湖南省名校教育聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省名校教育聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗由復(fù)數(shù)，解得，所以|.故選：D．2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以又因?yàn)?，所?故選：A．3.下圖為某商家2023年1月至10月某商品的月銷售量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這10個(gè)月的月銷售量的中位數(shù)為28B.這10個(gè)月的月銷售量的平均數(shù)為31C.這10個(gè)月的月銷售量的第75百分位數(shù)為34.5D.前5個(gè)月的月銷售量的方差大于后5個(gè)月的月銷售量的方差〖答案〗B〖解析〗將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，這10個(gè)月的月銷售量的中位數(shù)為，A錯(cuò)誤；這10個(gè)月的月銷售量的平均數(shù)為，B正確;根據(jù)百分位數(shù)的定義可知，則這10個(gè)月的月銷售量的第75百分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)36，C錯(cuò)誤；由圖形可知，前5個(gè)月的月銷售量的波動(dòng)小于后5個(gè)月的月銷售量的波動(dòng)，所以前5個(gè)月的月銷售量的方差小于后5個(gè)月的月銷售量的方差，D錯(cuò)誤.故選:B．4.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是棱上的點(diǎn)，且滿足，平面，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由平面，平面平面，平面，得，因?yàn)椋谑?，則，解得.故選：C．5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列（其公比）的前項(xiàng)積為，設(shè)甲：，乙：有最大值，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，且，可得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以有最大值；若有最大值，則，因?yàn)?，所以，所以不一定?故選：A．6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則.故選：D．7.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與C交于兩點(diǎn)，若為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且，則ABD的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由題設(shè)及拋物線定義知，直線AD與拋物線的準(zhǔn)線垂直．因?yàn)?，所以，即，又焦點(diǎn)F（1，0），由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線可得，，故．故選：C．8.已知函數(shù)，若，且，恒有，則正實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨設(shè)，又，則，所以，即恒成立，故單調(diào)遞減，則恒成立，即．當(dāng)時(shí)，成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，故單調(diào)遞增，由得恒成立，即成立．設(shè)，，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，所以.故選：B．二、多項(xiàng)選擇題9.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，過(guò)球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得C；當(dāng)截面過(guò)正方體的體對(duì)角線時(shí)可得D；當(dāng)截面既不過(guò)體對(duì)角線又不與任一側(cè)面平行時(shí)，可得A；但無(wú)論如何都不能截得B．故選：ACD10.如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，則（）A.圓C的方程為B.圓C與圓的相交弦所在直線方程為C.D.〖答案〗AC〖解析〗由圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），可設(shè)圓C的方程為，所以，所以圓C的方程為，故A正確；圓C與圓O的方程相減得，此方程即為其相交弦所在直線方程，故B錯(cuò)誤；設(shè)為圓O上任意一點(diǎn)，則，所以，所以，，故C正確，D錯(cuò)誤，故選:AC．11.已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的取值可能為（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，，所以，因?yàn)?，所以，又，如下圖依次討論對(duì)應(yīng)為點(diǎn)四種情況，若，則，滿足；若，則，滿足；由，若，則，滿足；若，則，不滿足，其它情況均不符合.故選：ACD三、填空題12.甲、乙、丙、丁共四名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，決出第1名到第4名的名次，已知甲不是第1名，乙不是第4名，則這4個(gè)人名次排列的可能情況共有______種．〖答案〗14〖解析〗直接法：當(dāng)乙是第1名時(shí)，甲、丙、丁共3名同學(xué)有種排法；當(dāng)乙不是第1名時(shí)，先排乙、甲，再排丙，丁，4名同學(xué)共有種排法，所以這4個(gè)人名次排列共有14種．間接法：這4個(gè)人名次排列的可能情況共有種．故〖答案〗為：1413.若數(shù)列滿足，，則的最小值是______．〖答案〗〖解析〗由已知，，…，，，所以，又也滿足上式，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．故〖答案〗為：14.