中考數(shù)學知識點與經典題型練習 全等三角形與矩形翻折模型(解析版)

專題05全等三角形與矩形翻折模型

【模型展示】

【模型變換】

特點

在矩形ABCD中，E、F分別為邊BC、AD上的任意點，連接EF,將四邊

,,

形CDFE沿著EF翻折得到CDFE,o

(1)?CED^?C,ED,;

結論(2)四邊形EDFD’為菱形；

(3)C、E、D'三點共線，且C'D〃FD'。

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=4,BC=6,將AABC沿AC折疊，使點8落在點E處,

CE交AD于點F,則。尸的長等于（）

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊的性質得到AE=A8,NE=N8=90。，易證AAEFg△8凡即可得到結論

EF=DF;易得FC=FA,設Λ4=x,則FC=x,FD=6-x,在Rr△CQF中利用勾股定理得到關于

X的方程∕≈42+(6-χ)2,解方程求出尤.

【詳解】解：；矩形ABCO沿對角線AC對折，使AABC落在AACE的位置，

.".AE=AB,NE=NB=ZD=90。，

又Y四邊形ABCQ為矩形，

.?AB=CD,

.?AE=DC,

KUZAFE=ZDFC,

丁在^AEF與ACQF中，

ZAFE=ZCFD

<NE=ND

AE=CD

：.∕?AEF^?CDF(AAS),

.,.EF=DFi

?；四邊形ABC。為矩形，

.?.AD=8C=6,CQ=AB=4,

V?AEF^?CDF,

.".FC=FA,

設陰=x,則FC=X,FD=6-χ,

在RtACDF中，CF2=CD2+DF2,

13

即N=42+(6-冗)2,解得元=§,

貝UFQ=6-X=2.

3

故選：B.

【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應邊相等.也考

查了矩形的性質和三角形全等的判定與性質以及勾股定理.

2.如圖，將矩形紙片ABa）折疊（Ar）＞AB）,使A3落在AZ）上，AE為折痕，然后將矩

形紙片展開鋪在一個平面上，E點不動,將8E邊折起,使點B落在AE上的點G處,連接DE,

若DE=EF,CE=I,則AO的長為（）

A.l+√2B.2+√2C.2√2D.4

【答案】B

【分析】證明心△E8尸力RAEBTJ推出BF=08',再證明。8'=EC=8尸=1,由直

角三角形的性質求出49，則可得結論.

【詳解】解：由翻折的性質可知，EB=EB',ZB=ZAB'E=ZEB'D=90o,

在RtAEBF和RtAEB1D中，

JEB=EB'

[EF=ED'

：.RtAEBF冬RtAEB'D（HL）,

JBF=DBt

四邊形A8C。是矩形，

NC=NCDB，=ZEB'D=9Qo,

，四邊形ECDs是矩形，

.?DB'=EC=?,

二"=EC=I,

由翻折的性質可知，BF=FG=?,NEG=45。，AAGF=ZB=ZΛGF=90o,

.MG=FG=1,

.'.AF-s∣2-

ΛAB=AB,=l+√2.

.?.AC=A8'+OB'=2+收，

故選B.

【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判

定和性質等知識，解題的關鍵是證明四邊形ECD8,是矩形.

3.如圖，矩形OABC中，OA=4,AB=3,點。在邊BC上，且CC=3OB,點E是邊04

上一點，連接。E,將四邊形ABOE沿Z）E折疊，若點A的對稱點A，恰好落在邊OC上，則

OE的長為（）

B'

【答案】B

【分析】連接AO、AD,根據(jù)矩形的性質得到BC=OA=4,OC=AB=3,NC=NB=NO=90。,

即可求得CD、BZZ根據(jù)折疊的性質得到AD=AD,根據(jù)全等三角形的性質可到A'C=BD=?,

再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】連接A'。、AD,如圖，

：四邊形0A8C是矩形，

：.BC=OA=A,0C=AB=3,NC=NB=No=90。,

<CD=3BD,

.?.CO=3,BD=I,

：.CD=AB,

根據(jù)翻折的性質有：A'D=AD,A!E=AE,

：.在RtAACD和RtXDBA中，CD=AB,A'D=AD,

：.Rt△ACDQRt△DBA(HL),

：.A'C=BD=I,

：.A0=2,

,.,在R3A'OE中，A'O2+OE2=A'E2,

.,.22+OE2=(4-OE)2,

故選：B.

【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質、全等三角形的判定與性質，正確的作出輔助線

是解答本題的關鍵.

4.如圖，在矩形紙片48C。中，AB=5,BC=3,將ABCD沿8。折疊到二阻)位置，DE

E

【答案】c

【分析】先根據(jù)矩形的性質和折疊的性質，利用“AAS”證明Δ4∕TEΔE尸B,得出AF=E尸，

Z)F=BF,設AF=EF=X,則BF=5-x,根據(jù)勾股定理列出關于X的方程，解方程得出X

的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結果即可.

