2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（七省新高考卷02）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（七省新高考卷02）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗∵，∴，則，∴.故選：B2．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算從而求解.〖解析〗由題意知：，則，所以：.故A項(xiàng)正確.故選：A.3．過拋物線的焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，則拋物線頂點(diǎn)到該直線的距離為（

）A． B． C． D．1〖答案〗A〖解析〗拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，其頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是，由直線的傾斜角得其斜率是，所以直線的方程是，則拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離為.故選：.4．某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(105,σ2)（σ>0），試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為（）A．150 B．200C．300 D．400〖答案〗C〖解析〗此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)诜值椒种g得人數(shù)約為.故選:C.5．光岳樓，又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，在《中國名樓》站臺(tái)票紀(jì)念冊(cè)中，光岳樓與鸛雀樓、黃鶴樓、岳陽樓、太白樓、滕王閣、蓬萊閣、鎮(zhèn)海樓、甲秀樓、大觀樓共同組成中國十大名樓.其墩臺(tái)為磚石砌成的正四棱臺(tái)，如圖所示，光岳樓的墩臺(tái)上底面正方形的邊長(zhǎng)約為32m，下底面正方形的邊長(zhǎng)約為34.5m，高的4倍比上底面的邊長(zhǎng)長(zhǎng)4m，則光岳樓墩臺(tái)的體積約為（

）

A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題意，設(shè)光岳樓墩臺(tái)的高為h，則，所以光岳樓墩臺(tái)的體積約為.故選：B.6．《紅海行動(dòng)》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長(zhǎng)要求隊(duì)員們依次完成六項(xiàng)任務(wù)，并對(duì)任務(wù)的順序提出了如下要求：重點(diǎn)任務(wù)B必須排在前三位，且任務(wù)A、D必須排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)的不同安排方案共有(

)A．240種 B．188種 C．156種 D．120種〖答案〗D〖解析〗若任務(wù)B排在首位，則將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個(gè)整體和剩下的3個(gè)任務(wù)全排列即可，此時(shí)共有種方案；若任務(wù)B排在第2位，則第1位可排除A、D外的3項(xiàng)任務(wù)中的任意一項(xiàng)，有3種排法；將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個(gè)整體和剩下的2個(gè)任務(wù)全排列即可，此時(shí)共有種方案；若任務(wù)B排在第3位，則將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個(gè)整體有3個(gè)位置可排，再將剩下的3個(gè)任務(wù)全排列安排在剩下的3個(gè)位置即可，此時(shí)共有種方案；故總共有48+36+36=120種方案．故選：D．7．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗；；；故.故選：C.8．已知的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，則方程的所有的根之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且是奇函?shù)，所以，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，且，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以方程的所有的根之和即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和，和的圖象，如圖所示：

由圖象知：和的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，另外四個(gè)，兩兩分別關(guān)于對(duì)稱，所以5個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9．PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，下圖是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(單位：)的折線圖，則下列關(guān)于這10天中PM2.5日均值的說法正確的是A．眾數(shù)為30B．中位數(shù)是31C．平均數(shù)小于中位數(shù)D．后4天的方差小于前4天的方差〖答案〗AD〖解析〗眾數(shù)即是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，由折線圖可得，眾數(shù)為30，即A正確；中位數(shù)即是處在中間位置的數(shù)字，將折線圖中數(shù)字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126；處在中間位置的數(shù)字是：31，32，因此中位數(shù)為，即B錯(cuò)；由折線圖可得，平均數(shù)為：，故C錯(cuò)；前4天的平均數(shù)為：，后4天的平均數(shù)為前4天方差為：，后4天方差為：，所以后4天的方差小于前4天的方差，故D正確.故選：AD.10．已知圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則m的可能的值為（）A． B． C． D．〖答案〗ACD〖解析〗由題知，圓與圓相交，所以，，即，解得，即的值可以為：或或.故選：ACD.11．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則下列遞推關(guān)系中能使存在最大值的有（

）A． B．C． D．〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，由，，可得，，當(dāng)為正奇數(shù)且趨近于無窮大時(shí)，也趨近于正無窮大，故不存在最大值，故A不正確；對(duì)于B，由，得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故B正確；對(duì)于C，由，，得，，，，又，遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，故C正確；對(duì)于D，由，，得，，，，所以數(shù)列的周期為，故不存在最大值，故D不正確.故選：BC12．正方體中，M是正方形的中心，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A．；B．直線與直線所成角的余弦值為；C．不存在點(diǎn)P使得平面；D．三棱錐的體積為定值．〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為.A選項(xiàng)，在三角形中，，是的中點(diǎn)，所以，所以A正確.B選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，

所以是異面直線與直線所成角（或其補(bǔ)角），在三角形中，，所以，所以異面直線與直線所成角的余弦值為，B正確.C選項(xiàng)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，同理可證得平面，由于平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，所以平面.即存在點(diǎn)P使得平面，C不正確.D選項(xiàng)，，其中和為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13．若，，且，則與的夾角為；〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，，所以，.又，所以.故〖答案〗為：.14．雙曲線的一條漸近線與直線平行，則它的離心率為．〖答案〗.〖解析〗因?yàn)闈u近線與直線平行，故可得，根據(jù)雙曲線離心率的計(jì)算公式可得：.故〖答案〗為：.15．記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，（，）所以最小正周期，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；故〖答案〗為：16．若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則.〖答案〗〖解析〗，，切線斜率，切線方程可記為：或，，，則，易得，，.故〖答案〗為：.三、解答題17．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.(1)求角的大??；(2)若，求的最小值.解：(1)由題意知，原式可化為，即.整理可得：，即.又因?yàn)?，則，所以，故.(2)因?yàn)?，所以，由余弦定理和基本不等式可得：，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的最小值為.18．已知等比數(shù)列，等差數(shù)列的公差，且，，，．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列對(duì)任意，均有成立，求的通項(xiàng)公式．解：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，，，，所以，即，解得，或（舍去），所以.所以，，所以，，所以．(2)由題意，，①，②②①得，所以，所以.當(dāng)時(shí)，由可得不滿足上式.所以．19．如圖，已知四邊形與均為直角梯形，平面平面EFAD，，，為的中點(diǎn)，.

(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明：取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以且.又因?yàn)?，且，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以?所以，，所以，，，四點(diǎn)共面.(2)解：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，所以平?如圖，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，所以，令，得，所?設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，得，，所?設(shè)平面與平面夾角為，所以.20．紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對(duì)柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）附：回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)（）5215177137142781.33.6(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價(jià)格不變，無蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費(fèi)用）為目標(biāo)，請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說明理由.方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬；方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費(fèi)用是10萬；方案3：不采取防蟲害措施.解：(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.(2)將兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得，由題中的數(shù)據(jù)可得，，，所以，則，所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，故y關(guān)于x的回歸方程為；(3)用，和分別表示選擇三種方案的收益.采用第1種方案，無論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬，即采用第2種方案，不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害，收益為萬，如果發(fā)生，則收益為萬，即，同樣，采用第3種方案，有所以，，，.顯然，最大，所以選擇方案1最佳.21．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上異于，的一點(diǎn)，且直線，的斜率之積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線過右焦點(diǎn)與橢圓交于，兩點(diǎn)（，與不重合），不與軸垂直，若，求.解：(1)設(shè)，由題意知：，，，，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)根據(jù)題意，設(shè)，，直線，由，消去并整理得：，則，即，，，，，又，由，得：，解得：，，，故.22．已知函數(shù)．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：(1)當(dāng)時(shí)，，，則，設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，，