2022-2023學(xué)年進(jìn)才中學(xué)高三年級上冊數(shù)學(xué)月考試卷及答案

進(jìn)才中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)月考

2022.12

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分，請將

正確答案直按填寫在答題紙相應(yīng)空格上）

1.已知集合/==,B-|y|y=2V|,則.

2.已知lg2=Q,lg3=6,用a,6表示log/5=.

3.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S〃，q=15,Ss=0,則當(dāng)5,取最大值時〃的值為—.

4.[1+3]（1+》）6展開式中含一項的系數(shù)為.

5.已知集合2=（x2二q<-LawR],若集合/中所有整數(shù)元素之和為18,則實數(shù)〃的取

Ix-2J

值范圍是.

6.甲、乙、丙等五人在某景點(diǎn)站成一排拍照留念，則甲不站兩端且乙和丙相鄰的概率是.

7.在銳角△NBC中，角8所對的邊長b=6,ZX/BC的面積為15,外接圓半徑滅=5,則△/BC

的周長為.

8.已知點(diǎn)尸是雙曲線二—4=l（a〉0,b>0）左支上一點(diǎn)，耳，鳥是雙曲線的左右焦點(diǎn)，

a-b

且雙曲線的一條漸近線恰是線段產(chǎn)入的中垂線，則該雙曲線的離心率是.

9.設(shè)函數(shù)〃x）=-4x?+ax+b,xeR,其中a,beR。若/（x）存在極值點(diǎn)玉；，且

/（xj=/（xo），其中X|WXo，則斗+2%=.

10.在復(fù)平面中，已知點(diǎn)N（—1,0）、8（0,3）,復(fù)數(shù)z「Z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為ZrZ2,且滿

足㈤=卜|=2,,乙|=4,則花?豆的最大值為.

11.已知cos（a+夕）=cosa+cos尸，貝！Icosa的最大值為.

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12.己知數(shù)列{?}滿足：對任意的”eN*均有4+|=左4+2左一2,其中人為不等于0與1

的常數(shù)，若qe{-272,-32,-2,8,88,888},六2、3、4、5,則滿足條件的《所有可能值

的和為.

二、選擇題(本大題共4題，第12,14題每題4分，第15,16題每題5分，滿分18分，

每小題只有一個正確答案，請將正確答案的代號填涂在答題紙對應(yīng)位置)

13.已知夕：a=2,q：直線ox+2y+1=0與x+(q-l)y-2=0平行，則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

14.已知a>b>c,a+b+c^O,則下列不等式恒成立的是()

A.ac>beB.ab>acC.a\b\>c|Z?|D.--—

15.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)/(x)=x3-^/,(l)x+/,(2)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為

a,則角a的取值范圍是()

16.已知定義在集合上的函數(shù)/(x)滿足對=(a,b)(l<a<6),記

/(x)的最小值為M最大值為MS={x|/(x)="},T={X|〃X)=N},則下列命題

正確的是()(注：|/|表示集合/中元素的個數(shù).

A.若間=1,則S=(a,b)B.若?|=1,則T=

C.若則S=(a,b)D.若|7卜1,則7=

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三、解答題(本大題共5題，滿分78分，解答要有詳細(xì)的論證過程與運(yùn)算步驟，請將解答

過程寫在答題紙對應(yīng)位置)

17.(本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分)

如圖，在直三棱柱Z6C—/4G中，CC｝=AC=BC=2,ZACB=9Q°,P是Z4的中點(diǎn),

Q是4B的中點(diǎn).

(1)求證：尸0，平面8。。；

(2)求直線與平面PCQ所成角的大小.

18.(本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分)

已知數(shù)列｛4｝中,q=3,an+1+an=3-2",weN,.

(1)證明數(shù)列｛《,-2"｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)在數(shù)列｛風(fēng)｝中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項；若

不存在，請說明理由.