【詳解】解：四邊形ABCQ為矩形，

：.CD=AB=5,AB=BC=3,ZA=NC=90°,

根據(jù)折疊可知，BE=BC=3,DE=DE=5,NE=NC=90°,

ZA=ZE=90°

在^AFD?∣I?EFBΦ-ZAFD=NEFB,

AD=BE=3

/?ΔAFD^AEFB(AAS),

?AFEF,DF=BF,

設A∕=EF=x,則8/=5—X,

在RtABEF中，BF2=EF-+BE1

B∣J(5-X)2=X2+32,

oQ1η

解得：X=-,則Z)P=BF=5-g=不，

,““A。315

.?DF1717，故C正確.

y

故選：C.

【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質，勾股定理，三角函數(shù)

的定義，根據(jù)題意證明ΔAFE匕ΔEE8,是解題的關鍵.

5.如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB=20,BC=4,將紙片沿MN折疊，點"，C’分別是

B,C的對應點，MB，與DC交于K,若AMNK的面積為10,則ON的最大值是（）

A.7.5B.12.5C.15D.17

【答案】D

【分析】作NE_L于E,NRLBM于尸，由折疊得Nl=/2,根據(jù)角平分線的性質得NE

=N凡可得四邊形8。VF是矩形，則NF=BC=4,根據(jù)△MNK的面積為10得NK=MK=5,

根據(jù)勾股定理得KE=3,貝IJM尸=ME=MK-KE=5-3=2,,設DN=x,則CN=20-x,BM

^BF+MF=20-x+2=22-x,由折疊可得BM>KM,即22-x≥5.可得Λ≤17,即可得DN<Π,

則。N的最大值是17.

【詳解】解：如圖所示，過點N作NE,SZM于E,NFLBM于F,

由折疊得Nl=N2,

；.NE=NF,

?；四邊形ABCo是矩形，

：.NB=NC=NBFN=90。,AB//CD,

：.四邊形BCN尸是矩形，/DNM=/2,

；.NE=NF=BC=4,Zl=ZDNM,

INK=MK,

?.,△MNK的面積為10,

.?.IKM?NE=?-KN*NF=10,

：.NK=MK=5,

2

?'?KE=yJκN-NE'=3,

在^MEN和4MFN中，

,Zl=22

"NMEN=NMFN,

ME=NF

：./\MEN學叢MFN(AAS),

：.MF=ME=MK-KE=5-3=2,

設DN=x,則CN=BF=20-x,

.,.βM=BF+MF=20-x+2=22-x,

由折疊得8Λ∕≥KM,即22-χ≥5.

Λx<17,即DN<?1,

的最大值是17.

故選：D.

【點睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，矩形的性質與判定，角平分線的性質，勾股定

理，全等三角形的判定和性質等知識，正確作出輔助線是解題的關鍵.

二、填空題

6.如圖，在矩形紙片ABC。中，4B=6,BC=9,M是BC上的點，且CM=3,將矩形紙

片ABC。沿過點例的直線折疊，使點。落在AB上的點尸處，點C落在點C處，折痕為

MN,則線段4N的長是—.

【答案】4

【分析】連接PM,推出BM=BC-CM=9-3=6,由折疊性質得,CO=PC=6,ZC=ZPCM

=∕P8M=90°,CM=CM=3,由Rl△PBM絲Rt△MC尸(HL),得出尸B=C'M=3,所以

PA=AB-PB=6-3=3.設AN=x,則NQ=9-x=PM在RSAPN中，AN2+AP2=PN2,

即/+32=(9-X)2,求出X的值即可得出答案.

【詳解】解：連接PM,如圖：

N

D

Ct

VAB=6,BC=9,CM=3,

：.BM=Be-CM=9-3=6,

由折疊性質得，CD=Pc=6,NC=NPCM=NPBM=90。,CM=CM=3,

在Rt?PBM和Rt?MeP中，

[PM=PM

↑BM=PC,"

：.Rt?PBM<RSMC,P(HL),

.?PB=CfM=3,

：.PA=AB-PB=6-3=3.

設4V=x,則M)=9-X=PN,

222

在RsAPN中，AN+AP=PNf

即X2+32=(9-x)2,

解得x=4,

,AN的長是4.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了翻折變化、矩形的性質及勾股定理，熟練應用翻折變化的性質及矩

形的性質進行計算是解決本題的關鍵.

7.如圖，在矩形A3。中，點E是邊CD的中點，沿AE所在的直線折疊AAOE落在矩

形內部得到AAFE,延長A尸交BC邊于點G,若￡￡=巳則空的值為_________.

