舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

第2講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

鵬礎(chǔ)知識(shí)整合I

□知識(shí)梳理

1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系

函數(shù)y=f(?)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)：

(1)若/(X)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)回單調(diào)遞增;

(2)若/(Λ)<0,則Hx)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)圖單調(diào)遞減:

(3)若f(X)=0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是畫常數(shù)函數(shù).

2.由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的步驟

(I)求定義域.

(2)求導(dǎo)數(shù).

(3)由導(dǎo)數(shù)大于O求單調(diào)遞增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于O求單調(diào)遞減區(qū)間.

知識(shí)拓展

1.在某區(qū)間內(nèi)F(X)X)(F(x)<0)是函數(shù)F(X)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要

條件.

2.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是Vx∈(a,?),都有

fω≥0(f,(X)WO)且F(x)在(a,6)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

3.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的注意事項(xiàng)

(1)在函數(shù)定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào).

(2)兩個(gè)或多個(gè)增(減)區(qū)間之間的連接符號(hào)，不用“U”，可用“，”或用“和”.

□雙基自測(cè)

1.(2021?蕪湖模擬)函數(shù)f(x)=e*-ex,x∈R的單調(diào)遞增區(qū)間是()

Λ.(O,+∞)B.(―∞,0)

C.(一8,1)D.(1,+∞)

答案D

解析由題意知，f'ω=e-e,令f'(x)>0,解得x>l.故選D.

2.函數(shù)F(X)=SinX-2X在(O,Jt)上的單調(diào)性是()

A.先增后減B.先減后增

C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減

答案D

解析'."f'(X)=CoSX—2<0,f(x)=sinx—2X在(0,口)上單調(diào)遞減，故選D.

3?(2°22?鄭州一中模擬)已知函數(shù)&)=1-+%若a=f(e),b=fg,C=

F(Iog230),則()

A.c<b?aB.CVaV6

C.b<c<aD.a<c<b

答案A

解析Ax)的定義域是(0,+∞),/

+8)上單調(diào)遞減,因?yàn)镮og230>log2'>Jt>e,所以f(log230)Vf(It)<f(e),即CCZ><

4.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)有下列信息:

①f'(X)〉0時(shí)，一1〈求2；

②/(X)<0時(shí)，XC-I或x>2；

③F'(X)=0時(shí)、X=-I或X=2.

則函數(shù)f(x)的大致圖象是()

答案C

解析由題意可知函數(shù)f(x)在(-1,2)上單調(diào)遞增，在(一8,—1)和(2,+8)上單調(diào)

遞減，故選C.

5.(2021?山西太原模擬)F(x)在(0,+8)上的導(dǎo)函數(shù)為F(χ),XF(χ)>2f(x),則

下列不等式成立的是()

A.20212∕(2022)>2022V(2021)

B.2021V(2022)<20222∕(2021)

C.2021/-(2022)>2022^(2021)

D.2021Λ2022)<2022/(2021)

答案A

解析令g(χ)=7=,Xe(0，+8),則g'(X)=Xr3,二

XX

Xf(X)-2f(x),,、一,、，、一M"皿f(2022)f(2021)

---------3-------->0,貝r1IJg(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，/.———2—>―τττ-2—,：.

2021V(2022)>2022V(2021).

6.(2022?廣西柳州月考?)設(shè)函數(shù)F(X)=IXz—9InX在區(qū)間［a—1,a+l］上單調(diào)遞減，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(1,2］

解析f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(X)=X—2.由F(X)=X—2〈0,解得0<Λ<3.

XX

因?yàn)閒(x)??/-91nX在[a-1,a+l]上單調(diào)遞減，所以[己—1,a+1](0,3],所以

a—1>0,

解得l<dW2.

5÷1≤3,

核，6?而兔破I

考向一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)(不含參)的單調(diào)區(qū)間

例1(1)函數(shù)F(X)=X2—2InX的單調(diào)遞減區(qū)間是()

Λ.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-1)U(0,1)

D.(-1,0)U(0,1)

答案A

22V—2

解析f(x)=2x—(x>0),令f'(%)<0,解得O<Λ<L故選A.

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x(e'-1)—?jiǎng)tf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間

是.

