2023-2024學(xué)年河北省衡水市棗強(qiáng)縣棗強(qiáng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學(xué)年河北省衡水市棗強(qiáng)縣棗強(qiáng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知點(diǎn)A為雙曲線V—/=i的左頂點(diǎn)，點(diǎn)5和點(diǎn)。在雙曲線的右分支上，AABC是等邊三角形，則AABC的面

積是

A.BB,正

32

C.3A/3D.6V3

2.等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為正數(shù)，其前"項(xiàng)和為S”.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有。

A.若S“有最大值，則數(shù)列｛4｝的公差小于0

B.若4+%3=°，則使E,>0的最大的n為18

C.若為〉°，%+%o<°，則｛S“｝中￡最大

D.若名〉。，。9+%0<°，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)

3.定義在尺上的函數(shù)〃無(wú)）的導(dǎo)函數(shù)為/'（x）,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有/（%）>/'（%）,且〃龍）+1

為奇函數(shù)，則不等式/（%）+/<0解集是

A.（YO,0）B.（0,+oo）

4.已知牡〃是兩條不同的直線，。，分是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是O

A.若加//“，〃//1，則〃z//eB若mlla,ml10,則。//月

C若mlla,m工/3,則T）若a10,m//a,n/10,貝!

22

5.已知雙曲線云=1（?！?/〉0）左右焦點(diǎn)為月，F(xiàn)2,過(guò)&的直線與雙曲線的右支交于P,。兩點(diǎn)，且

PF2=2F2Q,若△「口耳為以。為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）

A.幣B.-^2

C.叵D.73

3

6.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫面，-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C：

（匹+）為四葉玫瑰線.

y23=16X2y2

①方程（V+V）3=i6x2y2（孫＜0）表示的曲線在第二和第四象限；

②曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過(guò)2；

③曲線c構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于4兆；

④曲線C上有5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.

則上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2

C.3D.4

7.已知向量a=(—L2,l),Z?=(l,l,-1),則以下說(shuō)法不正確的是()

A.tzlZ?B.|a|〉W

C.cos(a+b,a,)=D.|a+Z?|=|a-&|

22

8.已知方程上一+工=1表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，貝〃的取值范圍

10-//-4

A.(4,7)B.(4,7)1.(7,10)

C.(7,10)D.(4,10)

9.已知命題p：VneN*,n2>n-l>則命題p的否定可為。

A.VnGN*>YT<n-ln2<n-l

C.BneN*?rr<n—1D.3neN*,rr<n—l

10.在空間直角坐標(biāo)系。-孫Z中，已知點(diǎn)”是點(diǎn)N（3,4,5）在坐標(biāo)平面O町內(nèi)的射影，則的坐標(biāo)是（）

A.（3,0,5）B.（0,4,5）

C.（3,4,0）D.（0,0,5）

11.已知函數(shù)八％）的導(dǎo)函數(shù)為1（%）,若y=/'（X）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/（x）的圖象可能是（）

12.已知?jiǎng)又本€/：x+my-2=0的傾斜角的取值范{圍n是n匕\,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是。

I3J

C.$1D.（1,V3）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.狄利克雷（Dirichlet,PeterGustavLejeune,1805~1859）是十九世紀(jì)德國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析

l,xeQ

和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn).狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù)，，D（x）=若/（無(wú)）=2工，根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求

0,xe^Q

/[D（V2022）]=.

22

14.已知橢圓=+2r=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為月、工，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)4、8在橢圓上，且滿足

ab

JTJT

|A3|=|片閶，若令N耳鉆=。且,則該橢圓離心率的取值范圍為

15.設(shè)Sn是等差數(shù)列｛詼｝的前“項(xiàng)和，若數(shù)列｛%｝滿足an+SnUA/+BM+C且A>0,則工+8-C的最小值為

A

16.已知直線4：x=-1,l2:y=x+l,P為拋物線C:/=4x上一點(diǎn)，則P到這兩條直線距離之和的最小值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）用長(zhǎng)度為80米的護(hù)欄圍出一個(gè)一面靠墻的矩形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地，如圖所示，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地的一條邊記為x（單位:

米），面積記為S（單位：平方米）

墻

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系;

（2）求S的最大值

18.（12分）已知在長(zhǎng)方形A3C。中，AD=2AB=2y/2,點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，沿BE折起平面ABE,使平面ABEL平

面BCDE.

