個組織提交了VIM第3版的初稿意見和建議，VIM-3最終稿2006年提交8個組織批準，于2007年發(fā)布，并將《國際通用計量學基本術語》更名為ISO/IECGUIDE99:2007《國際計量學詞匯－基本和通用概念及相關術語》[InternationalVocabularyofMetrology－BasicandGeneralConceptsandAssociatedTerms(VIN)]。VIM-3首次將化學和實驗室醫(yī)學測量包含進來，同時還加入了一些其他概念，諸如將涉及計量溯源性、測量不確定度、名詞屬性[一般來自“質(zhì)量管理的測量”，諸如校準(calibration)、檢定(verification)、確認(validation)、計量可比性(metrologicalcomparability)、計量兼容性(metrologicalcompatibility)]等的概念納入進來。二、測量不確定度發(fā)展簡介(17)(四)不確定度評定最新動態(tài)(4)

2008年，JCGM/WG1將1995版GUM提交給JCGM，以ISOIECBIPMOIMLIUPACIUPAPIFCC和ILAC等8個國際組織的名義發(fā)布，并命名為ISO/IECGUIDE98-3:2008《測量不確定度—第3部分：測量不確定度表示指南》[Uncertaintyofmeasurement—Part3:Guidetotheexpressionofuncertaintyinmeasurement(GUM:1995)]。三、(VIM-3)中不確定度有關術語因為測量不確定度的處理是由誤差處理方法(有時稱“傳統(tǒng)方法”或“真值方法”)演變成不確定度處理方法的，一些術語是引用VIM早期版本。因此有必要重新修訂VIM第2版，將GUM中的一些概念納入進來，使測量不確定度評定中的術語和概念相一致。此處介紹ISO/IECGUIDE99:2007《國際計量學詞匯－基本和通用概念及相關術語》中，與不確定度評定有關的至關重要的部分術語和概念。1測量誤差(measurementerror)(1)【VIM-2定義】

測量結果減去被測量的真值?！綱IM-3定義】

測得的量值減去參考量值?！咀?】測量誤差的概念在以下兩種情況均可使用：當涉及存在單個參考量值時，如果用測量不確定度可以忽略不計的測量標準進行校準，或如果約定量值是給定的，這種情況測量誤差是已知的。如果假設被測量使用唯一的真值或范圍可忽略的一組真值表征，這種情況測量誤差是未知的。【注2】測量誤差不應與產(chǎn)生的錯誤或過失相混淆。1測量誤差(measurementerror)(2)【解釋】(1)在本章“二、測量誤差和測量不確定度”中已經(jīng)指出，在誤差方法中，測量目的是要確定盡可能接近單一真值的量值。由于“誤差”的存在，誤差方法認為儀器和測量并不能產(chǎn)生真值，由于真值不能確定，實際上用的是約定真值。為了與GUM的提法相一致，VIM-3給出了誤差的新定義。定義中的“參考量值(referencequantityvalue)”是指“通常以適當小的測量不確定度而被接受的、作為與同類量的值比對基礎的量值”。參考量值可以是被測量的真值，這種情況它是未知的；也可以是約定量值，這種情況它是已知的。1測量誤差(measurementerror)(3)【解釋】(2)當涉及存在單個參考量值時，如果用測量不確定度可以忽略不計的測量標準進行校準，或如果約定量值是給定的，這種情況測量誤差是已知的。例如儀器的示值誤差。在GUM中，為了闡明測量目的而保留了真值的概念，但認為形容詞“真”是多余的。所以誤差(error)的新定義中將“約定真值”改為“約定量值”。因約定俗成，故在VIM-3還是保留了術語真值(truevalue)及其概念。2測得的量值(measuredquantityvalue)【VIM-3定義】——這是新增加的術語代表測量結果的量值?！咀?】對于示值的重復測量，每個示值可用于提供相應的測量值。用這一組獨立的測量值可計算出作為結果的量的測得值，如平均值或中位值，通常附有一個已減小了的與其相關聯(lián)的測量不確定度?！咀?】當認為代表被測量的真值范圍與測量不確定度相比較小時，測得值可以認為是實際唯一真值的估計值，通常是通過重復測量獲得的各個測得值的平均值或中位值?！咀?】當認為代表被測量的真值范圍與測量不確定度相比不太小時，被測量值通常是一組真值的平均值或中位值的估計值?！咀?】在測量不確定度表示指南(GUM)中，對于測得的量值使用的術語有“測量結果”和“被測量的值的估計”或“被測量的估計值”。3測量結果(measurementresute)(1)【VIM-2定義】

賦予被測量的量值?！綱IM-3定義】

賦予被測量的一組量值以及其它有用的有關信息?！咀?】測量結果通常包含關于一組量值的“有關信息”，一些比其它方式更能代表被測量的信息。這可以用概率密度函數(shù)（PDF）的形式表示?！咀?】測量結果通常表示為單個被測量的量值和一個測量不確定度。對于某些用途而言，如果認為測量不確定度可以忽略不計，則測量結果可以表示為單個被測量的量值。在許多領域中這是表示測量結果的常用方式?！咀?】在傳統(tǒng)文獻和VIM的以前版本中，測量結果定義為賦予被測量的量值，并根據(jù)上下文說明是指示值、未修正結果還是已修正結果。3測量結果(measurementresute)(2)【解釋】(1)根據(jù)定義，測量結果是“一組量值”，也就是說，測量結果y是一個“區(qū)間”，可表示為：y

ys

U式中，ys是測得的量值，U是測量不確定度。

在GUM中，對于測得的量值ys使用的術語有“測量結果”和“被測量的值的估計”或“被測量的估計值”。3測量結果(measurementresute)(3)【解釋】(2)