答案(一8,—1),(0,+o°)[—1,0]

解析Vf(x)=x(e'-1)一%,

/.f,(x)=e*—l+xe'—X=(e'—1)(x+l).

當(dāng)x∈(-8,—1)時(shí)，ff(X)>0.

當(dāng)x∈[-ι,0]時(shí)，f,ω≤o.

當(dāng)x∈(0,+8)時(shí)，f(χ)>o.

故MX)在(-8,-1),(0,+8)上單調(diào)遞增，在［-1,0］上單調(diào)遞減.

觸類旁通當(dāng)方程，(X)=O可解時(shí)，確定函數(shù)的定義域，解方程F(X)=0,求出

實(shí)數(shù)根,把函數(shù)f(χ)的間斷點(diǎn)(即f(χ)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和實(shí)根按從小到大的順序排列起

來，把定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，確定F(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.

即時(shí)訓(xùn)練1.當(dāng)χ>0時(shí)，HX)=X+?)單調(diào)遞減區(qū)間是()

X

A.(2,+∞)B.(0,2)

C.(√2,+∞)D.(O,√2)

答案B

41——<0,

解析f(X)=I―乎令Fω<0,.?JX.?.0<Λ<2..?"(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,

.x>0,

2).

2.(2021?開封調(diào)研)已知定義在區(qū)間(一n,n)上的函數(shù)F(X)=XSinx+cosx,則

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案(-71，一熱和(°，

解析f,(A)=sinx-?~xcosx-sinx=xcosx.令f(X)=XCOSX>0(X￡(—n,

π)),解得一元VXV—5或0VχV5,即函數(shù)F(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一兀

考向二利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)(含參)的單調(diào)區(qū)間

例2(1)已知函數(shù)F(X)=X'+aV+gg,A∈R),試討論F(x)的單調(diào)性.

解f'(X)=3f+2ax,令f(X)=0,

解得Xl=0,X2=--.

若a=0,則f(x)=3920,

所以函數(shù)F(X)在(-8,+8)上單調(diào)遞增;

若90,當(dāng)χ∈(-8,-Ju(0,+8)時(shí),

f,(%)>0,當(dāng)X一弓，0)時(shí)，ft(x)<0,

所以函數(shù)f(x)在(一8一削，(0,+8)上單調(diào)遞增，在(一當(dāng)，0)上單調(diào)遞減;

若a<0,當(dāng)χG(—8,O)U(—當(dāng)，+8)時(shí)，f(χ)>0,當(dāng)x∈(θ,一引時(shí)

f(x)<0.

所以函數(shù)f(x)在(-8,0),f—y,+8)上單調(diào)遞增，在(0,一,上單調(diào)遞減.

⑵已知f(x)=*(a≠。，且a為常數(shù))，求F(X)的單調(diào)區(qū)間.

解因?yàn)閒(x)=與M(aw。，且a為常數(shù)),

①若a>0,當(dāng)OCKl時(shí)，f(X)>0；

當(dāng)x>l時(shí)，f(X)〈0.

即a>0時(shí)，函數(shù)Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).

②若水0,當(dāng)0〈x〈l時(shí)，f(x)<0；

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>0.

即a<0時(shí)，函數(shù)Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

觸類旁通

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.遇二次

三項(xiàng)式因式

?？紤]二次項(xiàng)系數(shù)、對(duì)應(yīng)方程的判別式以及根的大小關(guān)系，以此來確定分界點(diǎn)，分情況

討論.

(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí);要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間

斷點(diǎn).

(3)個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如F(x)=Ffω=3√>0(r(x)

=0在x=0時(shí)取到)，f(x)在R上是增函數(shù).

即時(shí)訓(xùn)練3.已知函數(shù)f(x)=e'(af—2x+2)(a>0),試討論f(x)的單調(diào)性.

解由題意得/、’=ex[ax+(2a—2)x?(a>0),

9—

令/(解得Xi=-~.

X)=0,Xl=0,a

①當(dāng)0<a<l時(shí)，HX)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(一^,+∞lr單調(diào)遞減區(qū)間為

②當(dāng)a=l時(shí)，F(xiàn)(X)在(-8,+8)內(nèi)單調(diào)遞增；

③當(dāng)a>l時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,三包)和(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為

Aol

4.已知F(x)=ln(x~?~而一mx,求F(x)的單調(diào)區(qū)間.