（1）求證：在四棱錐中，ABLAC.

（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)尸，使二面角的余弦值為好？若存在，找出點(diǎn)尸的位置；若不存在，說(shuō)明理

5

由.

19.（12分）已知橢圓C對(duì)稱中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且B—與1兩點(diǎn)

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)M、N分別為橢圓與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，P為橢圓上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)S,

直線PN與x軸交于點(diǎn)T,求證：四邊形MSTN的面積為定值

20.（12分）如圖，直角梯形AEfB與菱形所在平面互相垂直，AE〃班AELAB,AB^AE=2,BF=1,

/ABC=120°,M為40中點(diǎn).

(1)證明：直線5M〃面。底尸；

(2)求二面角"—EC—E的余弦值.

21.(12分)已知A,3兩地的距離是130加.根據(jù)交通法規(guī)，A,3兩地之間的公路車速v(單位：km/h)應(yīng)滿

(尤3、

足丫目50,100].假設(shè)油價(jià)是7元/乙以或加/〃的速度行駛時(shí)，汽車的耗油率為3+—L/h,當(dāng)車速為80碗/〃時(shí),

Ik)

汽車每小時(shí)耗油13L,司機(jī)每小時(shí)的工資是91元.

(1)求女的值；

(2)如果不考慮其他費(fèi)用，當(dāng)車速是多少時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低？

22.(10分)某校從高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，將其成績(jī)分成[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100]的5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中工的值；

(2)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

(3)若成績(jī)?cè)赱50,60)內(nèi)的學(xué)生中男生占40%.現(xiàn)從成績(jī)?cè)赱50,60)內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行分析，求2人中恰

有1名女生的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】設(shè)點(diǎn)3在x軸上方，由AABC是等邊三角形得直線AB斜率左=3.

3

又直線過(guò)4（-1,0）點(diǎn)，故方程為了=￥^+^.

代入雙曲線方程V-y=1,得點(diǎn)3的坐標(biāo)為（2,6）.

同理可得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,-』）.

故AABC的面積為［2-（-1）］G=3石，選C.

2、B

【解析】由s“有最大值可判斷A；由0+43=佝+40=0,可得出〉0，%0<°，利用S18=%；弓°義18可判斷

BC；%〉0,。9+%0<°得％〉°，|?g|=?9<-ai0=|a10|,

可判斷D.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,TS"有最大值，二等差數(shù)列｛4｝一定有負(fù)數(shù)項(xiàng)，

.?.等差數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，故公差小于0,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,V&+%3=。9+%0=°，且。1〉0,

。9〉0,旬〈0,

.\S17=17?9>0,%=殳1-18=0,

則使S〃>o的最大的〃為17,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,,:%〉0，。9+。10<0，

丹〉0,q（）<0,

故｛S,｝中S9最大，故選項(xiàng)c正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,Va9>Q,佝+%o<0，

?*.o9>0,\ag\=ag<-al0=|a10|,

故數(shù)列｛|。」｝中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)，故選項(xiàng)D正確.

故選：B.

3、B

【解析】設(shè)g(x)=/^.由〃%)〉廣(%)，得=故函數(shù)g(x)在尺

ex(e]e

上單調(diào)遞減.由/(%)+1為奇函數(shù)〃o)=—I,所以g(o)=*=—l.不等式/(x)+/<0等價(jià)于歲<—1,

即g(x)<g(。)，結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性可得x>0,從而不等式/■(%)+6、<。的解集為(0,+0)),故答案為B.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【方法點(diǎn)晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題.常

見(jiàn)的構(gòu)造思想是使含有導(dǎo)數(shù)的不等式一邊變?yōu)?，，?(%)>/'(x)得——?一「，，當(dāng)是形如，?.：「時(shí)

構(gòu)造g(x)=〃：)；當(dāng)是，?一、時(shí)構(gòu)造遍前=￡，*?一‘，在本題中令g(x)=/^,(：).從而求導(dǎo)

flV<：u,從而可判斷=g單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集

4、C

【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案

【詳解】解：對(duì)于A：若，〃//",〃//&,則機(jī)//1或mutz,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若mlla,ml1/3,則。///或。與￡相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若加//以加，，，根據(jù)面面垂直的判定定理可得故C正確；

對(duì)于D：若戊_1尸,加//。,〃///則加與〃平行、相交、或異面，故D錯(cuò)誤；

故選：C

5、C

【解析】由雙曲線的定義得出尸耳。中各線段長(zhǎng)(用。表示)，然后通過(guò)余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心

率

【詳解】由題意耳閶=|PQ|—|Q閭=|尸閭=2a,

又PFa=2FQ,所以|叫=a,從而4|=3a,|尸制=4a,|P9=3a,

△尸片心中，cos/4產(chǎn)工=(4a)2+(2.)2—(2c)2=5〃二片,

2X4QX2〃4a2

咫Q中產(chǎn)I_2_a__2f

3a3

所以正J=2,7/=3C2,所以e=￡=4H,

4a23a3

故選：C

6、B

【解析】對(duì)于①，由孫<0判斷，對(duì)于②，利用基本不等式可判斷，對(duì)于③，以。為圓心，2為半徑的圓的面積與曲

線C圍成的面積進(jìn)行比較即可，對(duì)于④，將必+/=4和（/+,2）3=16/3；2聯(lián)立，求解出兩曲線的切點(diǎn)，從而可判

bkr*

斷

【詳解】對(duì)于①，由肛V。，得羽丁異號(hào)，方程（X2+/）3=16%2,2（孫<0）關(guān)于原點(diǎn)及產(chǎn)工對(duì)稱，

所以方程（/+產(chǎn)）3=16/y2（到〈0）表示的曲線在第二和第四象限，所以①正確，

22『十"22

對(duì)于②,因?yàn)閄+y>2xy（x>0,丁〉0）,所以孫（，所以（/+/y=仄/產(chǎn)<i6.d=4（x+/）,

-24

所以/+/<4,所以由曲線的對(duì)稱性可知曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過(guò)2,所以②正確，

對(duì)于③，由②可知曲線C上到原點(diǎn)的距離不超過(guò)2,而以。為圓心，2為半徑的圓的面積為4萬(wàn)，所以曲線C構(gòu)成的四

葉玫瑰線面積小于4%,所以③錯(cuò)誤，

對(duì)于④，將好+/=4和（/+必）3=16/,2聯(lián)立，解得了2=,2=2,所以可得圓一產(chǎn)+丁=4與曲線C相切于點(diǎn)

（也,也）,（-72,72）,（-叵-回,（、￡-JI）,而點(diǎn)（1,1）不滿足曲線方程，所以曲線在第一象限不經(jīng)過(guò)任

何整數(shù)點(diǎn)，由曲線的對(duì)稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過(guò)任何整數(shù)點(diǎn)，所以曲線C上只有1個(gè)整點(diǎn)（0,0）,所以④錯(cuò)

誤，

故選：B

7、C

【解析】可根據(jù)已知的。和b的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算向量數(shù)量積、向量的模，即可做出判斷.

【詳解】因?yàn)橄蛄縜=（—L2,l）,b=（1,1-1）,所以a?6=—lxl+2xl+lx（—l）=0,故。，人，所以選項(xiàng)A正確;

H=J（-1）2+22+12=痣,|&|=712+l2+（-l）2=^3,所以同〉W，故選項(xiàng)B正確；a+b=（0,3,0）,所以

COs（a+b,a）=^^=^==^-^^-）故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；?-/,=（-2,1,2）,所以,+4=3,卜一4=3,故

|a+Z>|=|a-Z?|,所以選項(xiàng)D正確.

故選：C.

8、A

【解析】根據(jù)條件，列出滿足條件的不等式，求『的取值范圍.

【詳解】曲線表示交點(diǎn)在x軸的橢圓，

7-4>0

10-/>0,解得：4<Z<7.

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置求參數(shù)的取值范圍，意在考查基本概念，屬于基礎(chǔ)題型.

9、D

【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.

【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得：

命題“P：VHeN,,7,>“—i”的否定式為“m〃eN*，rr<n-\n.

故選：D.

10、C

【解析】點(diǎn)在平面。町內(nèi)的射影是工丁坐標(biāo)不變，z坐標(biāo)為o的點(diǎn).