已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中A，B分別為的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若以B為頂角的等腰恰好有3個(gè)，則直線AB的斜率的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題意知的第三個(gè)頂點(diǎn)C在以B為圓心，以為半徑的圓上，要使以B為頂角的等腰恰好有3個(gè)，則需要滿足橢圓與圓有四個(gè)公共點(diǎn)；由，得，所以或；當(dāng)時(shí)，橢圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為左右頂點(diǎn)，當(dāng)C位于右頂點(diǎn)處滿足條件；當(dāng)時(shí)，要滿足橢圓與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，需要，即，即，且，，解得，因?yàn)?，，所以，所以直線AB的斜率的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題15.在中，已知．（1）求角C的大?。唬?）若，，試判斷的形狀并說(shuō)明理由．解：（1）因?yàn)椋?，由，有，則，所以，得，故．（2）由，可知．設(shè)，則，．在中，，由正弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，即，因?yàn)?，所以，所以，．故是直角三角形?6.如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，D，E分別為AB，的中點(diǎn)，若，平面ABC⊥平面．（1）求證：CD⊥平面；（2）若三棱柱的體積為4，求直線AE與平面所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)镈，E分別為，的中點(diǎn)，是正方形，所以，因?yàn)?，，平?平面,所以平面，故．因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面，平面平面，且平面，所以平面ABC，平面ABC,故．因?yàn)槠矫?，平?所以平面．（2）解：由三棱柱中的體積為4可得．以DA所在直線為x軸，過(guò)D作AB的垂線為y軸，DC所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（－1，0，0），C（0，0，2），，E（－1，1，0），．設(shè)平面的法向量為，由得?。O(shè)直線AE與平面所成角為，則．故直線AE平面所成角的正弦值為．17.某電視臺(tái)綜藝節(jié)目邀請(qǐng)甲、乙兩位好友參加了“心有靈犀、竟猜謎語(yǔ)”活動(dòng)：即從5個(gè)謎語(yǔ)中隨機(jī)抽取個(gè)，讓甲負(fù)責(zé)比劃，乙負(fù)責(zé)猜謎語(yǔ)．已知甲會(huì)比劃其中3個(gè)謎語(yǔ)，這3個(gè)謎語(yǔ)乙猜對(duì)的概率都為，另外2個(gè)不會(huì)比劃的謎語(yǔ)乙無(wú)法猜對(duì)．（1）求甲、乙配合猜對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)的概率；（2）設(shè)甲、乙配合猜對(duì)謎語(yǔ)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)“抽中甲會(huì)比劃謎語(yǔ)的個(gè)數(shù)為”為事件，“乙猜對(duì)的謎語(yǔ)的個(gè)數(shù)為”為事件，“甲乙配合猜對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)”為事件．甲乙配合猜對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)，則，所以甲乙配合對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)的概率為．（2）由題意，隨機(jī)變量可能取值為，，，，．所以的分布列為X023P數(shù)學(xué)期望．18.設(shè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比等于，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，試判斷點(diǎn)是否在直線上，并說(shuō)明理由．解：（1）由動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比等于，可得，化簡(jiǎn)得，故所求曲線C的方程為．（2）點(diǎn)在直線上．因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，由題設(shè)得，解得，當(dāng)軸時(shí)，，，代入有，所以點(diǎn)在直線上，當(dāng)AB不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是，因?yàn)榍€C的漸近線的斜率為，且直線AB與曲線C的右支相交于兩點(diǎn)，所以，聯(lián)立方程組，整理得，此時(shí)，可得，則，同理．于是，，所以，所以點(diǎn)在直線上．19.已知函數(shù)．（1）若是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若存在三個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍．解：（1）由題設(shè)知恒成立．若，當(dāng)且，，不符合題意；若，則，滿足題意；若，令，則，令，得．當(dāng)時(shí)，則即單調(diào)遞減，時(shí)，則即單調(diào)遞增，故的最小值為．由題設(shè)知，即．綜上可知的取值范圍是．（2）因?yàn)?，所以是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)．若是函數(shù)的零點(diǎn)，即，則，即是函數(shù)的零點(diǎn)，故函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且它們互為倒數(shù)．由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，因此，即在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)也只有一個(gè)零點(diǎn)，不符