分布列.期望與方差

§8.4離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考點(diǎn)2013~2017年2018年2019年2020年2021年2022年合計(jì)全國(guó)地方全國(guó)地方全國(guó)地方全國(guó)地方全國(guó)地方全國(guó)地方全國(guó)地方卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷101.離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差251211022212714102.概率分布列與圖表綜合題32000000001042命題分析與備考建議(1)命題熱度:本專題是歷年高考命題必考的內(nèi)容(),屬于中檔題目,主要是以解答題的形式進(jìn)行考查,分值約為12分,命題多與統(tǒng)計(jì)圖表相結(jié)合,命題的重點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的求解.(2)考查方向:一是求離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望與方差;二是分布列、期望與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用;三是利用分布列、期望與方差進(jìn)行決策或分析,此類試題的閱讀量大,綜合性較強(qiáng).(3)明智備考:一是要熟練掌握離散型隨機(jī)變量的取值,確定其對(duì)應(yīng)的事件,這是解決此類問題的基礎(chǔ);二是要學(xué)會(huì)數(shù)據(jù)的提取與分析,這也是學(xué)科素養(yǎng)的要求;三是要學(xué)會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)做出判斷與決策.要精準(zhǔn)把握命題意圖,找到解題的金鑰匙().(4)主編提示:該部分屬于高考必考內(nèi)容,命題的關(guān)注點(diǎn)在于以現(xiàn)實(shí)生活中的統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)為情境下的離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的求解,熱點(diǎn)是決策性問題,考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng),高三備考,抓準(zhǔn)命題的變化方向是關(guān)鍵,不能偏離啊!!!考點(diǎn)101離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差1.(2018·浙江,7,4分,難度★★★)設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P1?1p則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí),()A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小2.(2022·浙江,15,6分,難度★★★)現(xiàn)有7張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張,記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=,E(ξ)=.

3.(2021·浙江,15,6分,難度★★★)袋中有4個(gè)紅球,m個(gè)黃球,n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球,記取出的紅球數(shù)為ξ,若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13,則m-n=,E(ξ)=4.(2020·浙江,16,6分,難度★★★)盒中有4個(gè)球,其中1個(gè)紅球,1個(gè)綠球,2個(gè)黃球.從盒中隨機(jī)取球,每次取1個(gè),不放回,直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=;E(ξ)=.

5.(2022·全國(guó)甲,理19,12分,難度★★★★)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.命題意圖本題考查隨機(jī)事件的概率和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.考查獲取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.1.利用互斥事件、事件的獨(dú)立性求概率.2.利用互斥事件、事件的獨(dú)立性求離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.6.(2022·北京,18,14分,難度★★★★)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上,只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù),估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX;(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)7.(2021·全國(guó)新高考1,18,12分,難度★★★★)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計(jì)得分,求X的分布列;(2)為使累計(jì)得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.8.(2021·北京,18,13分,難度★★★)在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指:先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒,則檢測(cè)結(jié)果為陰性,得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性,檢測(cè)結(jié)束;如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒,則檢測(cè)結(jié)果為陽性,此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果,檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè),假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒,并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.(1)將這100人隨機(jī)分成10組,每組10人,且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).①如果感染新冠病毒的2人在同一組,求檢測(cè)的總次數(shù);②已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為111.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望(2)將這100人隨機(jī)分成20組,每組5人,且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù),試判斷數(shù)學(xué)期望EY與(1)中EX的大小.(結(jié)論不要求證明)9.(2019·天津,理16,13分,難度★★★)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.10.(2018·全國(guó)1,理20,12分,難度★★★★)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?11.(2017·全國(guó)3,理18,12分,難度★★★★)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?考點(diǎn)102概率分布列與圖表綜合題1.(2022·全國(guó)新高考2,19,12分,難度★★★★)在某地區(qū)進(jìn)行某種疾病調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡,得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)(2)估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病患者年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的16%,從該地區(qū)任選1人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率(精確到0.0001).2.(2017·北京,理17,13分,難度★★★★)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時(shí)間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ;(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)3.(2016·全國(guó)1,理19,12分,難度★★★★)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(3)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?4.(2016·全國(guó)2,理18,12分,難度★★★★)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.解(1)設(shè)A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)設(shè)B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%