要完整地表示測量結果y，必須提供“有用的有關”信息，該定義【注1】指出可以用概率密度函數(shù)(PDF)的形式表示。理論上說，概率密度函數(shù)可以通過大量觀測或試驗求得，但在處理實際問題中，求PDF不僅十分費時費事，而且往往沒有必要。在大多數(shù)情況下，只要通過有限次數(shù)的觀測或試驗，求出相關隨機變量的某些特征值即可。對于一般應用而言，并不要求評定人員計算PDF，只需要知道PDF統(tǒng)計計算結果的三個特征參數(shù)即可：包含區(qū)間、分布特征和包含概率。包含區(qū)間是指不確定度的U大小；除特殊情況外，通常假設一組測得量值為正態(tài)分布(不計算自由度時)或t分布(計算有效自由度時)；通常情況下，取包含概率p

95%(或者取包含因子k

2)。331.測量結果是一組值，即測量結果是一個區(qū)間(稱為包含區(qū)間——這個區(qū)間用測量不確定度U表示)，通常表示為單個被測量量值ys和測量不確定度U，即y

ys

U。測量結果y

ys

U測得量值ys圖1全面表征測量結果的說明圖解2.被測量值落在這個區(qū)間內(nèi)屬于什么分布？t分布、正態(tài)分布、均勻分布，……？………3.測量值落在這個區(qū)間有多大把握(包含概率)？68％，95％，99％？“uncertainty”意思是doubt(懷疑、疑惑)ys

Uys

U通常取正態(tài)分布通常取95％或測量值ys343測量結果(measurementresute)(4)【解釋】(3)【實例】三個試驗者測量同一個被測試樣的質(zhì)量，其測量不確定度不能忽略不計，測量結果報告如下：(1)y1

100g

0.01g，U1

0.01g(2)y2

100g

0.02g，U2

0.02g(3)y3

100g

0.03g，U3

0.03g沒有給出其他有用的有關信息。這三個報告都是不完整的，人們也無法評價其測量結果的質(zhì)量。353測量結果(measurementresute)(5)【解釋】(4)【實例(續(xù))】如果三個試驗者如下報告其測量結果：

(1)y1

100g

0.01g，U1

0.01g，包含概率p1

68%(或者取包含因子k1

1)

(2)y2

100g

0.02g，U2

0.02g，包含概率p2

95%(或者取包含因子k2

2)

(3)y3

100g

0.03g，U3

0.03g，包含概率p3

99%(或者取包含因子k3

3)

則他們的報告就是完整的，人們可以判斷其測量結果的質(zhì)量是相同的

。36U1=(1u)=0.01gU2=(2u)=0.02gU3=(3u)=0.03g測得量值p68％p95％p99％假設為：正態(tài)分布100g373測量結果(measurementresute)(6)【解釋】(5)

對于某些用途而言，如果認為測量不確定度可以忽略不計，則測量結果y可以表示為單個被測量的量值ys。在許多領域中這是表示測量結果的常用方式。這就是為什么檢測實驗室在報告測量結果時，通常只需要報告測得的量值而不需要報告測量不確定度的理由。

384測量不確定度(measurementuncertainty)【VIM-3定義】根據(jù)所用到的信息，表征賦予被測量的量值的分散性，是非負的參數(shù)?！咀?】

測量不確定度包括由系統(tǒng)影響引起的分量，例如與修正量和測量標準所賦量值有關的分量以及定義的不確定度。有時對估計的系統(tǒng)影響未作修正，而是當作不確定度分量處理?！咀?】此參數(shù)可以是諸如稱為標準測量不確定度的標準偏差(或其特定的倍數(shù))，或者是說明了包含概率的區(qū)間的半寬度。【注3】測量不確定度一般由若干個分量組成。其中一些分量可以根據(jù)一系列測量的測量值的統(tǒng)計分布按測量不確定度的A類評定進行評定，并用實驗標準差表征。而另一些分量則可以根據(jù)經(jīng)驗或其它信息假設的概率密度函數(shù)按測量不確定度的B類評定進行評定，也用標準偏差表征。394測量不確定度(measurementuncertainty)【解釋】(1)VIM-3的定義刪除了“與測量結果相聯(lián)系的參數(shù)”這一限定，更加合理。在不確定度評定過程中的不確定度分量，諸如由所用的測量儀器或測量系統(tǒng)引起的測量不確定度的分量、由A類評定給出的重復性引起的不確定度分量、引用的有證標準物質(zhì)或權威機構發(fā)布的數(shù)據(jù)的不確定度分量等等，并不一定作為測量結果發(fā)布。VIM-3的定義中，將“合理地”修改為“根據(jù)所用到的信息”。定義【注1】保留了VIM-2的說明，即測量不確定度包括由系統(tǒng)影響引起的分量，例如與修正量和測量標準所賦量值有關的分量以及定義的不確定度。有時對估計的系統(tǒng)影響未作修正，而是當作不確定度分量處理。404測量不確定度(measurementuncertainty)【解釋】(2)