【詳解】點(diǎn)N（3,4,5）在坐標(biāo)平面。町內(nèi)的射影為（3,4,0）,故點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3,4,0）

故選：c

11、D

【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0,原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0,原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：龍>0時(shí)，/'（龍）<0,所以/（X）在（一8,0）單調(diào)遞減，

排除選項(xiàng)A、B,

當(dāng)光>0時(shí)，尸（九）先正后負(fù)，所以"％）在（0,+。）先增后減，

因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C,

故選:D.

12、B

【解析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可得1＜-1＜石，即可求機(jī)的范圍.

m

【詳解】由題設(shè)知：直線斜率范圍為(1,6)，即1＜-,〈百，可得一1＜根＜—走.

m3

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式，先求出。(、/55五)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)/*)的解析式求力。(、/^五)]即可.

【詳解】由題設(shè)，D(V2022)=0,則/[D(J2022)]=/(O)=2°=1.

故答案：1

【解析】由|AB|=|耳引得小沔鳥(niǎo)為矩形，則BK=2Lsine,AK=2c-cos9=BK，故e='=——-——，結(jié)

asin夕+cos6

合正弦函數(shù)即可求得范圍

【詳解】由已知可得AB=2c,且四邊形入耳5月為矩形

所以BF]=2c-sin0,AFX=2c-cos6-BF2,

又因?yàn)閙+5耳=2%所以2c?sine+2c?cos6=2a

e—_c—______1_____]

得離心率asin0+cos6A/2sin[e+：

7171jr7171,可得sin.+i]^-^-,1

因?yàn)楣?'5

15,273

【解析】因?yàn)椋梗秊榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d,由a“+S”=A"2+B〃+c,

=2

得ai+(n—l)d+na\+gn(n—l)d=an-^SnAn+Bn+C9

即—?—_4)層+(〃1+——B)n+(ai—d—C)=0對(duì)任意正整數(shù)n都成立

22

所以^-(d—4)=0,ai+—d—B=0f訪一d—C=0,所以A=^-d,B=ai+—d9C=a1—d,所以

2222

3A-B+C=0.—+B-C=—+3A>2J3.

AA

16、V2

【解析】過(guò)P作垂足分別為M,N,由直線4為拋物線的準(zhǔn)線，轉(zhuǎn)化1PMi+|/W|=|PN|+|PF|,當(dāng)

MP,廠三點(diǎn)共線時(shí)，IPNI+IP可取得最小值

【詳解】過(guò)P作加，乙,尸N，/2，垂足分別為

拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為b(1,0)

直線4：x=T為拋物線的準(zhǔn)線

由拋物線的定義，1加1=1%I

故|尸河|+|PN|=|尸N|+|PF|,當(dāng)N,P,尸三點(diǎn)共線時(shí)，|PN|+|P可取得最小值

11-0+11f-

故最小值為點(diǎn)R到直線4的距離：并+『=母

故答案為：0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)S=80X-2X2,(0<X<40)

(2)800平方米

【解析】(1)由題意得矩形場(chǎng)地的另一邊長(zhǎng)為3。_2、)米，通過(guò)矩形面積得出S關(guān)于％的函數(shù)表達(dá)式；

(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值即可

【小問(wèn)1詳解】

解：由題意得矩形場(chǎng)地的另一邊長(zhǎng)為-3_米，

又80-2%>0,得40>x>0,

所以S=x(80-2x)=80X-2X2(0<x<40)

【小問(wèn)2詳解】

解：由(1)得S=80x—2/=一2(%—20y+800,(0<x<40),

當(dāng)且僅當(dāng)尤=20時(shí)，函數(shù)取得最大值800平方米

18、(1)證明見(jiàn)解析

(2)點(diǎn)歹為線段AC的中點(diǎn)

【解析】(1)由平面幾何知識(shí)證得CELBE,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)可得證；

(2)取3E的中點(diǎn)O,以。為原點(diǎn)，分別以0AEC的方向?yàn)檠据S，了軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在線段

AC上存在點(diǎn)凡設(shè)AR9AC，運(yùn)用二面角的向量求解方法可求得X,可得點(diǎn)F的位置.

【小問(wèn)1詳解】

證明：因?yàn)樵陂L(zhǎng)方形中，AD=2AB=2版,點(diǎn)E是40的中點(diǎn)，所以BE=CE=2,又BC=2叵,所以

BC2=BE2+EC-，所以CELBE,

又平面平面BCDE,面ABE面5CDE=,所以CEJL平面A3E,所以A3_LCE.又A3JLAE,AEICE=E,

所以平面AEC,即得AB_LAC.