解由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?一如+∞).

?."(x)=In(x+m)—mx,

當(dāng)zσ≤O時(shí)，ff(x)=-]?—m>0,

x-rin

即F(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一處+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)nι>0時(shí)，f(X)=一■——m

χ-?~m

-ιix+m--?

?nυ

，

由/(X)=0,得X='一勿∈(一0，+o°),

m

當(dāng)x∈(—初,—勿+力時(shí)，f,(X)>0,

當(dāng)X∈(-/+8)時(shí)，f(X)V0,

...當(dāng)加>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一/，一加+；)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-0+5，+8).

精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破

考向三利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題

角度1比較大小或解不等式

例3(1)(2021?長春質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知f(x)=l+x—sinx,則f(2),f(3),f(")的大

小關(guān)系正確的是()

Λ./(2)>∕(3)>Λπ)

B.Λ3)>∕(2)>∕'(π)

C./(2)>∕(π)>Λ3)

D./(π)>∕?(3)>∕(2)

答案D

解析因?yàn)閒(x)=l+x—SinX,所以f(X)=I—cosX,當(dāng)x∈(0,N時(shí)，f(x)>0,

所以F(X)在(0,n]上是增函數(shù)，所以F(n)>F⑶>f(2).

(2)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(4)=—3,且對(duì)任意的x∈R總有F(Λ)<3,則不

等式f(x)<3x—15的解集為.

答案(4,+∞)

解析令g(x)=F(x)-3x+15,則g'(x)=f(X)-3<0,所以g(x)在R上是減函數(shù).又

g(4)=f(4)—3X4+15=0,所以f(x)<3χ-15的解集為(4,+∞).

觸類旁通.利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧

利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性比較大小或解不等式的問題.

即時(shí)訓(xùn)練5.(2021?青島二中模擬)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x),

且滿足/(x)<2x,/(2)=3,則不等式F(X)>f-l的解集是()

A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)

C.(2,+∞)D.(一8,2)

答案D

解析令g(x)=∕U)-χ2,則g，(X)=/(χ)-2x<0,即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減.又

不等式Λ^)>%-l可化為Λ%)-%>-l.而g(2)=f(2)-22=3—4=—1,所以不等式可化

為g(x)>g(2),故不等式F(X)的解集為(-8,2).故選D.

6.(2021?全國乙卷)設(shè)a=21n1.01,6=In1.02,c=√1.04-l,貝∣J()

A.水伙CB.Kc<a

C.b<a<cD.KaVb

答案B

解析顯然a〉4故排除A,D.令F(X)=21n(l+x)-(√l+4χ-1)(%>0),則f(x)

22

=?∏--------Γ^=,因?yàn)楫?dāng)0<水2時(shí)，x<2x,所以當(dāng)(KX<2時(shí)，l+2x+f<l+2x+2x,即1

1+x√1+4A-

+x<W+4x,所以當(dāng)0<x<2時(shí)，F(xiàn)(x)>0,F(X)單調(diào)遞增，所以/(0.01)>∕(0)=0,所以a>c.

_____29

同理，令g(x)=In(l+2x)—(W+4r—1)(x〉0),則g'(*)=]7/一萬百因?yàn)楫?dāng)工》0

時(shí)，(1+2X)2>1+4X,所以當(dāng)x>0時(shí)，g'(jr)<O,g(x)單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,

所以c>b.綜上可得，a>c>b,故選B.

角度2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

例4(1)若函數(shù)f(x)=2*3-3ZBX2+6”在區(qū)間(1,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)0的取值范

圍是()

A.(—8,1]B.(—8,1)

C.(一8,2]D.(一8,2)

答案C

解析f(X)=6f—6勿x+6,由已知條件知χW(l,+8)時(shí)，f(χ)20恒成立.

解法一：設(shè)g(x)=6/—6Z77Λ+6,則g(x)20在(1,+8)上恒成立.若/=36(/-4)≤0,

即一2〈加W2,滿足g(x)N0在(1,+8)上恒成立；若/=36(m2—4)>0,即成一2或卬>2,

解得水2,，水一2,???綜上得加W2,???實(shí)數(shù)力的取值范圍是(一8,

?(1)=12—6∕77≥O,

2].故選C.

