數(shù)學(xué)期望及其應(yīng)用

本科畢業(yè)論文本科生畢業(yè)論文題目:數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法與實(shí)際應(yīng)用專業(yè)代碼:070101原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明:所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下,獨(dú)立進(jìn)行研究取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,論文中不含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果,也不包含為獲得聊城大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書而使用過(guò)的材料.對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體,均已在文中以明確方式標(biāo)明.本人承擔(dān)本聲明的相應(yīng)責(zé)任.學(xué)位論文作者簽名:日期指導(dǎo)教師簽名:日期目錄1.引言 12.數(shù)學(xué)期望的定義及其性質(zhì) 22.1數(shù)學(xué)期望的定義 22.2數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì) 22.3數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法 33數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的應(yīng)用 73.1在醫(yī)學(xué)疾病普查中的應(yīng)用 73.2數(shù)學(xué)期望在體育比賽中應(yīng)用 83.3數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用 103.3.1免費(fèi)抽獎(jiǎng)問(wèn)題 103.3.2保險(xiǎn)公司獲利問(wèn)題 113.3.3決定生產(chǎn)批量問(wèn)題 113.3.4機(jī)器故障問(wèn)題 123.3.5最佳進(jìn)貨量問(wèn)題 133.3.6求職決策問(wèn)題 144結(jié)論 15參考文獻(xiàn) 16致謝 17

摘要數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值，是概率論中一項(xiàng)重要的數(shù)字特征，它代表了隨機(jī)變量總體取值的平均水平。數(shù)學(xué)期望的涉及面非常之大，廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活中的各個(gè)領(lǐng)域。在實(shí)際生活中，有許多問(wèn)題都可以直接或間接的利用數(shù)學(xué)期望來(lái)解決。其意義是運(yùn)用對(duì)實(shí)踐中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析的方法，從而達(dá)到認(rèn)識(shí)客觀世界規(guī)律的目的，為進(jìn)一步的決策分析等提供準(zhǔn)確的理論依據(jù)。本文從數(shù)學(xué)期望的內(nèi)涵出發(fā)，介紹了數(shù)學(xué)期望的定義、性質(zhì)，介紹了數(shù)學(xué)期望的幾種計(jì)算方法并舉以實(shí)例，通過(guò)數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)疾病普查、體育比賽和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用的探討。特別是在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題方面，本文又詳細(xì)分為免費(fèi)抽獎(jiǎng)問(wèn)題、保險(xiǎn)公司獲利問(wèn)題、決定生產(chǎn)批量問(wèn)題、機(jī)器故障問(wèn)題、最佳進(jìn)貨量問(wèn)題和求職決策問(wèn)題，試圖初步說(shuō)明數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的重要作用，幾個(gè)例子將數(shù)學(xué)期望與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，用具體實(shí)例說(shuō)明利用數(shù)學(xué)期望方法解決實(shí)際問(wèn)題的可行性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)期望在生活中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)期望；性質(zhì)；計(jì)算方法；應(yīng)用AbstractMathematicalexpectationorexpectations,alsoknownasaverage,isveryimportantdigitalfeaturesinthetheoryofprobability,anditrepresentstheoverallaveragevaluerandomvariables.Mathematicalexpectationisverybig,widelyappliedinallfieldsinactuallife.Inreallife,therearealotofproblemscanbedirectlyorindirectlysolvedbyusingthemathematicalexpectation.Itsmeaningistousemathematicalmodeltocarryontheanalysisofpracticeofabstractingmethod,soastoachievethepurposeofunderstandingtheobjectiveworldrule,inordertoprovideaccuratetheoreticalbasissuchasdecisionanalysis.Basedontheconnotationofmathematicalexpectation,thispaperintroducesthedefinitionandpropertiesofmathematicalexpectation,andintroducesseveralcalculationmethodsofmathematicalexpectationandwithexamples,throughthemathematicalexpectationinthemedicaldiseasecensus,sports,anddiscussedtheapplicationofeconomicproblems.Especiallyintermsofeconomy,thispaperisdividedintofreesweepstakesproblem,insurancecompanyprofits,decidedtoproductionbatchproblems,machinefailureproblem,bestcarriedoutandcoverdecisionproblem,andattemptstopreliminarilyillustratetheimportantroleofmathematicalexpectationintheactuallife,andafewexamplescombinemathematicalexpectationandactualproblem,withspecificexampleisgiventoillustratethefeasibilityofsolvingpracticalproblemswithmathematicalexpectationmethod,andembodiestheapplicationofmathematicalexpectationinlife.Keywords：Probabilityandmathematicalstatistics;Mathematicalexpectation;Properties;Calculationmethod;applicationPAGE1數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法與實(shí)際應(yīng)用1.引言知識(shí)來(lái)源于人類的實(shí)踐活動(dòng)，又反過(guò)來(lái)運(yùn)用到改造世界的實(shí)踐活動(dòng)中去，其價(jià)值也就在于此.面對(duì)當(dāng)今信息時(shí)代的要求，我們應(yīng)當(dāng)思維活躍，富于創(chuàng)新，既要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，更應(yīng)該重視對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常需要研究各種各樣的隨機(jī)變量.對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量，如果掌握了它的概率分布，當(dāng)然就可以對(duì)它進(jìn)行全面的分析，但是在實(shí)際問(wèn)題中要求出一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布往往不是一件容易事.有時(shí)甚至是不可能，而有些實(shí)際問(wèn)題我們也不一定非要掌握一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布，而只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了，因此并不需要求出它的分布函數(shù).這些特征就是隨機(jī)變量的數(shù)字特征，是隨機(jī)變量的分布所決定的常數(shù)，刻畫了隨機(jī)變量某一方面的性質(zhì)。例如比較不同班級(jí)的某次統(tǒng)考的成績(jī)，通常就是比較各班的平均分；考察某種大批量生產(chǎn)的元件的壽命往往只需知道元件的平均壽命；評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，經(jīng)?？紤]平均畝產(chǎn)量；對(duì)一射手進(jìn)行技術(shù)評(píng)定時(shí)，經(jīng)常考察射擊命中環(huán)數(shù)的平均值；檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，關(guān)心的是棉花纖維的平均長(zhǎng)度等.