定義【注2】保留了VIM-2的說明。在不確定度評定中，不確定度分量的評定是對“稱為標準測量不確定度的標準偏差”的評定。不確定度以標準偏差作為其尺度，可以用一倍標準偏差表示(標準不確定度)也可以用其倍數(shù)表示(擴展不確定度)。VIM-3將“置信的水平(levelofconfidence)”修改為“包含概率(coverageprobability)”，兩者的概念是一樣的。

414測量的不確定度(measurementuncertainty)【解釋】(3)定義【注3】保留了VIM-2的說明，但對評定方法的說明更為具體。新老定義沒有本質(zhì)上的區(qū)別。新定義刪除了“與測量結果相聯(lián)系的參數(shù)”這一限定之后，增加補充了“定義的不確定度(definitionaluncertainty)”、“目標測量不確定度(targetmeasurementuncertainty)”和“儀器的測量不確定度(instrumentalmeasurementuncertainty)”等術語。

425包含區(qū)間(coverageinterval)【VIM-3定義】——這是新增加的術語

基于有用的信息，具有說明了概率的包含一組被測量的真值所在的區(qū)間?！咀?】包含區(qū)間不必以測量值為中心。（見ISO/IECGuide98-32008的補充材料1）?！咀?】不應把包含區(qū)間稱為置信區(qū)間，以避免與統(tǒng)計學概念混淆(見ISO/IECGuide98-320086.2.2)。【注3】包含因子可以由擴展測量不確定度導出（見ISO/IECGuide98-320082.3.5）。436包含概率(coverageprobability)(1)

【VIM-3定義】——這是新增加的術語

在規(guī)定的包含區(qū)間內(nèi)包含被測量的一組真值的概率?！咀?】此定義符合GUM中表述的不確定度方法。【注2】在GUM中包含概率又稱為“置信的水平(levelofconfidence)”。446包含概率(coverageprobability)(2)

【解釋】(1)該術語雖然是VIM-3新增加的術語，但是在GUM中已經(jīng)出現(xiàn)過。在處理不確定度傳播率的計算公式時，不確定度的傳統(tǒng)方法反對把先驗概率分布得到的方差(B類評定方法得到的方差)與用基于頻率分布得到的方差(A類評定方法得到的方差)合成起來，因為概率的概念被認為只適用于實質(zhì)上相同條件下能重復大量次數(shù)的事件，一個事件的概率p(0

p

1)表示該事件發(fā)生的相對頻率。

456包含概率(coverageprobability)(3)

【解釋】(2)在GUM中，將概率認為是相信程度的量度而不是事件發(fā)生的概率，亦即A類標準不確定度是由一組觀測得到的頻率分布導出的概率密度函數(shù)得到。而B類標準不確定度是由一個假定的概率密度函數(shù)得到，此函數(shù)是基于對一個事件發(fā)生的信任程度的(通常稱為先驗概率)。這兩種方法都采用了概率分析。?；谙嘈懦潭鹊母怕式忉?，并以標準偏差(標準不確定度)和不確定度傳播率作為評定和表示測量不確定度的基礎，具有三大優(yōu)點：

466包含概率(coverageprobability)(4)

【解釋】(3)

(1)所有的不確定度分量都用同樣的方法處理，并且以標準偏差作為不確定度的尺度。所以，評定不確定度時，不需要分為“系統(tǒng)”分量或“隨機”分量，使評定人員具有較強的可操作性。(2)應用不確定度傳播率，可以容易地將不同分量的標準不確定度，包括來自于另一合成標準不確定度的分量進行合成。(3)合成標準不確定度可以作為計算包含區(qū)間的基礎，不同的包含區(qū)間對應于所要求的包含概率。476包含概率(coverageprobability)(5)

【解釋】(4)鑒于上述第3個理由，建議書INC-1(1980)沒有將不確定度分為“隨機”和“系統(tǒng)”兩類。實際上，現(xiàn)在在計算測量結果的合成標準不確定度時，沒有必要對不確定度分量進行分類，因此不需要任何分類方法。盡管如此，有時簡便的標記有助于意見的交流和討論，建議書INC-1(1980)還是提出了區(qū)分不確定度“A”類和“B”類評定的兩種評定方法的分類方案。在VIM-3中，為了與傳統(tǒng)的不確定度方法相區(qū)別，定義了包含概率(coverageprobability)這一術語，其概念與GUM中的“置信的水平(levelofconfidence)”是相同的。

487測量不確定度A類評定TypeAevaluationofmeasurementuncertaintyA類評定TypeAevaluation

通過對規(guī)定測量條件下獲得的測得量值的統(tǒng)計分析評定測量不確定度分量。【注1】

各種類型的測量條件見測量的重復性條件，中間測量精密度條件和測量復現(xiàn)性條件?！咀?】

關于統(tǒng)計分析的資料可參見ISO/IECGuide98-3:2008(GUM)。【注3】A類評定也參見:ISO5725；ISO/IECGuide98-3:2008(GUM)，2.3.2；ISO13528；ISO/TS21748；ISO21749。498測量不確定度B類評定TypeBevaluationofmeasurementuncertaintyB類評定TypeBevaluation