解法二：問題轉(zhuǎn)化為勿≤x+T在(1,+8)上恒成立，而χ∈(l,+8)時(shí)，y=χ+:>2,

故∕zz≤2,故選C.

(2)(2022?南昌一中模擬)若函數(shù)f(x)=Inx—%f—2X存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

答案(一1,÷o°)

1—o-2γ

解析f,(X)=一-ax—2=--------------,由題意知，f,(X)VO在(0,+8)上有解，即

XX

a∕+2χ-1>0有解.當(dāng)a20時(shí)，顯然滿足；當(dāng)aVO時(shí)，只需∕=4+4d>0,??.一IVdV

O.綜上可知，a>—1.

觸類旁通J

(DfG)在區(qū)間。上單調(diào)遞增(減)，只要f(x)2O(WO)在〃上恒成立即可，如果能夠

分離參數(shù)，則盡可能分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系.

(2)二次函數(shù)在區(qū)間〃上大于零恒成立，討論的標(biāo)準(zhǔn)是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間D

的相對(duì)位置，一般分對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進(jìn)行討論.

即時(shí)訓(xùn)練7.(2021?四川成都棠湖中學(xué)二診模擬)若f(x)=

x+-;—-4a,0<^≤a,

1x+a是(0,+8)上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

X—XInX,x>a

A.[1,e,B.[e,e?

C.[e,+co)D.[e2,+o°)

答案D

解析由題意，當(dāng)x>a時(shí)，f,(X)=I—(Inx+l)=—InX,則一Inx<0在x>a時(shí)恒

4/4才

,

成立，則當(dāng)O<jr≤a時(shí)，f(X)=I--一、2,則1--《工、2?0在0<x≤w時(shí)恒

{χ+a){χ+a)

成立，即一3aWr≤a在(KXWa時(shí)恒成立，解得a>0；??f(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，Ja

4a2a—aIna,解得Ina22,即5≥e2,故心0,解得a≥e2,故選D.

5≥e2,

π

8.(2021?安徽銅陵質(zhì)量檢測(cè))函數(shù)F(x)=cos2x+a(sinx-cosx)在區(qū)間0,5上

單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案［√i+∞)

π"

解析f,(X)=-2Sin2x+acosx+asinx.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在0,—匕單調(diào)遞增，

JTlΓπ~

所以f,(x)≥0在0,萬上恒成立，即a(cosx+sinx)22Sin2x在0,—上恒成立.令

sinx+cosx=t,則sin2x=f—1,f∈［1,y∣2］,所以a2—~-=2卜一7)因?yàn)楹瘮?shù)y

=t-］在［1,4］上是增函數(shù)，所以a22"—乎)=√L所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［短，

+∞).

自主培優(yōu)(五)構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

1.設(shè)f(x),g(x)在［a,6］上可導(dǎo)，且f'(x)>g'(x),則當(dāng)a<Λ<8時(shí)，有()

A.f(x)>g(x)

B.f(x)<g(x)

C.f(x)+g(a)>g(x)+F(a)

D.f(x)+g(6)>g(x)+f(%)

答案C

解析'：f(x)?>g,(x),.?.［f(力一g(x)「>0..?.f(x)—g(x)在［a,3上是增函數(shù)?.?.

當(dāng)a<x<b時(shí),f(a)—g(a)<f(x)-g{x),即F(X)+g(a)>g(x)+f(,a).

2.(2021?貴陽市、黔東南州部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)/X*)是定義在R上的奇函數(shù)，

其導(dǎo)函數(shù)為F(x),且對(duì)任意實(shí)數(shù)X都有f(x)+f(x)>l,則不等式e*f(x)>e'-1的解

集為()

A.(―∞,0)B.(0,+∞)

C.(-8,1)D.(1,+∞)

答案B

解析設(shè)g(x)=e'［f(x)—1］,則g'(x)=eV(x)+eT(x)-e*.因?yàn)?U)+/(x)>l,

所以e'f(x)+ef(x)>e-f,即eY(%)+eT(x)-er>0,故g(x)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(x)

是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0,所以以0)=—1,不等式e"'(x)>e*—1,即g(x)>

g(0),則x>0.故選B.