這個(gè)重要的數(shù)字特征就是數(shù)學(xué)期望，它是現(xiàn)實(shí)生活中“平均值”概念的推廣，在現(xiàn)實(shí)生活中有重要的作用.盛驟等人在文獻(xiàn)[1]中給我們系統(tǒng)地介紹了數(shù)學(xué)期望的定義、基本性質(zhì)等，文獻(xiàn)[2——5]中介紹了用特征函數(shù)、逐項(xiàng)微分、特殊積分等求解數(shù)學(xué)期望的方法，解法各具特色，張艷娥等在文獻(xiàn)[6]中討論了數(shù)學(xué)期望理論在疾病普查中的應(yīng)用，楊先偉在文獻(xiàn)[7]中對(duì)數(shù)學(xué)期望在體育比賽中的應(yīng)用作了研究，文獻(xiàn)[8——12]通過(guò)幾個(gè)例子研究了數(shù)學(xué)期望在某些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用，內(nèi)容包括免費(fèi)抽獎(jiǎng)問(wèn)題、保險(xiǎn)公司獲利問(wèn)題、決定生產(chǎn)批量問(wèn)題、機(jī)器故障問(wèn)題等.本文介紹了數(shù)學(xué)期望的定義、性質(zhì)及其計(jì)算方法與技巧，并從數(shù)學(xué)期望的內(nèi)涵出發(fā)，通過(guò)幾個(gè)例子將數(shù)學(xué)期望與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，用具體實(shí)例說(shuō)明利用數(shù)學(xué)期望方法解決實(shí)際問(wèn)題的可行性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)期望在生活中的廣泛應(yīng)用.2.數(shù)學(xué)期望的定義及其性質(zhì)2.1數(shù)學(xué)期望的定義擲一枚質(zhì)地均勻的骰子次，觀察每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).它是一個(gè)隨機(jī)變量，如果用、、、、、表示出現(xiàn)1、2、3、4、5、6點(diǎn)的次數(shù)，那么每次投擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均值為表示事件投擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)的頻率，由于頻率具有波動(dòng)性，因此該平均值也具有波動(dòng)性，并不能代表每次投擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均值，當(dāng)很大時(shí)，應(yīng)穩(wěn)定于，故該平均值也應(yīng)該穩(wěn)定于那么，這使得平均值是真正的每次投擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均值，他是隨機(jī)變量的可能取值與所對(duì)應(yīng)的概率乘積的總和，這是一個(gè)常數(shù)，可以用來(lái)描述隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征，稱之為的數(shù)學(xué)期望，記作.定義1若離散型隨機(jī)變量可能取值為，其分布列為，則當(dāng)<時(shí)，則稱存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望為，如果，則數(shù)學(xué)期望不存在.定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為,若積分是一個(gè)有限值，則稱積分為的數(shù)學(xué)期望，記作，即.2.2數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)設(shè)C、a、b為常數(shù)，為隨機(jī)變量，則有如下性質(zhì)：性質(zhì)1常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于本身：.證明：以離散隨機(jī)變量為例來(lái)證明，對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量可類似地證明.下同，把常數(shù)視為概率1取本身值的離散隨機(jī)變量，即得.性質(zhì)2證明：設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為=,（=1,2,…）則.性質(zhì)3.證明：.性質(zhì)4.證明：利用前三個(gè)性質(zhì)得.2.3數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法方法一：利用數(shù)學(xué)期望的定義，即定義法此法是計(jì)算數(shù)學(xué)期望最常用的一種方法.它是先通過(guò)數(shù)學(xué)手段將轉(zhuǎn)化成組合數(shù)公式、二項(xiàng)式定理或特殊級(jí)數(shù)的形式，然后求和獲解.該方法思路明確，但有時(shí)計(jì)算比較麻煩.例1設(shè)X~U(a,b),求E(X).