用不同于測量不確定度A類評定的方法評定測量不確定度分量?！纠?/p>

評定依據(jù)的有關信息：

●權威機構發(fā)布的量值，

●有證參考物質(zhì)的量值，

●校準證書，

●漂移，

●經(jīng)檢定的測量儀器的準確度等級，

●人員經(jīng)驗給出的極限值。【注】B類評定定義參見ISO/IECGuide98-3:2008(GUM)，2.3.3。509標準測量不確定度standardmeasurementuncertainty

測量標準不確定度standarduncertaintyofmeasurement

標準不確定度standarduncertainty

用一倍標準偏差表示的測量不確定度。5110合成標準測量不確定度combinedstandardmeasurementuncertainty

合成標準不確定度combinedstandarduncertainty

由測量模型中各輸入量有關的標準測量不確定度獲得的標準測量不確定度?！咀ⅰ吭跍y量模型中輸入量相關的情況下，在計算合成標準不確定度時還應考慮協(xié)方差。合成標準不確定度，也見:ISO/IECGuide98-3:2008(GUM)，2.3.4。5211相對標準測量不確定度relativestandardmeasurementuncertainty

用被測量量值的絕對值除標準測量不確定度。12不確定度預估uncertaintybudget

測量不確定度的說明，包括測量不確定度的分量及它們的計算和合成?！咀ⅰ?/p>

不確定度預估應該包括測量模型、估算，以及測量模型中各個量的測量不確定度、協(xié)方差、應用的概率密度函數(shù)的類型、自由度、測量不確定度評定的類型和包含因子。53擴展測量不確定度expandedmeasurementuncertainty

擴展不確定度expandeduncertainty

合成標準不確定度與一個大于1的因子的乘積。【注1】

該因子與測量模型輸出量的概率分布類型和所選擇的包含概率有關?！咀?】

在本定義中術語“因子”是指包含因子?！咀?】

擴展不確定度在INC-1(1980)《建議書》(參見GUM）的第5節(jié)中稱為“總不確定度”，IEC文件中簡稱“不確定度”。54測量不確定度擴展不確定度Up(p為包含概率)合成標準不確定度標準不確定度B類標準不確定度U(當無需給出Up時，k=2～3)A類標準不確定度測量不確定度的結構小寫英文字母u(斜體)表示大寫英文字母U(斜體)表示標準偏差或其倍數(shù)說明了包含概率的區(qū)間半寬度5514量的真值

truequantityvalue,truevalueofquantity

與量的定義一致的量值。

【注1】

在描述測量的誤差處理方法中，認為真值是單一的，實際上是不可知的。不確定度處理方法認為，由于一個量的定義細節(jié)的固有局限性，不存在單一真值，只存在與定義一致的一組真值。還有一些方法認為，完全不需要真值的概念，而是依賴測量結果的計量學兼容性概念來評價其有效性。【注2】

對基本常量的特殊情況，可以認為量具有單一真值。【注3】

在被測量的定義不確定度與測量不確定度的其它分量相比可忽略時，可以認為被測量具有“概念上單一”的量值。這就是GUM采用的方法，而“真”字認為是多余的。

5615

測得量值measuredquantityvalue

測量值measuredvalue

代表測量結果的量值。【注1】對于示值的重復測量，每個示值可用于提供相應的測量值。用這一組獨立的測量值可計算出作為結果的量的測得值，如平均值或中位值，通常附有一個已減小了的與其相關聯(lián)的測量不確定度。【注2】當認為代表被測量的真值范圍與測量不確定度相比較小時，測得值可以認為是實際唯一真值的估計值，通常是通過重復測量獲得的各個測得值的平均值或中位值?！咀?】當認為代表被測量的真值范圍與測量不確定度相比不太小時，被測量值通常是一組真值的平均值或中位值的估計值。

【注4】在測量不確定度表示指南(GUM)中，對于測得的量值使用的術語有“測量結果”和“被測量的值的估計”或“被測量的估計值”。5716測量準確度measurementaccuracy

測量值與被測量真值之間的一致程度。

【注1】“測量準確度”這個概念不是一個量，不給出量的數(shù)值。當某測量提供較小的測量誤差時就說該測量更準確?！咀?】

術語“測量準確度”不應用于“測量正確度”，也不應將“測量精密度”用于“測量準確度”，但是測量準確度還是與這些概念有關的?！咀?】“測量準確度”有時被理解為賦予被測量的“各測量值”之間的一致程度。5817測量精密度measurementprecision

精密度precision

在規(guī)定條件下，重復測量相同或類同被測對象所得示值或測得量值之間的一致程度?！咀?】

測量精密度在數(shù)值上通常用不精密度表示，諸如規(guī)定測量條件下的標準偏差、方差或變異系數(shù)。【注2】“規(guī)定條件”可以是測量的重復性條件，期中測量精密度條件或測量復現(xiàn)性條件(參見ISO5725-5:1998)?！咀?】

測量精密度用于定義重復性，期中測量精密度或測量復現(xiàn)性?！咀?】

有時“精密度”被錯誤地用于表示測量準確度。5918重復性測量條件repeatabilityconditionofmeasurement

重復性條件repeatabilitycondition

包括相同測量程序、相同操作者、相同測量系統(tǒng)、相同工作條件和相同地點，以及在短時間內(nèi)對相同或類同被測對象重復測量的一組條件表示的測量條件?！咀?】

