湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，所以.故選：C.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗命題“”的否定是“”.故選：D.3.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗為R上單調(diào)遞減函數(shù)，由，可得，為上單調(diào)遞增函數(shù)，由，可得，則由“”可以得到“”，由“”不能得到“”，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為R，，即是奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時，，則，選項B不滿足，D滿足.故選：D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線上，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗顯然點都在直線上，由正切函數(shù)定義得，所以.故選：B.6.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，由，得，則，于是，解得，所以.故選：C.7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由于，故，，，又，故的大小關(guān)系為.故選：A.8.已知正實數(shù)滿足：，，則的值是（）A. B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由兩邊取對數(shù)可得：，即，由可得：，即，構(gòu)造函數(shù)，由和等價于和，即，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以等價于，故.故選：C.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.）9已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對A：因為，當(dāng)時，，故A錯誤；對B：因為，所以，即，故B正確；對C：不妨設(shè)，，所以，故C錯誤；對D：因為，所以，所以，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的定義域為C.函數(shù)的圖象的對稱中心為D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，函數(shù)的最小正周期為，A正確；對于B，由，得，所以函數(shù)的定義域為，B正確；對于C，由，得，所以函數(shù)的對稱中心為，C錯誤；對于D，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確.故選：ABD.11.鎮(zhèn)江五峰山長江大橋是世界首座千米級公鐵兩用懸索橋，其兩個主塔之間的懸索可近似看作一條“懸鏈線”，“懸鏈線”的函數(shù)〖解析〗式為，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)為，則（）A.雙曲正切函數(shù)是偶函數(shù)B.C.D.若時，恒成立，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由題意，令，其定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，，C正確；對于D，由題意，因為，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，即當(dāng)時，，因為當(dāng)時，恒成立，所以，D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，當(dāng)時，，則（）A.B.C.在上單調(diào)遞減D.方程恰有10個解〖答案〗AC〖解析〗由直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，得，由函數(shù)是上的奇函數(shù)，得，則，即，，函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4，A正確；當(dāng)時，，則，B錯誤；顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，又的圖象關(guān)于直線對稱，則在上單調(diào)遞減，C正確；方程的根，即函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)與函數(shù)的圖象共有9個交點，所以方程恰有9個解，D錯誤.故選：AC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.__________.〖答案〗6〖解析〗.故〖答案〗為：6.14.函數(shù)滿足，請寫出一個符合題意的函數(shù)的〖解析〗式____________________.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗取，則，滿足題意.故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一).15.酒駕新規(guī)來了，2024年3月1日起實施，新國標(biāo)將酒駕的上限從降低到了，也就是說，只要駕駛員血液中酒精含量超過了，就屬于違法行為.某人飲酒后，體內(nèi)血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量會以每小時的速度減少，則按照新規(guī)他至少經(jīng)過__________小時后才能開車.（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗7〖解析〗設(shè)他至少經(jīng)過x小時后才能開車，則，即，故（小時），即他至少經(jīng)過7小時后才能開車.故〖答案〗為：7.16.已知函數(shù)，若?，則__________，的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，由題意知，即，故，則，則，當(dāng)時，，此時的解均為，不滿足?，故；故要使得?，需滿足有解，且顯然其解不是0和n，()，故，解或，結(jié)合，可得或，故，即的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，則或，當(dāng)時，，所以.（2）若時，則，當(dāng)時，則①，解得；當(dāng)時，則②，解得，綜上所述：的取值范圍是.18.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）解關(guān)于的不等式.解：（1）由題意，因為為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，，定義域為，關(guān)于原點對稱，顯然成立，故為偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，，此時的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故不是偶函數(shù)，不符合題意，故函數(shù).（2）因為，則不等式等價于，即，當(dāng)時，有，不等式的解集為；當(dāng)時，有，不等式的解集為；當(dāng)時，有，不等式的解集為，綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.19.已知函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上的值域為.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）令函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.解：（1）當(dāng)時，，則，所以，由題意，解得故.（2）函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞增且，所以有，得，即當(dāng)時，此時單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.20.已知，函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（2）對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），令，解得，則的定義域為，關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，，所以為偶函數(shù)，任取，且，則因為，所以，則，，又因為，則，所以，所以在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）不等式等價于，由（1）得，當(dāng)時，在時取得最大值0，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值2，所以當(dāng)時，取得最大值，所以實數(shù)的取值范圍為.21.隨著全球?qū)Νh(huán)保和可持續(xù)發(fā)展的日益重視，電動汽車逐步成為人們購車的熱門選擇.有關(guān)部門在高速公路上對某型號電動汽車進(jìn)行測試，得到了該電動汽車每小時耗電量單位：與速度單位：的數(shù)據(jù)如下表所示：607080901008.81113.616.620為描述該電動汽車在高速公路上行駛時每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：①，②.（1）請選擇你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（不需要說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)〖解析〗式；（2）現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從地出發(fā)經(jīng)高速公路（最低限速，最高限速）勻速行駛到距離為的B地，出發(fā)前汽車電池存量為，汽車到達(dá)地后至少要保留的保障電量（假設(shè)該電動汽車從靜止加速到速度為的過程中消耗的電量與行駛的路程都忽略不計）.已知該高速公路上有一功率為的充電樁（充電量充電功率充電時間）.若不充電，該電動汽車能否到達(dá)地？并說明理由；若需要充電，求該電動汽車從地到達(dá)地所用時間（即行駛時間與充電時間之和）的最小值.解：（1）與的函數(shù)關(guān)系，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由增長速度可知，選擇函數(shù)模型①，由題意有：解得：所以.（2）設(shè)耗電量為，則，任取，，由，，，，則有，即，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，，即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，所以該車不在服務(wù)區(qū)充電不能到達(dá)地，又設(shè)行駛時間與充電時間分別為，總和為，若能到達(dá)地，則初始電量+充電電量-消耗電量保障電量，即，解得，所以總時間，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，所以該汽車到達(dá)地的最少用時為小時.22.已知函數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù).（1）若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證