解X的概率分布為X的數(shù)學(xué)期望為方法二：公式法對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，假如我能夠判定它服從某重點(diǎn)性分布特征（如二項(xiàng)分布，泊松分布，超幾何分布等），則我們就可以直接利用典型分布的數(shù)學(xué)期望公式來(lái)求此隨機(jī)變量的期望.二點(diǎn)分布：，則二項(xiàng)分布：，，則幾何分布：,則有泊松分布：，有超幾何分布：,有方法三：性質(zhì)法當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的分布較為復(fù)雜時(shí)，若直接求它的數(shù)學(xué)期望會(huì)很困難，我們可以通過(guò)將它轉(zhuǎn)化成比較常見的簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量之和來(lái)解決．主要是利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)來(lái)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．例2將n個(gè)球隨機(jī)地放入M個(gè)盒子中去，設(shè)每個(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望．解記，i=1,2,3，…，M,則。，所以因而所以方法四：利用逐項(xiàng)微分法這種方法是對(duì)于概率分布中含有參數(shù)的隨機(jī)變量而言的，我們可以通過(guò)逐項(xiàng)求微分的方法求解出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵步驟是對(duì)分布列的性質(zhì)兩邊關(guān)于參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，從而解出數(shù)學(xué)期望.例3設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布，求.解兩邊對(duì)p求導(dǎo)數(shù)得即方法五：利用條件數(shù)學(xué)期望公式法條件分布的數(shù)學(xué)期望稱為條件數(shù)學(xué)期望，它主要應(yīng)用于二維隨機(jī)變量.在為二維離散隨機(jī)變量場(chǎng)合下，其計(jì)算公式為：或在連續(xù)型隨機(jī)變量場(chǎng)合下，條件數(shù)學(xué)期望同樣適用，其計(jì)算公式為例4設(shè)質(zhì)量與加速度是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為，試求外力F=ma的均值.解例5設(shè)~，當(dāng)時(shí)，~，求.解由題意，于是方法六：特殊積分法連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望時(shí)，常常會(huì)用到一些特殊的求積分的性質(zhì)和方法，如奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的積分值為，還有第一換元積分等，都會(huì)給我們的計(jì)算帶來(lái)簡(jiǎn)便.例6設(shè)隨機(jī)變量,證明.證在的積分表達(dá)式中做變換，即上式右端第一個(gè)積分的被積函數(shù)為奇函數(shù)，故其積分為0，第二個(gè)積分恰為.方法七：利用特征函數(shù)特征函數(shù)的定義：設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱,，為的特征函數(shù)，設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量有密度函數(shù)，則的特征函數(shù)為根據(jù)上式，我們可以求出隨機(jī)變量分布的特征函數(shù)，然后利用特征函數(shù)的性質(zhì)：求出數(shù)學(xué)期望，即．例7設(shè)隨機(jī)變量,求.解因?yàn)殡S機(jī)變量,則X的特征函數(shù)為，其一階導(dǎo)數(shù)為則，由特征函數(shù)的性質(zhì)得3數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的應(yīng)用3.1在醫(yī)學(xué)疾病普查中的應(yīng)用醫(yī)療系統(tǒng)的檢驗(yàn)人員在實(shí)際工作中經(jīng)常遇到大量人群中普查某種疾病.如甲肝的普查就需要對(duì)某地區(qū)大量人進(jìn)行血檢.假設(shè)需要檢查個(gè)人的血，如果逐人驗(yàn)血，則共需要檢驗(yàn)次，平均每人一次.若把這個(gè)人大致分為組，每組個(gè)人，把這個(gè)人的血樣混合，首先檢驗(yàn)混合血樣，平均每人次，如果結(jié)果呈陽(yáng)性，則在逐個(gè)檢驗(yàn)，即共需+1次，平均每人需次，當(dāng)被普查人數(shù)眾多時(shí)，應(yīng)用分組檢驗(yàn)的方法能大大減少檢驗(yàn)的次數(shù).例某地區(qū)的群眾患有肝炎的概率為0.004左右，假若要對(duì)該地區(qū)5000人進(jìn)行肝炎感染的普查，問(wèn)用分組檢驗(yàn)方法是否比逐人檢驗(yàn)減少檢查次數(shù).