測量條件是重復性條件僅指相對于一組規(guī)定的重復性條件?！咀?】

在化學中，使用術語“內(nèi)在精密測量條件(intra-serialprecisionconditionofmeasurement)”表示此概念。6019復現(xiàn)性測量條件reproducibilityconditionofmeasurement

復現(xiàn)性條件reproducibilitycondition

包括不同地點、操作者、測量系統(tǒng)，以及對相同或類同被測對象重復測量的一組條件表示的測量條件。【注1】不同測量系統(tǒng)可以使用不同測量程序。【注2】在技術規(guī)范中應給出改變的和不變的條件以及改變到什么程度。6120測量重復性measurementrepeatability

重復性repeatability

一組重復性測量條件下的測量精密度。21測量復現(xiàn)性measurementreproducibility

復現(xiàn)性reproducibility

復現(xiàn)性測量條件下的測量精密度?！咀ⅰ縄SO5725-2:1998給出了相關的統(tǒng)計術語。6222自由度

degreesoffreedom

在方差計算中，和的項數(shù)減去對和的限制數(shù)?！咀?】

在重復條件下對測量作n次獨立測量時的樣本方差為

其中殘差為因此，和的項數(shù)即為殘差的個數(shù)n，而是一個約束條件，即限制數(shù)為1。由此可得自由度v＝n－1?！咀?】

當測量所得n組數(shù)據(jù)用t個未知數(shù)按最小二乘法確定經(jīng)驗模型時，自由度v＝n－t。【注3】

自由度反映相應實驗標準差的可靠程度，用于評定擴展不確定度Up時求得包含因子kp。合成標準不確定度uc(y)的自由度

eff，當y接近正態(tài)分布時，包含因子等于t分布臨界值，即kp

tp(

eff)。6327儀器測量不確定度instrumentalmeasurementuncertainty

由使用中的測量儀器或測量系統(tǒng)引起的測量不確定度分量。【注1】

儀器測量不確定度通過原級測量標準或其他方法對測量儀器或測量系統(tǒng)的校準獲得，【注2】

儀器不確定度用于測量不確定度B類評定?！咀?】

與儀器不確定度有關的信息可能會在儀器技術規(guī)范中給出。6428最大允許測量誤差maximumpermissiblemeasurementerror

最大允許誤差maximumpermissibleerror

誤差限limitoferror

由給定測量、測量儀器或測量系統(tǒng)的規(guī)范或規(guī)程所允許的，相對于已知參考量值的測量誤差的極限值?！咀?】“最大允許誤差”和“誤差限”是通常使用的兩個極限值?！咀?】

術語“允差(tolerance)”不能用于表示“最大允許誤差”。65四、

檢測結果符合性評價(1)

實驗室在測量中執(zhí)行一個規(guī)定的技術規(guī)范時，如果客戶或該規(guī)范要求做出符合性說明時，結果報告必須包含某種說明，以指出測量結果是否符合該規(guī)范。最簡單的情況是技術規(guī)范明確說明，將不確定度以給定包含概率擴展后，檢測結果ys將落在定義的規(guī)范限內(nèi)或規(guī)范限外。對這些情況，可以直接給出符合性或不符合性評價(圖2中情況1，5和6，10)。圖2中情況2，7和3，8以及4，9就不能給出符合或不符合的評價。這時應當同時報告測量值ys和擴展不確定度(U)，并聲明既不能證明符合性也不能證明不符合性。這就是通常所說的“風險共擔”(sharedrisk)

。否則，實驗室將獨立承擔風險。66上限圖2與規(guī)范中規(guī)定限量的符合性評價的各種情況

下限43127658910通常規(guī)定擴展不確定度U的置信概率p95%，包含因子k=2(測量值)可以是單次測量值或數(shù)據(jù)測量列的算術平均值四、檢測結果符合性評價(2)

國家法規(guī)可以否決“風險共擔”原則，并將不確定度引起的風險加于其中一方。如果法律要求用符合或不符合的方式聲明評價結果(這種聲明與規(guī)范的定義有關)，這時可以不考慮測量不確定度：

(1)

對于情況2，7可以聲明符合；

(2)對于情況4，9可以聲明不符合；

(3)

如果用“<”或“>”定義規(guī)范限，且測量值ys等于規(guī)范限，則情況3，8可以聲明不符合；

(4)

如果用“

”或“

”定義規(guī)范限，且測量值ys等于規(guī)范限，則情況3，8可以聲明符合。

在計量認證和審查認可中，通常就是屬于這種情況：在評價符合性時可以不考慮測量不確定度。需要特別指出，符合性判別中不考慮并不等于不要進行測量不確定度評定！

68第二章

測量不確定度

A類評定必須掌握！用于計算測量系統(tǒng)的重復性不確定度有許多分量69第一節(jié)測量誤差(1)一、測量誤差measurementerror誤差error

測得量值減參考量值?！咀?】“測量誤差”的概念可以用于以下兩種場合：

(a)

當通過一個可忽略測量不確定度的測量標準進行校準，或者被給出的一個約定量值存在單一參考量值的情況下，已知測量誤差時，以及

(b)