,答題啟示

(1)若知xf(X)+f(x)的符號(hào)，則構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x);一般地，若知xf(X)+

nf?x)(Λ>0)的符號(hào)，則構(gòu)造函數(shù)g(x)-xf{x)(Λ>0).

f(χ)

(2)若知Xf(x)—f(x)的符號(hào)，則構(gòu)造函數(shù)g(x)=——；一般地，若知XF(%)-

nf{x)(∕7>0)的符號(hào)，則構(gòu)造函數(shù)g(x)=-^(〃>0).

(3)若知f(x)+f(x)的符號(hào)，則構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'F(x);一般地，若知f(x)+

nfω(Λ>O)的符號(hào)，則構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"*f(x)(〃>0).

(4)若知rco—f(x)的符號(hào)，則構(gòu)造函數(shù)氯.)=卡乙；一般地，若知fω-

nf{x)(∕7>O)的符號(hào)，則構(gòu)造函數(shù)g(x)=—^÷(∕2>O).

,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.(2022?南昌調(diào)研)己知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為

f'(x),若對(duì)任意的x>0都有2f(x)+xF(x)>0成立，則()

A.4/(-2)<9∕'(3)B.4Λ-2)>9Λ3)

C.2/(3)>3∕(-2)D.3/(-3)<2/(-2)

答案A

解析根據(jù)題意，令g(χ)=>%(χ),其導(dǎo)函數(shù)/ω=2^ω+√rω,又對(duì)任意的

才>0都有2P(4)+*/(x)>0成立，則當(dāng)尤>0時(shí)，有g(shù)'(X)=X[2f(x)+xF(x)]>0恒成

立，所以函數(shù)g(*)在(0,+8)上為增函數(shù)，又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/?(一

X)-f(X),則有g(shù)(—X)=(—X)2f(—X)=Xy(X)=g(χ),即函數(shù)g(x)也為偶函數(shù)，則有g(shù)(一

2)=g(2),且g(2)<g(3),所以g(-2)<g(3),BP4Λ-2)<9f(3).

2.(2021?陜西西安長安區(qū)二模)已知/(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)

任意實(shí)數(shù)X都有Fω>f(x)-l,且有/XI)=2,則不等式f(x)—De-的解集為.

答案(1,+oo)

f)

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(χJ)-—1-i1,g'(X)=——f(χ:——)——f(~X~+—1>0,所以g(x)在

eee

f(?—11

R上單調(diào)遞增.因?yàn)間(D=O,所以/U)-l>e*TQ——χ——與OQg(X)>O=χ>l,所以不

ee

等式f(x)-l>ei的解集為(1,+∞).

課時(shí)作

1.函數(shù)尸f(χ)的圖象如圖所示，則y=F(χ)的圖象可能是()

答案D

解析由函數(shù)/Xx)的圖象可知，F(xiàn)(*)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以在(一8,0)±,f(x)>0,在(O,+∞)±,f(x)<0.故選D.

2.函數(shù)f(x)=(x—3)e”的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-∞,2)B.(0,3)

C.(1,4)D.(2,+∞)

答案D

解析f(X)=(X—3)'e*+(x—3)(e')'=(L2)e",令f'(x)>0,解得x>2.故選D.

3.(2022?甘肅蘭州模擬)函數(shù)f(x)=l+X-SinX在(0,2”)上是()

Λ.增函數(shù)

B.減函數(shù)

C.在(0,n)上單調(diào)遞增，在(“，2n)上單調(diào)遞減

D.在(0,n)上單調(diào)遞減，在(n,2n)上單調(diào)遞增

答案A

解析因?yàn)镕(X)=I-CoSX>0在(O,2n)上恒成立，所以f(/)在(0,2n)上為增函

數(shù).故選A.

4.函數(shù)尸gV-]nX的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,1]B.(0,1]

C.[1,+oo)D.(O,+oo)

答案B

11(Y—?)(γ-?-1)

解析函數(shù)y=~χ-lnX的定義域?yàn)?O,+∞),y'=x—=―;-------;------,令

2XX

y,≤0,則可得O〈后L故選B.