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19.(本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分)

2021年10月13日第18號臺風(fēng)“圓規(guī)”在海南某地登陸，最大風(fēng)力達(dá)到12級.路邊一棵參天

大樹在樹干某點(diǎn)B處被臺風(fēng)折斷且形成120。角，樹尖C著地處與樹根4相距10米，樹根與

樹尖著地處恰好在路的兩側(cè)，設(shè)NC/8=6(/,B,C三點(diǎn)所在平面與地面垂直，樹干粗

度忽略不計)

(1)若。=45。，求折斷前樹的高度(結(jié)果保留一位小數(shù))

(2)問一輛寬2米，高2.5米的救援車能否從此處通過？并說明

理由.

20.(本題滿分18分，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分)

設(shè)廠為拋物線C：_/=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/與拋物線C相交于4,8兩點(diǎn).

(1)若萬；=2初，求此時直線/的方程；

(2)若與直線/垂直的直線4過點(diǎn)尸，且與拋物線C相交于點(diǎn)N,設(shè)線段的

中點(diǎn)分別為P,Q,如圖1.求證：直線尸。過定點(diǎn)；

(3)設(shè)拋物線C上的點(diǎn)S,7在其準(zhǔn)線上的射影分別為T、,若的面積是△STF

的面積的兩倍，如圖2.求線段ST中點(diǎn)的軌跡方程.

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21.(本題18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)

設(shè)函數(shù)/(x)在［1,+8)上有定義，實數(shù)a和6滿足14a<6.若/(x)在區(qū)間(W可上不存在

最小值，則稱/(x)在區(qū)間(。,可上具有性質(zhì)尸.

(1)當(dāng)=且/(x)在區(qū)間(1,2］上具有性質(zhì)P,求常數(shù)C的取值范圍；

(2)已知/(x+l)=/(x)+l(xNl),且當(dāng)14x<2時，/(x)=l—x,判別/(x)在區(qū)間

(1,4］上是否具有性質(zhì)P；

(3)若對于滿足的任意實數(shù)a和方，/(x)在區(qū)間(a,可上具有性質(zhì)尸，且對于任

意〃eN*,當(dāng)xe(”,〃+l)時，W：|/(?)-/(X)|+|/(X)-/(M+1)|=\f(n)-/(?+1)|.

證明：當(dāng)x21時，/(2x)>/(x).

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參考答案

一、填空題

1.(0,+oo);2.b~a+i;3.8;4.30;5.6<a<7;6.-;7.6(V6+1);8.75;

2b+a5''

9.4;10.2V10-4；11.V3-112.^^-

3

12.己知數(shù)列｛%｝滿足：對任意的〃eN*均有47=總“+2左一2,其中々為不等于0與1

的常數(shù)，若qe{-272,—32,-2,8,88,888},i=2、3、4、5,則滿足條件的q所有可能值

的和為.

【答案】——

3

【解析】?/an+x-kan+2k-2,a“+[+2=左(％+2),

(1)a,=—2,tz1+1+2=左伍]+2)=0,%=-2,

同理可得,。3=4=。5=-2,即q=-2復(fù)合題意;

⑵若力。-2,左為不等于0與1的常數(shù)，則數(shù)歹(j{a“+2}是以后為公比的等比數(shù)列，

qe{-272,-32,-2,8,88,888},i=2,3,4,5,a“+2可以取-270,-30,10,90,

.?.若公比|左|>1,貝1」左=一3,由4+2=10=—3(%+2)得:％=—?

若公比|眉<1,則左=一；，由%+2=—270=-；(巧+2)得:q=808.

綜上所述，滿足條件的q所有可能值為-2,告,808

???%所有可能值的和為:―2—3+808=陋.故答案為:幽.

333

二、選擇題

13.A14.B15.B16.B

16.已知定義在集合上的函數(shù)/(x)滿足對/(x)>)"=(a,b)(l<a<6),記

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/(X)的最小值為"，最大值為N,S={x|/(x)=A/},T={X[/(X)=N},則下列命題

正確的是()(注：表示集合/中元素的個數(shù).