如果被測量被認為是用單一真值或是用很小范圍的一組真值表示時，此種情況下測量誤差是未知的。【注2】

測量誤差不應與產(chǎn)生的錯誤和過失相混淆。70第一節(jié)測量誤差(2)二、

系統(tǒng)測量誤差systematicmeasurementerror測量的系統(tǒng)誤差systematicerrorofmeasurement系統(tǒng)誤差systematicerror

在重復測量中保持恒定不變或按可預見的方式變化的測量誤差的分量?！咀?】

系統(tǒng)測量誤差的參考量值是真值，或是測量不確定度可忽略不計的測量標準的測量值，或是約定量值?！咀?】

系統(tǒng)測量誤差及其來源可以是已知的或未知的。對于已知的系統(tǒng)測量誤差可以采用修正來補償?！咀?】

系統(tǒng)誤差等于測量誤差減隨機測量誤差。

71三、系統(tǒng)誤差(1)

系統(tǒng)誤差是由恒定不變或可預見的規(guī)律變化的因素所造成，這些誤差因素是可以掌握的。

(1)測量設備的因素：體現(xiàn)為示值誤差，主要由儀器設備結構原理設計上的缺陷；儀器設備零部件制造和安裝的缺陷，諸如標尺刻度偏差、刻度盤和指針安裝偏心；使用中的老化等等。(2)環(huán)境條件因素：測量過程中溫濕度、大氣壓力按一定規(guī)律性變化。(3)測量方法因素：采用采用近似測量方法或近似的計算公式等。(4)測量人員因素：習慣偏向某一方向讀數(shù)，動態(tài)測量時，記錄某一信號有滯后傾向等。第一節(jié)測量誤差(3)72三、系統(tǒng)誤差(2)

系統(tǒng)誤差的特征是：在同一條件下，多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定規(guī)律變化。由上述特征可知，在多次重復測量同一被測量時，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或按一定函數(shù)規(guī)律變化的誤差。廣義上說，是服從某一確定規(guī)律。

第一節(jié)測量誤差(4)各種系統(tǒng)誤差

的變化a:不變系統(tǒng)誤差b:線性變化系統(tǒng)誤差c:非線性變化系統(tǒng)誤差d:周期性變化系統(tǒng)誤差e:復雜變化系統(tǒng)誤差t各種系統(tǒng)誤差曲線abcde

73三、系統(tǒng)誤差(3)

系統(tǒng)誤差是由恒定不變或可預見的規(guī)律變化的因素所造成。由于系統(tǒng)誤差及其原因不能完全獲知，因此通過修正值對系統(tǒng)誤差只能有限程度的補償。當測量結果以代數(shù)和與修正值相加之后，其系統(tǒng)誤差之模會比修正前的要小，但不可能為零。來源于影響量的已識別的效應稱為系統(tǒng)效應。由系統(tǒng)誤差的【注2】可知：參考量值可以是被測量的真值，這種情況它是未知的；也可以是約定量值或參考量值(通常是由上一級檢定/校準的測量標準提供的)，這種情況它是已知的。

第一節(jié)測量誤差(5)74第一節(jié)測量誤差(6)四、隨機測量誤差randommeasurementerror測量的隨機誤差randomerrorofmeasurement隨機誤差randomerror

在重復測量中按不可預見的方式變化的測量誤差的分量?！咀?】

隨機測量誤差的參考量值是對同一個被測量由無窮多次重復測量得到的平均值?！咀?】

一組重復測量的隨機測量誤差形成一種分布，該分布可以用期望和方差描述，其期望通?？杉僭O為零?！咀?】

隨機誤差等于測量誤差減系統(tǒng)測量誤差。

75五、隨機誤差的性質(zhì)(1)在重復條件下(或復現(xiàn)性條件下)對隨機變量X進行n次獨立測量，得到測量列x1，x2，…，xn。由于測量裝置不完善、環(huán)境條件的變化，以及人員等各方面因素的影響，每個測得量值都含有誤差。這些誤差時大時小，其出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個誤差出現(xiàn)后不能預測下一個誤差的大小和方向。但是就誤差的總體而言，都具有統(tǒng)計規(guī)律性。其取值具有一定的分布范圍，因而可以利用數(shù)理統(tǒng)計方法對其進行研究。

“抵償性”是隨機誤差統(tǒng)計特性的集中表現(xiàn)，即隨機誤差誤差有正有負，相互間具有抵消的作用。因此可以通過多次測量取平均值作為測得量值，以減小隨機誤差對測得量值的影響。第一節(jié)測量誤差(7)76五、隨機誤差的性質(zhì)(2)隨機誤差大抵來源于影響量的變化，這種變化在時間上和空間上是不可預知的或隨機的，它會引起被測量重復觀測值的變化，故稱之為“隨機效應”。

服從正態(tài)分布的隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律性，可歸納為對稱性、有界性和單峰性：(1)對稱性是指絕對值相等而符號相反的隨機誤差，出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，亦即測得量值是以其算術平均值為中心而對稱分布的。(2)有界性是指測得量值隨機誤差的絕對值不會超過一定界限，亦即不會出現(xiàn)絕對值很大的誤差。(3)單峰性是指絕對值小的隨機誤差比絕對值大的隨機誤差數(shù)目多，亦即測得量值以算術平均值為中心相對集中地分布的。第一節(jié)測量誤差(8)77六、隨機誤差的計算(1)在重復條件下(或復現(xiàn)性條件下)對隨機變量X進行n次獨立測量，得到測量列x1，x2，…，xn。一組重復測量的隨機測量誤差形成一種分布，該分布可以用期望和方差描述。