5.(2021?陜西西安模擬)函數(shù)f(x)=詈](a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—8,—1)

B.(-1,1)

C.(1,+∞)

D.(—∞,—1)U(1,÷∞)

答案B

("11Y^)]---X)(1―I—Y)

解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f(.=(”+：)2=2+；產(chǎn)由于a>0,

要使F(x)>0,只需(l-χ)(l+x)>0,解得x∈(-l,1).故選B.

6.已知函數(shù)f(x)=f-3x,若在T中，角。是鈍角，則()

A.F(SinA)>f(cosB)

B.AsinaCf(CoSB)

C./(sin4)>F(sinB)

D.F(Sin4)Vf(SinB)

答案A

解析因?yàn)閒(x)=f-3x,所以f'(x)=3f—3=3(了+1)(*—1),故函數(shù)『(X)在區(qū)間(一

1,1）上是減函數(shù)，又4占都是銳角，且4+8<5，所以0<1<]-所以CKSin4

<sin■—q=cos水1,故/"(sinA)>Acosβ).

7.(2021?冀州中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)￡(X)=X2—4X+3,則使函數(shù)fG-1)

單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是()

A.x∈(0,1)B.x∈[0,2]

C.x∈(2,3)D.x∈(2,4)

答案C

解析由f(x)<0,即V—4x+3<0,得l<x<3,；.函數(shù)F(X)在(1,3)上單調(diào)遞減.

函數(shù)/Xx-D在(2,4)上單調(diào)遞減.故D為充要條件，C為充分不必要條件.

8.Ax)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足Xf(x)—f(x)WO,對(duì)任意正數(shù)

a,b,若a<b,則必有()

A.af(6)W6f(a)B.6f(a)Waf(O)

C.af(a)≤6f(6)D.6f(6)Waf(a)

答案A

f(γy)「f(X)Iγf(γy)—f(y~}

解析設(shè)函數(shù)F(X)=J—k-(x>0),則F1(x)=---------'=-.因?yàn)?/p>

XL-γJX

x>0,xf(*)—F(x)WO,所以尸(X)W0,故函數(shù)尸(入)在(0,+8)上為減函數(shù).又0<水6,

所以尸(a)2尺6),即42_,則w?(a)2af(6)?

ab

9.(2021?陜西西安中學(xué)模擬(三))已知實(shí)數(shù)於0,a≠l,函數(shù)F(X)=

a,Kl,

2,41η、在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

X+-+5InX,Xel

X

A.2≤a≤5B.a<5

C.3<水5D.l<a≤2

答案A

4

解析,??函數(shù)F(X)在R上單調(diào)遞增，???當(dāng)Kl時(shí)，有蘇1；當(dāng)XNl時(shí)，f(x)=2x--2

X

,2x,—4Iz?γ

+^=-------y------20恒成立，令g(x)=2f+aχ-4,χW［l,+°o),則g'(X)=6x"+a,

a>0,Λ√(x)>0,即g(x)在［L+8)上單調(diào)遞增，.?.g(χ)2g(l)=2+a—4=a-2,要使

當(dāng)x21時(shí)/(?20恒成立，則a—220,解得a22.，?,函數(shù)AX)在R上單調(diào)遞增，,還需

4

要滿足JWI+7+aIn1,即aW5.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2WdW5,故選A.

10.若函數(shù)Ax)的圖象如圖所示，則F(X)的解析式可能是()

P.V-1

Λ.f(χ)=k?

%—1i

、e

b?'z3=口

f+x+l

c.F(X)=,

χ-1

x'+x+l

D.F(X)=,

/—1

答案B

解析由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)閧x∣XWa且xW6},f(x)在(-8,a)上為增函數(shù)，

在(a,0］上先增后減，在［0,6)上為減函數(shù)，在(6,+8)上先減后增.A項(xiàng)中F(X)的定義域

px(X—-1)—2XCp4—1)

為{3用一1且；r≠l},此時(shí)a=-1,6=1.F'(X)=J~?,；∣------,則/(-

2)=?L*0,與Ax)在(-8,—1)上遞增不符?B項(xiàng)中F(X)的定義域?yàn)閧x∣xW±1},f

P'{V,2X1)p'Γ(V])22]r—

(X)=-----(9_])二-=----1----------------,若ff(x)〉0,則點(diǎn)一1或一1<%<1-短或x>l+

√2,此時(shí)/'(才)在各對(duì)應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意.同理可檢驗(yàn)C,D不符.故選B.

