高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2測評第一章3反證法

第一章DIYIZHANG推理與證明§3反證法課后篇鞏固提升A組1.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是()A.a+b>1 B.a+b=2C.ab>1 D.a+b>2解析對于A,若a=12,b=23,則a+b>1,因此A對于B,若a=b=1,則a+b=2,故B推不出;對于C,若a=2,b=3,則ab>1,故C推不出;對于D,a+b>2,滿足“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件,利用反證法:若a≤1,b≤1,則a+b≤2與已知a+b>2矛盾,因此假設(shè)不正確,故原結(jié)論正確.故選D.答案D2.“已知:在△ABC中,AB=AC,求證:∠B<90°”.下面寫出了用反證法證明這個(gè)命題過程中的四個(gè)推理步驟:(1)所以∠A+∠B+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾;(2)所以∠B<90°;(3)假設(shè)∠B≥90°;(4)由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是()A.(1)(2)(3)(4) B.(4)(3)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2) D.(3)(4)(2)(1)解析根據(jù)反證法證題的步驟可知選C.答案C3.應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中,可以作為條件使用的是()①結(jié)論的反設(shè);②已知條件;③定義、公理、定理等;④原結(jié)論.A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④解析考查反證法的基本思想.答案C4.若△ABC能被一條直線分成兩個(gè)與自身相似的三角形,則這個(gè)三角形的形狀是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不能確定解析分△ABC的直線只能過一個(gè)頂點(diǎn),且與對邊相交,如直線AD(點(diǎn)D在BC上),則∠ADB+∠ADC=π.若∠ADB為鈍角,則∠ADC為銳角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD與△ACD不可能相似,與已知不符,只有當(dāng)∠ADB=∠ADC=∠BAC=π2時(shí),才符合題意答案B5.設(shè)x,y∈R,用反證法證明命題“如果x2+y2<4,那么|x|<2且|y|<2”時(shí),應(yīng)先假設(shè)“”.

答案|x|≥2或|y|≥26.有下列敘述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”;④“三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形的內(nèi)角中沒有鈍角”,其中正確的敘述有(填序號(hào)即可).

解析①錯(cuò),應(yīng)為a≤b;②對;③錯(cuò),應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上;④錯(cuò),應(yīng)為三角形的內(nèi)角中有兩個(gè)或三個(gè)鈍角.答案②7.若△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則△A1B1C1為三角形,△A2B2C2為三角形(填“銳角”或“鈍角”).

解析由△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,可知△A1B1C1為銳角三角形.則由題意,知△A2B2C2為銳角三角形或鈍角三角形.假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形,由sin∴A2+B2+C2=π2與A2+B2+C2=π矛盾∴△A2B2C2是鈍角三角形.答案銳角鈍角8.證明對于直線l:y=kx+1,不存在這樣的實(shí)數(shù)k,使得l與雙曲線C:3x2y2=1的交點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=ax(a為常數(shù))對稱.證明假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=ax對稱,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有(1)直線l:y=kx+1與直線y=ax垂直;(2)點(diǎn)A,B在直線l:y=kx+1上;(3)線段AB的中點(diǎn)x1+x2所以ka由②③,得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2.④由y=kx+1,y2=3x2-1,因此x1+x2=2k3-k2,將其代入④這與①矛盾,所以假設(shè)不成立.因此不存在實(shí)數(shù)k,使得點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=ax對稱.B組1.設(shè)a,b,c都是正數(shù),則三個(gè)數(shù)a+1b,b+1c,c+1aA.都大于2 B.至少有一個(gè)大于2C.至少有一個(gè)不大于2 D.至少有一個(gè)不小于2解析假設(shè)a+1b<2,b+1c<2,c+1a<2,則a+b+c+1a+1b+1c<6.∵a,b,c都是正數(shù),∴a+1a≥2,b+1b≥2,c+1c≥2.∴a+b+c+1a+1答案D2.下列說法不正確的是()A.命題:“x,y∈R,若|x1|+|y1|=0,則x=y=1”,用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)x≠1或y≠1B.三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度C.若1,x,y,z,4成等比數(shù)列,則y=±2D.命題:“?m∈[0,1],使得x+1x<2m”的否定形式是:“?m∈[0,1],總有x+1x≥2解析對于A選項(xiàng),反證法假設(shè)時(shí),假設(shè)“x≠1或y≠1”,故A選項(xiàng)說法正確;對于B選項(xiàng),假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度,則內(nèi)角和大于180度,故假設(shè)不成立,故B選項(xiàng)說法正確;對于C選項(xiàng),假設(shè)等比數(shù)列公比為q(q≠0),則y=(1)·q2<0,所以C選項(xiàng)說法錯(cuò)誤;對于D選項(xiàng),根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題的知識(shí)可知D選項(xiàng)說法正確.綜上所述,故選C.答案C3.定義方程f(x)=f'(x)的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)g(x)=x與h(x)=ln(x+1)的“新駐點(diǎn)”分別為α,β,那么α和β的大小關(guān)系是.

解析由題可得g'(x)=1,h'(x)=1x+1,所以α=1,ln(β+1)=1β+1,假設(shè)β≥α=1,則β+1≥2,則所以0<ln(β+1)≤12=lne,∴1<β+1≤e<∴0<β<1與β≥1矛盾,故α>β.答案α>β4.已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù),求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)24ac≤0,且Δ2=(2c)24ab≤0,且Δ3=(2a)24bc≤0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a24ac4ab4bc≤0,∴2a2+2b2+2c22ab2bc2ac≤0.∴(ab)2+(bc)2+(ac)2≤0.∴a=b=c.這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此,假設(shè)不成立.故由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).5.用反證法證明:鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長的一半.解已知:在△ABC中,∠BAC>90°,D是BC的中點(diǎn),求證:AD<12BC證明如下:假設(shè)AD≥12BC(1)若AD=12BC,由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長的一半,則這條邊所對的角為直角”知∠BAC=90°,與題設(shè)矛盾,所以AD≠12(2)若