該測量列的平均值為是其最佳估計值。通常，測量數(shù)值越多，得到的“真值”的估計值就越好。理想的估計值應當用無窮多數(shù)值集來求平均值，稱為期望值，通常用希臘字母

表示。即當n

，有：第一節(jié)測量誤差(9)78六、隨機誤差的計算(2)誤差等于“測得量值減參考量值”。由隨機變量定義的【注1】可知，隨機誤差的參考量值是“是對同一個被測量由無窮多次重復測量得到的平均值”。亦即，隨機誤差的參考量值是數(shù)學期望值

。對于測量列x1，x2，…，xi，…，xn，測得量值xi的隨機誤差為：由此可知，因為期望值不能獲得，所以隨機誤差也不能獲得。

第一節(jié)測量誤差(10)79第一節(jié)測量誤差(11)七、參考量值referencequantityvalue參考值referencevalue

用作同種量的值作比對基礎的量值。【注1】

參考量值可以是被測量的真值(此種情況參考量值是未知的)，或約定量值(此種情況參考量值是已知的)。【注2】

與測量不確定度相關聯(lián)的參考量值通常參照以下方式提供：

(a)

物質(zhì)，例如有證參考物質(zhì)；

(b)

裝置，例如穩(wěn)態(tài)激光器；

(c)

參考測量程序；

(d)

測量標準的比對。80第一節(jié)測量誤差(12)測量誤差與測量不確定度的主要區(qū)別序號測量誤差測量不確定度1定義為“測得量值減參考量值”，具有正號(

)或符號(

)的量值表明測得量值偏離真值定義為“賦予被測量值的分散性，是非負的參數(shù)”，用稱作標準不確定度的標準偏差(或其倍數(shù))，或說明了包含概率的期間半寬度表示2客觀存在，不以人的認識程度而改變與人們對被測量、影響量即測量過程的認識程度有關3由于真值是不可知的，往往不能正確得到，當用參考量值或約定真值代替真值時，可以得到其估計值可以由諸如實驗、資料、經(jīng)驗等有用的信息進行評估，從而可以定量確定81第一節(jié)測量誤差(13)測量誤差與測量不確定度的主要區(qū)別(續(xù))序號測量誤差測量不確定度4按性質(zhì)進行分類，分為隨機誤差和系統(tǒng)誤差，它們都與真值有關，是需要進行無窮多次測量情況下的理想概念為了增強不確定度評定的可操作性，按照評定方法將不確定度分為A類評定方法和B類評定方法。若要對其性質(zhì)進行區(qū)分時，表述為：“由隨機效應引起的不確定度分量”，以及“由系統(tǒng)效應引起的不確定度分量”5已知系統(tǒng)誤差的估計值時，可以對測得量值進行修正，得到以修正的測得量值不能用于修正測得量值。對已修正測得量值的不確定度中，應考慮修正不完善引入的不確定度分量82第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(1)1.隨機變量的數(shù)字特征

通過多次重復測量并進行某些統(tǒng)計計算，可增加測量得到的信息量。有兩項最基本的統(tǒng)計計算：求一組數(shù)據(jù)的平均值或算術平均值（數(shù)學期望），以及求單次測量或算術平均值的標準偏差（方差）。平均值或平均讀數(shù)讀數(shù)值用“園點圖”說明一組測量值及其算術平均值

絕大部分數(shù)據(jù)集中在平均值附近數(shù)學期望由無窮多次測量獲得832.隨機變量的數(shù)學期望(1)

隨機變量X的期望記為E(X)或

，表示對該隨機變量X進行無窮多次測量所得測量值xi的算術平均值的極限值。數(shù)學期望表征隨機變量分布的中心位置，隨機變量圍繞著數(shù)學期望取值。

對于離散型隨機變量，在重復條件下(或復現(xiàn)性條件下)對隨機變量X進行n次獨立測量，得到測量列x1，x2，…，xn。則變量X的數(shù)學期望可表示為

：

上式成立的條件是該級數(shù)必須收斂，否則該變量不存在數(shù)學期望。在數(shù)理統(tǒng)計中把期望

稱為總體均值或均值。

第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(2)842.隨機變量的數(shù)學期望(2)也常將隨機變量X的期望用E(X)表示為

：

也就是說，測量值的期望是無窮多次測量給出的值xi與其相應的概率pi的乘積之和，即按概率進行加權平均的平均值。

第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(2)853.隨機變量的方差(1)

只用數(shù)學期望還不能充分描述一個隨機變量。例如對于測量而言，數(shù)學期望可用來表示被測量本身的大小，但是關于測量的可信程度或品質(zhì)高低，比如各個測得值對數(shù)學期望的分散程度，就要用特征量方差來描述?，F(xiàn)給出用兩種方法測量同一物體的實例來說明這個問題，如表2-1所示。

比較表2-1中兩種方法的隨機誤差絕對值及概率，很容易看出，在沒有系統(tǒng)效應的情況下，方法1的測量品質(zhì)比方法2要高。同時也可以看出，它們的數(shù)學期望相同，均為這意味著還需要用另一個數(shù)字特征量，即用方差來進一步描述隨機變量的分散性或離散性。

