2024年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷及答案

2024年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷

2024.01

一、填空題（本大題共12題，滿(mǎn)分54分，第1?6題每題4分，第772題每題5分）

1.函數(shù)危尸10g2%的定義域?yàn)?/p>

2.直線(xiàn)工-產(chǎn)1=0的傾斜角為

2—

3.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足——=i（i為虛數(shù)單位），則z=________

1+i

4.在（X-1）6的二項(xiàng)展開(kāi)式中，一項(xiàng)的系數(shù)為

5.在A(yíng)/8C中，若8c=2,ZA=45°,Z5=30°,則/C=

6.在等差數(shù)列｛斯｝中，a?=n+c,S“是數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，若S7<0,則c的取值范圍是

7.已知實(shí)數(shù)ab=l,則4a2+9〃的最小值為

8.在△NBC中，AB=5,AC=1,BC=6,若以B、C為焦點(diǎn)，且過(guò)A點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的離心率

f（x）,x>0

9.已知g(x)=<，貝Ig（x）W2-x的解集為.

x）,尤〈。

10.在棱柱/8CD-48C1A中，底面/BCD為平行四邊形，|/4|=3,|8。|=4,且

AD]-DC=5,則異面直線(xiàn)AAi與BD的夾角為

11.已知正方形展區(qū)邊長(zhǎng)為1.2?，￡距/8、的距離都為0.2而?，尸距8C、CD的

距離都為0.4?！?，若有一個(gè)圓形跑道經(jīng)過(guò)￡、尸兩點(diǎn)，且與工。只有一個(gè)交點(diǎn)，則圓形跑道

的周長(zhǎng)為_(kāi)_________

12.已知ai=2,02=4,的=8，04=16,若對(duì)任意實(shí)數(shù)bi、厲、加、友均滿(mǎn)足

｛a7.+ay|l<z<j<4｝=｛Z?;+Z?7|l<z<j<4｝,則有序數(shù)組彷也,加"｝有個(gè)

二、選擇題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分）

13.已知a、b、ceR,b>c,則下列不等式恒成立的是（

A.a+b^a+c2B.a2+b>a2+c

C.ab2>ac2D.a1b>a1c

14.空間中有兩個(gè)不同的平面a、P，兩條不同的直線(xiàn)加、n,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a_L￡,m_Lot,nl.fi,貝！）B.若a_LB,m_Lot,mA-n,貝!J

C.若a//8,機(jī)//a,nllf）,則〃D.若a//3,mlla,mlIn,貝！J〃//￡

15.有四個(gè)禮品盒.已知前三個(gè)禮品盒中分別只裝了一支鋼筆、一本書(shū)以及一個(gè)筆袋，第四

個(gè)盒子中鋼筆、書(shū)、筆袋都有.現(xiàn)隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，事件/為抽中的盒子里面有鋼筆，事

件B為抽中的盒子里面有書(shū)，事件C為抽中的盒子里面有筆袋則下面正確的選項(xiàng)是（）

A.A與B互斥B.A與B相互獨(dú)立

C.N與2UC互斥D.Z與5DC獨(dú)立

16.若函數(shù)卡/任）（^^（〃,〃+1）,〃6田滿(mǎn)足加+上/5。），則稱(chēng)函數(shù)產(chǎn)/（X）為延展函數(shù)，已知延

展函數(shù)y=g（x）和函數(shù)產(chǎn)力（x）,滿(mǎn)足當(dāng)xG（O,l）時(shí)，g（x）=e\h（x）=x10,給定以下兩個(gè)命題：

①存在函數(shù)（鼠b^R,#0）與y=g（x）有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)2

②存在函數(shù)v=H+貼、bGR,#0）與尸砥v）有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)則正確的選項(xiàng)是（）

A.①是真命題，②是真命題B.①是假命題，②是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）

71

17.已知於尸sin（0x+§）o

（1）若0=1,當(dāng)xG[0,7r]時(shí)，求產(chǎn)於）的值域；

（2）已知心力（aGR）,且兀c）的最小正周期為萬(wàn)，若加）在xe阮團(tuán)上有三個(gè)零點(diǎn)，求。的取

值范圍。

18.如圖，PA,PB、PC為圓錐的三條母線(xiàn)，且4B=/C。

⑴證明：PALBC；

⑵若圓錐的側(cè)面積為百元，3c為底面直徑，BC=2,求二面角尻弘-C的大小。

19.共有136箱水果，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱。

(1)從中隨機(jī)挑出兩箱水果，則一級(jí)果、二級(jí)果各一箱的概率；

(2)按分層抽樣抽出8箱水果，求一級(jí)果、二級(jí)果各幾箱；

(3)抽出若干箱水果，其中，一級(jí)果120個(gè)，單果的平均重量為303.45克，方差為603.46;

二級(jí)果48個(gè)，單果的平均重量為204.4克，方差為648.21;求168個(gè)水果的平均數(shù)與方差并

預(yù)估果園中水果的單果質(zhì)量。

22

20.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)/為圓「:土+匕=1上一點(diǎn)，分、尸2分別為橢圓的

62

左、右焦點(diǎn).

⑴若點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為2,求|/冏的長(zhǎng)；

(2)設(shè)「的上、下頂點(diǎn)分別為Mi、M2,記的面積為N，△/河1跖的面積為出，若

Si>S2,求的取值范圍；

(3)在x軸上方，設(shè)直線(xiàn)/%與「交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)K,延長(zhǎng)線(xiàn)與「交于點(diǎn)C在

x軸上方是否存在點(diǎn)C,使得￡A+月3+月。=；1(64+耳3+EC)(2GR)成立?若存在，

請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

21.對(duì)于定義在R上的函數(shù)人x),記集合={/,=/(x)—之。}

La={t\t=f(x)-f(a),x<a}

(1)若於)=/+1,求M(l)和〃1);

(2)若於尸X33?，求證:對(duì)任意“GR,都有0[-4,+8),且存在a使得-4GM(a)；

(3)已知定義在R上的函數(shù)/)有最小值，證明：7(x)是函數(shù)”的充要條件為“對(duì)任意cGR,

都有M.C=L^

參考答案

一、填空題

71

1.(0,+8)2.—3.-1-Z4.155.72

4

5

6.(-oo,-4)7.128.3爾-鞏1)10.arccos—

12

11.2.7312.48

二、選擇題

13.B14.A15.B16.D

三、解答題

「6「「7〃17萬(wàn)、

17.(1)[---,1];(2)°

236

18.(1)略；