解將這5000人分成組，每組個(gè)人，每人所需檢驗(yàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量，則的概率分布為：每人的平均所需檢驗(yàn)次數(shù)的期望為：（）=+=+1-+-=1+-易見，當(dāng)=1，2，3，4,…時(shí)，，即每人平均所需次數(shù)小于1，這比逐人檢查的次數(shù)要少.并且由數(shù)學(xué)分析的知識(shí)可知當(dāng)取16時(shí)，最小.即將5000人大致分為每組16人檢驗(yàn)即可.3.2數(shù)學(xué)期望在體育比賽中應(yīng)用隨著姚明和易建聯(lián)在NBA中取得成功，現(xiàn)在NBA比賽越來(lái)越多地受到中國(guó)人的青睞.而由于體育比賽結(jié)果的偶然性，使得大家對(duì)比賽結(jié)果的預(yù)測(cè)越來(lái)越感興趣.以2008年爵士隊(duì)和火箭隊(duì)在季后賽的第一輪相遇為例.根據(jù)規(guī)則，比賽是七場(chǎng)四勝制.現(xiàn)在我們就可以提出這樣一個(gè)問(wèn)題，假設(shè)火箭隊(duì)爵士每場(chǎng)比賽的獲勝率都為50%，那么第一輪比賽結(jié)束時(shí)兩隊(duì)所需要比賽的場(chǎng)數(shù)是多少.很容易想到，兩個(gè)隊(duì)比賽結(jié)束的前提就是其中一個(gè)對(duì)已經(jīng)獲得了4場(chǎng)比賽的勝利.所以上述問(wèn)題可能的結(jié)果又4、5、6、7場(chǎng)四種結(jié)果.我們下面應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的知識(shí)進(jìn)行預(yù)測(cè).首先，計(jì)算四種結(jié)果所對(duì)應(yīng)的概率.由于每場(chǎng)比賽雙方獲勝概率一樣，所以只需計(jì)算其中一對(duì)最后乘以二即可.以兩隊(duì)比賽結(jié)束時(shí)共賽5場(chǎng)為例，假設(shè)火箭最終勝利.即火箭第五場(chǎng)勝利，且前四場(chǎng)恰好勝3場(chǎng)，又火箭每場(chǎng)勝率為50%，應(yīng)用二項(xiàng)式定律可知，前面四場(chǎng)火箭恰好勝三場(chǎng)的概率為：；應(yīng)用概率論中的乘法公式，可知賽五場(chǎng)而火箭獲勝的概率為：；所以，第一輪比賽恰好賽五場(chǎng)結(jié)束的概率為：.類似的方法，我們可以將另外三個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)的概率算出.結(jié)束時(shí)賽四場(chǎng)的概率為=0.125；賽六場(chǎng)的概率為：；賽七場(chǎng)的概率為：.設(shè)隨機(jī)變量為比賽場(chǎng)數(shù)，則可建立的分布律：45670.1250.250.31250.3125應(yīng)用數(shù)學(xué)期望公式，計(jì)算的數(shù)學(xué)期望：所以，火箭和爵士季后賽第一輪比賽結(jié)束估計(jì)要賽六場(chǎng).眾所周知，乒乓球是我們得的國(guó)球，中國(guó)隊(duì)在這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中具有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì).現(xiàn)就乒乓球比賽的安排提出一個(gè)問(wèn)題：假設(shè)韓國(guó)隊(duì)和中國(guó)隊(duì)比賽，賽制有兩種，一種是雙方各出3人，三場(chǎng)兩勝制，一種是雙方各出5人，五場(chǎng)三勝制，哪一種賽制對(duì)中國(guó)隊(duì)更有利？由于中國(guó)隊(duì)在這項(xiàng)比賽中的優(yōu)勢(shì)，我們不妨設(shè)中國(guó)隊(duì)每一位隊(duì)員對(duì)韓國(guó)隊(duì)員的勝率都為60%.根據(jù)前面的分析，下面我們只需比較兩隊(duì)的數(shù)學(xué)期望即可.在五場(chǎng)三勝制中，中國(guó)隊(duì)要取得勝利，獲勝的場(chǎng)數(shù)有3、4、5三種結(jié)果.我們計(jì)算三種結(jié)果所對(duì)應(yīng)的概率、應(yīng)用二項(xiàng)式定律可知，恰好獲得三場(chǎng)勝利對(duì)應(yīng)的概率：；恰好獲得四場(chǎng)對(duì)應(yīng)的概率：；五場(chǎng)全勝得概率：.設(shè)隨機(jī)變量X為該賽制下中國(guó)隊(duì)在比賽中獲勝的場(chǎng)數(shù)，則可建立X的分布律：3450.34650.25920.07776計(jì)算隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：在三場(chǎng)兩勝制中，中國(guó)隊(duì)取得勝利，獲勝的場(chǎng)數(shù)有2、3兩種結(jié)果.勝兩場(chǎng)對(duì)應(yīng)的概率為；三場(chǎng)全勝的概率為.