IL(2021?四川攀枝花市第二次統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),滿足Xr(x)

_2

exL§32

+2f(x)=;,且F(l)=e,已知d=(2斕),b=ln-,C=Sin『則()

A./(c)<∕(a)<∕(?)

B./(a)<∕?(?)<∕(c)

C.Λ?)<∕(a)<∕'(c)

D./(c)<∕(?)<∕(a)

答案A

X

解析,：Xf(x)+2f(X)=亙，.?/f,(x)+2Xf(X)=e',ΛI(xiàn)xf{x}],=er,Λxf(x)

X

xv(X—2)

=er+∕zz,又F(I)=e,則e=e+〃，解得勿=O,Λf(x)=~e^,f(X)=-e--------------,,x∈(0,

_2_1

3313

2)時(shí)，ff(Λ)<0,F(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，而2=(2啦)=8=-,b=ln?<lny∣e=

I312π121

5且rllIn->0,ΛO<ZK-,C=Sinτ>si∏-=τKsin-<l,.β.~<c<l,.?Ka<c??f(c)<f(a)<f(H)

乙乙乙JO乙O/99

故選A.

12.已知函數(shù)f(x)=xsinA?+COSx+x,則不等式f(lnx)+Zln^θ<2f(l)的解集為

()

A.(e,+∞)B.(0,e)

C.(0,^^U(1,e)D.(，,ej

答案D

解析因?yàn)閒(x)—Xsinx+cosx+x2是偶函數(shù)，所以/(InJ=Z'(—Inx)—/(Inx),

所以∕,(lnx)+(InT)<2∕,(l)可變形為f(lnx)<F(l).f(x)=xcosx+2x=x(2+cosx),

因?yàn)?+cosx〉0,所以當(dāng)x>0時(shí)，f(%)>0,當(dāng)KO時(shí)，f(X)<0,所以f(x)在(0,+∞)

上單調(diào)遞增，在(一8,0)上單調(diào)遞減，所以f(lnx)<f(l)等價(jià)于一IQn水1,所以乂Ke.

e

X

13.函數(shù)/Xx)=l-的單調(diào)遞減區(qū)間是

InX------------

答案(O,1)和(Le)

In%—1Inχ-l<O,

解析由「32<0得

(Inx)InA?！?,

解得O<x<l或l<Ke..?.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(O,D和(1,e).

14.(2022?河南洛陽摸底)若函數(shù)尸一;f+aχ有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

O

是.

答案(0，+∞)

解析y'=-χ-?-a,y=-1?+ax有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則方程一/+a=。應(yīng)有兩個(gè)不等

?

實(shí)根，故a>0.

1-L?2Γl、

15.若函數(shù)f(x)=∕+?LY工在[],+∞J匕是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案y，+8)

解析由已知得，f'(x)=2x+a-士，若函數(shù)f(x)在1，+8)上是增函數(shù)，則當(dāng)

XL3)

x∈τ,÷o°∣B't,2x+a—±20恒成立，即a2"?-2x恒成立，即a2佶-2才],設(shè)U(X)

y)XXV/max

=A-2%,+ooj,則u'(X)=?—2<0,即函數(shù)U(X)在京+8卜.單調(diào)遞減，所

以當(dāng)X=；時(shí),,函數(shù)U(X)取得最大值(目=等所以心學(xué)故實(shí)數(shù)a的取值范圍是多+8).

16.(2021?安徽十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)F(X)在R上存在導(dǎo)數(shù)/(x),對(duì)任意的x∈R,有丹一

x)—F(X)=0,且X￡[0,+8)時(shí)，f,(χ)>2x.若f(a—2)—f(a)24—4a,則實(shí)數(shù)a的取值

范圍為.

答案(一8,1]

解析設(shè)C(X)=F(X)則G，(?)=ff(才)一2x,當(dāng)x∈(0,+8)時(shí)，右(x)=∕v(x)

—2x>0,又G(—x)=F(—x)—(―x)"=f(x)—V=G(χ),.?.G(x)為偶函數(shù)，.，.G(x)在[0,+

8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減.由f(a—2)—F?2