第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(3)86第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(4)表2-1兩種不同測量方法的測量品質(zhì)比較

方法1方法2測得量值xi28293031322829303132pi0.10.150.50.150.10.130.170.40.170.13

30.030.0隨機誤差絕對值012012概率0.50.30.20.40.340.26873.隨機變量的方差(2)

隨機變量X的第i個觀測值xi相對于數(shù)學期望

的隨機誤差為

i

xi

。數(shù)學期望

是無限多次測量結果的平均值。對于對稱分布的情況，處于平均值

兩側(cè)的誤差(xi

)符號相反，且相互抵消，故無限多次觀測值的誤差的平均值為零，即

故隨機誤差不能提供確定數(shù)據(jù)分布的相關信息。所以評價測量的可信程度或品質(zhì)高低沒有采用隨機誤差而是采用了方差。

第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(5)883.隨機變量的方差(3)

方差定義為：隨機變量X的每一個可能值對其數(shù)學期望的誤差的平方和的數(shù)學期望，它描述了隨機變量X的每一個可能值對其數(shù)學期望的分散程度，即離散型隨機變量的方差有如下表示方式

：

為了說明隨機變量的分散性或離散性，沒有采用對(xi

)求平均，而是采用對(xi

)2求平均，是因為取平方后再進行平均不會使正負方向的誤差相互抵消，以致不能判斷分散的程度。此外，采用平方后再平均的方法，能夠使個別較大的誤差經(jīng)過平方后在求和公式中占的比例更大，從而使方差對較大的誤差反應更加靈敏。

第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(6)894.隨機變量的標準偏差

隨機變量X的方差的的量綱是被測量量綱的平方，使用不方便。所以常用方差D(X)的正平方根

(X)來表示其分散性或離散性，稱為標準偏差。

(X)是以無窮多次測量情況下定義的，所以又稱為總體標準偏差。離散型隨機變量的標準偏差表示為：第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(7)標準偏差只有正號90第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(8)圖2-1表示了標準偏差的意義，所示的三條隨機變量分布曲線有相同的系統(tǒng)誤差，但標準偏差

不同。

小的測量數(shù)據(jù)比較集中，

大的測量數(shù)據(jù)比較分散。所以標準偏差是測量數(shù)據(jù)分散性或離散性的量度。

圖2-2是正態(tài)分布曲線。

1<

2<

3

1

2

3

圖2-1標準偏差的意義

91概率p=95.45%概率p=68.27%等于概率曲線與橫坐標圍成的面積xf(x)概率p=99.73%

2

3

2

3

圖2-2正態(tài)分布隨機變量x的取值925.算術平均值和標準偏差(1)

在相同條件下對被測量X進行無窮多次測量，可以計算出被測量的數(shù)學期望E(X)和標準偏差

(X)，通常將它們稱為被測量總體的數(shù)學期望和標準偏差。從理論上說，需要有無窮多個測量數(shù)據(jù)才能求取數(shù)學期望和標準偏差，但是在實際測量中人們只能進行有限次數(shù)的測量。這時就不能利用上述公式確切地求出E(X)和

(X)，而只能根據(jù)有限次數(shù)的測量值進行估計。由于有限次數(shù)的測量數(shù)據(jù)帶有隨機性，人們稱它為隨機樣本或簡稱樣本，它們是相對總體而言的。

第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(9)935.算術平均值和實驗標準偏差(2)

1．有限次數(shù)測量值的算術平均值及其分布

對某被測量進行一系列n次獨立的等精度測量，雖然其中任意一次測量值對它的數(shù)學期望都有一定的偏離，且偏離的大小和方向沒有規(guī)律。但是從統(tǒng)計的觀點來看，這一系列測量值的分布形狀確是完全確定的。在重復條件下或復現(xiàn)性條件下對隨機變量X進行n次獨立測量，得到測量列x1，x2，…，xn，其平均值為：測得量值減平均值稱為殘差vi：第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(10)測得量值最佳估計值945.算術平均值和實驗標準偏差(3)

(1)n次測量值算術平均值的數(shù)學期望根據(jù)隨機變量X的數(shù)學期望的定義，算術平均值的數(shù)學期望為這表明，有限次數(shù)測量值的算術平均值的數(shù)學期望就等于被測量X的總體的數(shù)學期望。

第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(11)955.算術平均值和實驗標準偏差(4)

(2)n次測量值算術平均值的方差根據(jù)隨機變量X的方差的定義，算術平均值的方差為

這表明，n次測量算術平均值的方差比被測量X的總體或單次測量值的方差小n倍，或者說n次測量值算術平均值的標準偏差比被測量X的總體或單次測量值的標準偏差小倍。平均值的標準偏差稱為平均值的實驗標準偏差，是描述大量測量的平均值的分散程度或離散程度的量。若每個平均值均由n個標準偏差

(X)的數(shù)據(jù)平均得到，則n越大，平均值的離散程度越小。這是采用統(tǒng)計平均方法減弱隨機因素影響的理論根據(jù)。

【注】第二節(jié)數(shù)理統(tǒng)計基本知識(12)96第三節(jié)貝塞爾公式(1)

本章第二節(jié)給出了無窮多次測量的方差如下