【小問(wèn)2詳解】

解：存在點(diǎn)凡b為線段AC的中點(diǎn).

由（1）得AABE和ABEC均為等腰直角三角形，取5E的中點(diǎn)。，則又平面ABEL平面8C0E,面

面BCDE=BE,所以49,面3C￡＞￡,

以。為原點(diǎn)，分別以。1,08,EC的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，取平面A8E的一個(gè)法向

量為m=（0,1,0）.

則A(0,0,1),B(1,0,0),C(-1,2,0),E(-1,0,0),EA=(1，0,1),AC=("，2,-1),

設(shè)AF=2AC，則而=EA+7AC=(1」，27,1-2),又EB=(2,0,0),

n-EF=0(l-A)x+22y+(l-2)z=0

設(shè)平面5E尸的法向量為〃=（%,y,z）,可得＜,即得2x=o'可取得

n-EB=0

mn1

解得上稱,

所以cos<mn>=\m\\n\[—22

如z門x25，

即當(dāng)點(diǎn)尸為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，二面角A-BE-F的余弦值為鼻.

19、(1)/+2_=1

4

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）設(shè)橢圓方程為e2+改2=1（加＞0,〃＞0）,利用待定系數(shù)法求得私”的值，即可得出答案；

（2）設(shè)升＜0,1）,yoe（O,2）,易得4/2+為？=4,分別求出直線PM和直線PN的方程，從而可求

出S,T的坐標(biāo)，再根據(jù)SSMNT=J"T||SN|即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：依題意設(shè)橢圓方程為爾?+盯2=1（加＞0,〃＞0）,

z、/r-x—m+3n=l

將公(,6),B--,1代入得,；,

[4

解得得m=1,n=—,

4

2

...所求橢圓方程為必+乙=1;

4

【小問(wèn)2詳解】

證明：設(shè)尸(如為),^￡(0,1),yoe(O,2),M(-l,O),2V(O,-2),

產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)滿足好+匯=1,即442+為2=4,

4

』7(%+1),可得S0,」^

直線PM：>=

%+1Ix0+l)

c%+2

直線尸N：y+2^——%,可得T

%3小

1-^+2

21%+2毛+1

1(2%+為+2『

2(%+2)(%o+1)

:14/2+4/%+8%+為2+4%+4

2xQyQ+2xQ+y0+2

二14(/%+2工0+%+2)—

2/為+25+為+2-

20、(1)證明見(jiàn)解析

⑵等

【解析】(D由平面AEFB_L平面A5C。，可得AE1.平面A5C。，連接5。，可得5NLAD,以M為原點(diǎn)，MB,MD

為尤,V軸，豎直向上為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算3M與平面。石尸的法向量勺=(%，X，zJ的數(shù)量積

為0即可得證;

UU111

(2)分別計(jì)算出平面MEC和平面EC尸的法向量%=(%,%*2),生=(x3,y3,z3),然后利用向量夾角公式即可求

解.

【小問(wèn)1詳解】

證明：因?yàn)槠矫鍭EFB_L平面A3。，平面AEFEc平面43cz>=AB,且AELAB,

所以平面ABC。，連接50,則△ABZ）等邊三角形，所以HMLAD,

以M為原點(diǎn)，M3,地為尤,丁軸，豎直向上為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,-1,0),6(73,0,0),C(A2,0),D(0,l,0),E(0,-l,2),F(50,1),設(shè)4=(/%,zj為平面DEF的法向量,

uuiuuumDE?〃]=()J

因?yàn)镈E=(0,—2,2),DE=(后—1,1)，則有》c，取々=(0,LD，

Dr?4=U

ULILLUUULL

又因?yàn)锽M=(-73,0,0).所以BMny=0,

因?yàn)楦甎平面OEF,所以BM〃平面。石尸；

【小問(wèn)2詳解】

UU111

解：分別設(shè)%=（々，％，z2），%=（無(wú)3，，3，Z3）為平面MEC和平面ECF的法向量,

UULUULIULME?a=0皿

因?yàn)镸E=(0,-1,2),MC=(百,2,0)，則有＜取巧=1,26,回

UUU—ULUEC?%=0皿/-1-

因EC=(V