設(shè)隨機(jī)變量Y為該賽制下中國(guó)隊(duì)在比賽中獲勝的場(chǎng)數(shù)，則可建立Y的分布律230.4320.216（）=20.432+30.216=1.152比較兩個(gè)期望值，（）>(),所以我們可以得出結(jié)論，五場(chǎng)三勝制對(duì)中國(guó)隊(duì)更有利.3.3數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用3.3.1免費(fèi)抽獎(jiǎng)問(wèn)題袋中裝有大小相同的球20個(gè)，10個(gè)10分，10個(gè)5分，從中摸出10個(gè)球，摸出的10個(gè)球分?jǐn)?shù)之和即為中獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)，獲獎(jiǎng)如下：一等獎(jiǎng)：100分，家電一件，價(jià)值2500元二等獎(jiǎng)：50分，家電一件，價(jià)值1000元三等獎(jiǎng)：95分，洗發(fā)精8瓶，價(jià)值176元四等獎(jiǎng)：55分，洗發(fā)精2瓶，價(jià)值88元五等獎(jiǎng)：60分，洗發(fā)精2瓶，價(jià)值44元六等獎(jiǎng)：65分，牙膏一盒，價(jià)值8元七等獎(jiǎng)：70分，洗衣粉一袋，價(jià)值5元八等獎(jiǎng)：85分，香皂一塊，價(jià)值3元九等獎(jiǎng)：90分，毛巾一條，價(jià)值2元十等獎(jiǎng)：75分與80分為優(yōu)惠獎(jiǎng)，僅收成本22元，你將得到洗發(fā)精一瓶.在解答該問(wèn)題時(shí)，表面上看整個(gè)活動(dòng)對(duì)顧客有利，一等獎(jiǎng)到9等獎(jiǎng)是白得的，只有十等獎(jiǎng)收費(fèi)，但也僅收回成本.事實(shí)上，我們用概率只是來(lái)分析一下：摸出10個(gè)球的分值只有11種情況，用表示摸獎(jiǎng)?wù)攉@得的獎(jiǎng)勵(lì)金額數(shù)，一等獎(jiǎng)即得分100分，對(duì)應(yīng)事件（=2500），該事件的概率服從超幾何分布，，取值分別為2500、1000、176、88、44、8、5、3、2、-22，其概率可以類似求出如下表：用的平均值就可以看出獲利者，求出數(shù)學(xué)期望即可.250010001768844（）0.0000050.0000050.0005410.0005410.010968532-22（=）0.0779410.2386930.0779410.010960.582411，表明商家在平均一次的抽獎(jiǎng)中，獲得10.098元錢.而平均每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)邔⒒?0.098元錢來(lái)享受這種免費(fèi)抽獎(jiǎng)，卻沒有機(jī)會(huì)獲得大獎(jiǎng).3.3.2保險(xiǎn)公司獲利問(wèn)題一年中一個(gè)家庭萬(wàn)元被盜的概率是0.01，保險(xiǎn)公司開辦一年期萬(wàn)元以上家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，參加者需要繳納保險(xiǎn)費(fèi)100元，若在一年內(nèi)，萬(wàn)元以上財(cái)產(chǎn)被盜，保險(xiǎn)公司賠償元（<100），試問(wèn)如何確定，才能使保險(xiǎn)公司期望獲利？解只考慮保險(xiǎn)公司對(duì)任意一家參保家庭的獲利情況，設(shè)表示保險(xiǎn)公司對(duì)任一參保家庭的收益，則的取值為100或100-，其分布列為：100100-0.990.01根據(jù)題意，（）=1000.99+（100-）0.01=100-0.01>0解得<10000，又>100，所以（100，10000）時(shí)保險(xiǎn)公司才能期望獲利.3.3.3決定生產(chǎn)批量問(wèn)題決定生產(chǎn)批量問(wèn)題是風(fēng)險(xiǎn)型經(jīng)濟(jì)決策問(wèn)題.這種經(jīng)濟(jì)決策問(wèn)題是物流企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)決策經(jīng)常遇到的.選擇何種方案，多少產(chǎn)量直接關(guān)系到企業(yè)成本的控制，收益的高低，這些問(wèn)題都是關(guān)系到企業(yè)管理和運(yùn)營(yíng)的重大問(wèn)題，同時(shí)也困擾很多管理者.簡(jiǎn)易可行的解決方法就是利用期望收益最大的原則進(jìn)行方案選擇：即進(jìn)行備選方案的收益(或損失)比較，選擇收益(或損失)最大(最小)的方案.例某工廠決定今后5年內(nèi)生產(chǎn)某電子產(chǎn)品的生產(chǎn)批量，以便及早做好生產(chǎn)前的各項(xiàng)準(zhǔn)備工作，根據(jù)以往銷售統(tǒng)計(jì)資料及市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)知：未來(lái)市場(chǎng)出現(xiàn)銷路好、銷路一般、銷路差三種狀態(tài)的概率分別為0.3、0.5和0.2，若按大、中、小三種不同生產(chǎn)批量投產(chǎn)，今后5年不同銷售狀態(tài)下的益損值如下所示：狀狀態(tài)概率益損方案銷路好銷路一般銷路差0.30.50.2大批量益損2014-2中批量益損121712小批量益損81010試做出分析，以確定最佳生產(chǎn)批量.