A.若間=1,則S=(a,b)B.若『|=1,則T=(q,b)

C.若|S|H1,則S=D.若|7卜1,則r=

【答案】B

【解析】對A,若網(wǎng)=1,不妨設(shè)S={x|/(x)=M}中僅有1個元素r,即/(x)的最小值為

=M,若SQ(4,6),根據(jù)1=有a<t<b,故

與為最小值矛盾，故A錯誤；

若『|=1，不妨設(shè)T={xl/(x)=N}中僅有1個元素，，即/(x)的最大值為/(/)=N,若

『￡(。力)，根據(jù)卜占)}=(2)(l<"b),將a<t<b,故/?)>/(=)，因

為/(。為最大值，且若/=含，則/T+I=O,無解，故/工亡，故不等式/?)>/(占]

必成立，故B正確；

對C,若⑹k若則網(wǎng)22,同A可得C錯誤;

對D,若|7艮1,則『|*2,不妨設(shè)/(x)=N有兩根項雙，S.a<Xi<x2<b,則若存在

項<X2使得/(%)=歷，則由A可得玉)任(4,6),止匕時

卜/(X)>/(占)}=(。力)(1<a<b)不成立，故D錯誤；

故選：B

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三、解答題

17.(1)略(2)-

3

18.(1)/=2"+(-1廣'(2)存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，a2/a3/a4

19.(1)11.2(2)不能從此處通過

20.(1)y=±2亞(x-1)(2)略(3)/=2x-4

21.設(shè)函數(shù)/(x)在［1,+8)上有定義，實數(shù)。和。滿足IE。<6.若/(x)在區(qū)間(a,可上不

存在最小值，則稱/(x)在區(qū)間(見可上具有性質(zhì)P.

(1)當(dāng)=/+且/"(X)在區(qū)間(1,2］上具有性質(zhì)尸，求常數(shù)C的取值范圍；

(2)已知/(x+l)=/(x)+l(xNl),且當(dāng)l〈x<2時，/(x)=l-x,判別/(x)在區(qū)

間(1,4］上是否具有性質(zhì)產(chǎn)；

(3)若對于滿足的任意實數(shù)0和6,4X)在區(qū)間(a,可上具有性質(zhì)P,且對于任

意〃eN”,當(dāng)xe(〃,〃+l)時,<：|/(M)-/(X)|+|/(X)-/(M+1)|=|/(M)-/(W+1)|,

證明：當(dāng)時，

【答案】(DC..-2(2)見解析

【解析】⑴當(dāng)—。e(1,2］時J(x)=V+或在(1,2］上存在最小值；

當(dāng)一_|>2時J(x)在(1,2］上存在最小值/(2);

當(dāng)-會c1時，/(x)在(1,2］上單調(diào)遞增，所以不存在最小值.所以C..-2.

(2)因為乂.』時,f(x+1)=/(x)+1>/(%)，所以f(x)在區(qū)間(1,4］上如果有最小值，則

最小值必在區(qū)間(1,2］上取到另一方面,/Xx)=一’，

1x=2

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在區(qū)間(1,2］上不存在最小值，所以/(x)在區(qū)間(1,4］上具有性質(zhì)尸.

(3)(1)首先證明對于任意〃eN*,/(〃)</(〃+1)

當(dāng)x€(M,n+1)時，由|/(?)-/(%)|+|/(x)-f(n+1)|

=1/(〃)-/(〃+1)I可知/(X)介于/(〃)和/(〃+1)之間.

若/(〃).J(〃+1),則/(X)在區(qū)間5,〃+1］上存在最小值/(〃+1),矛盾.

利用歸納法和上面結(jié)論可得：對于任意人，〃GN",當(dāng)"〈人時,/(〃)<f(k).

⑵其次證明當(dāng)兒.』且x〉w時,/(x)>/(〃);當(dāng)“...2且x<〃時，

/(球,/(〃).任取力>〃,設(shè)正整數(shù)無滿足4,kk+1,

則/(?)?f(k\,f(x)”/伏+1)若存在左+1../>上..〃使得/(X0)?/(M),

則/(%)=/(%).由于當(dāng)X€6,％+1)時,/(左),J(x),所以/(X)在區(qū)間(左,X。］有最小值

/(%),矛盾.類似可證，當(dāng)〃...2且X<〃時,/(0)(〃).

(3)最后證明:當(dāng)x..1時J(2x)>f(x).當(dāng)x=1時J(2)>/(I)成立.

當(dāng)x>1時，由2x-x=x>1可知，存在〃eN*使得x<〃<2x,所