解比較期望益損法是常用的決策方法之一，下面算出每一方案的期望益損：比和均大，所以認(rèn)為選擇中批量生產(chǎn)方案為優(yōu).3.3.4機(jī)器故障問(wèn)題一部機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率是0.2，機(jī)器發(fā)生故障則全天停工，如果一周5個(gè)工作日均無(wú)故障，工廠可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元，發(fā)生一次故障可獲利5萬(wàn)元，發(fā)生三次或三次以上的故障，則要虧損2萬(wàn)元，求這個(gè)工廠每周的期望利潤(rùn).解以表示一周內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，則是=5時(shí)的二項(xiàng)分布（5，0.2），（=0，1，2，3，4，5），以表示工廠一周內(nèi)所獲得利潤(rùn)，則的概率分布為：1050-20.3280.4100.2050.057故工廠一周的期望利潤(rùn)是5.216萬(wàn)元.3.3.5最佳進(jìn)貨量問(wèn)題設(shè)某一超市經(jīng)銷的某種商品，每周的需求量在10至30范圍內(nèi)等可能取值，該商品的進(jìn)貨量也在10至30范圍內(nèi)等可能取值（每周只在周前進(jìn)一次貨）超市每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，可從外單位調(diào)撥，此時(shí)一單位商品可獲利300元.試測(cè)算進(jìn)貨量多少時(shí)，超市可獲得最佳利潤(rùn)？并求出最大利潤(rùn)的期望值.分析：由于該商品的需求量（銷售量）是一個(gè)隨機(jī)變量，它在區(qū)間上均勻分布，而銷售該商品的利潤(rùn)值也是隨機(jī)變量，它是的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量的函數(shù).本問(wèn)題涉及的最佳利潤(rùn)只能是利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望即平均利潤(rùn)的最大值.因此，本問(wèn)題的解算過(guò)程是先確定與的函數(shù)關(guān)系，再求出的期望.最后利用極值法求出的極大值點(diǎn)及最大值.先假設(shè)每周的進(jìn)貨量為，則利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望為：的最大值元由計(jì)算結(jié)果可知，周最佳進(jìn)貨量為23.33（單位），最大利潤(rùn)的期望值為9333.3元.3.3.6求職決策問(wèn)題有三家公司為大學(xué)畢業(yè)生甲提供應(yīng)聘機(jī)會(huì)，按面試的時(shí)間順序，這三家公司分別記為、、，每家公司都可提供極好、好和一般三種職位.每家公司根據(jù)面試情況決定給求職者何種職位或拒絕提供職位.按規(guī)定，雙方在面試后要立即做出決定提供，接受或拒絕某種職位，且不許毀約.咨詢專家在為甲的學(xué)業(yè)成績(jī)和綜合素質(zhì)進(jìn)行評(píng)估后，認(rèn)為甲獲得極好、好和一般的可能性依次為0.2、0.3和0.4.三家公司的工資承諾如表：公司極好好一般350030002200390029502500400030002500如果甲把工資作為首選條件，那么甲在各公司面試時(shí)，對(duì)該公司提供的各種職位應(yīng)作何種選擇？分析：由于面試從公司開始，甲在選擇公司三種職位是必須考慮后面、公司提供的工資待遇，同樣在公司面試后，也必須考慮公司的待遇.因此我們先從公司開始討論.由于公司工資期望值為：再考慮公司，由于公司一般職位工資只有2500，低于公司的平均工資，因此甲在面對(duì)公司時(shí)，只接受極好和好兩種職位，否則去公司.如此決策時(shí)加工資的期望值為：元最后考慮公司，公司只有極好職位工資超過(guò)3015，因此甲只接受公司的極好職位.否則去公司.甲的整體決策應(yīng)該如此：先去公司應(yīng)聘，若公司提供極好職位就接受之.否則去公司，若公司提供極好或好的職位就接受之，否則去公司應(yīng)聘任意一種職位.在這一決策下，甲工資的期望值為：元4結(jié)論本文重點(diǎn)討論了幾種簡(jiǎn)化計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法和技巧，解法各具特色,但不是全部，除了上述一些求期望的方法外，還有“利用重期望公式法”，“利用α函數(shù)或β函數(shù)法”，“待定系數(shù)法”，“利用母函數(shù)法”，“利用分布的對(duì)稱性”等，應(yīng)該根據(jù)具體情況選擇相應(yīng)的方法，應(yīng)靈活應(yīng)用.然而，只要對(duì)數(shù)學(xué)期望的基本定義和隨機(jī)變量分布形式的特點(diǎn)有了透徹的理解，那么，對(duì)各種簡(jiǎn)化計(jì)算方法和技巧的應(yīng)用就會(huì)游韌有余了.本文利用數(shù)學(xué)期望解決了生活中的一些問(wèn)題，比如疾病普查問(wèn)題、抽獎(jiǎng)問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)決策問(wèn)題、生產(chǎn)