CB7AB

【分析】連接GE,證明尸GAECG(HL),得CG=FG,AD=BC=Ia,表示出AF,

CG,GF,BG,AG的長度，再由勾股定理得AB的長度，即可得出比值.

【詳解】如圖，連接GE,

??在矩形ABCD中，

ΛAD=BC,AB=CD,Zfi=ZC=ZD=90o,

由折疊的性質可知：AD=AF,DE=EF,ZAFE=ZD=ZC=90°.

；點E是邊CD的中點，

.?.DE=CE=-CD.

2

JCE=EF,

乂YEG=EG(公共邊)，

：.一EFGm正CG(HL),

CG=FG,

..CG2

,CB-〒

.?.設AO=3C=74,

則AF=7α,CG=FG=2a,BG=BC-CG=Sa,

.?.AG=AF+FG=7a+2a=9a,

；在用ΛBG中，由勾股定理得：AB2+BG2=AG2,

222

AB=-JAG-BG=y∣(9a)2-(5a)=2√140,

.ADIa√14

【點睛】本題考查折疊的性質，全等三角形的判定與性質及勾股定理，折疊前后的圖形對應

邊、對應角分別相等是解題的關鍵.

8.如圖，在矩形4BCO中，A8=6,AD=S,將此矩形折疊，使點C與點力重合，點。落

在點。處，折痕為EF,則。。的長為.

D

14

【答案】y

【分析】根據(jù)折疊的性質即可求得AO'=CQ=6;連接AG根據(jù)勾股定理求得AC=I0,證得

^BAE^DAF(AAS),根據(jù)全等的性質得：DF=BE,根據(jù)勾股定理列出關于線段3E的

D'F7

方程，解方程求得BE的長，即可求得筌二卷，然后通過證TSz^C4E,利用相似

AE25

三角形的性質即可求得

【詳解】解：Y四邊形ABCo是矩形，

：.AB=CD=6,

r

'：AD=CD1

?"。=6；

連接AC

VAB=6,BC=AD=S,NABC=90。，

，由勾股定理得：AC=?JAB2+BC2=√62+82=10?

VZβAF=ZD,AE=90o,

，NBAE=NDAF,

在aBAE和^OAF中

ZBAE=ZDfAF

,NB=NADF=90。,

AB=ADf

f

?'?ΛBAE^ΛDAF(ASA)f

,

,DF=BE,ZAEB=ZAFDf

：.ZAEC=ZDTDf

由題意知：AE=EC

設BE=x,則AE=EC=8-x,

在RrZkABE中，/8=90。，由勾股定理得:

(8-x)2=62+x2,

解得：X=]

4

.??_77_25

?.BE=-,AE=8-———,

444

,

.BE7rlιlDF7

AE25AE25

??NAD'F=ND'AE=90°,

：.DFHAE1

YDFHEC,

∕?DDF^∕?CAE，

.DDDF_7

ββ^AC-^4E-25,

714

JDD1=-XlO=-,

255

14

故答案為二.

【點睛】本題主要考查了矩形的翻折變換的性質及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用全等

三角形的性質、相似三角形的性質，勾股定理等幾何知識點來解題.

9.如圖，矩形ABCf)中，AB=3√6.fiC=12,E為AD中點.F為AB上一點，^ΛAEF

沿EF折疊后，點A恰好落到C尸上的點G處，則EG=,EF=.

【分析】根據(jù)折疊的性質，即可求EG：連接EC,I1ERtAECG=RfAECD(HL),由勾股定理

即可求EE

【詳解】解：連接CE,

,.?E為AD中點

：.EG=ED=AE=6

在RtAECG和RtAECD中

VEG=ED,EC=EC

.?.RMCG=RtNECD(HL)

：.CG=CD

設AF=X,則CF2=BF2+8C2

BP(3√6+x)2=(3√6-x)2+122

解得：X=2\/6

EF=y]AF2+AE2=《2府+6?=2√15

故答案為：6；2?∕i^5.

【點睛】本題主要考查矩形得性質，三角形的全等，勾股定理，正確做出輔助線是解題的關

鍵.

三、解答題

10.如圖，矩形ABC。中，AB>4D,把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E

處，AE交8于點凡連接DE.

(1)求證：ZADE空XCED；

(2)求證：AOEF是等腰三角形.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質可知Ao=BC、AB^CD,再由折疊的性質，可得BC=CE,

AB^AE,進而可推導4E>=CE,AE^CD,然后由“SSS'證明△A。EgZXCE力即可；

(2)由(1)可知△AOE0ZXCEC,根據(jù)全等三角形的性質可知NOEA=NECC,即NQEF

=ZEDF,即可證明△OEF是等腰三角形.

(1)

證明：(1)：四邊形A8C。是矩形，

：.AD=BC,AB^CD,

由折疊的性質，可得8C=CE,AB=AE,

.?.AO=CE,AE=CZz

在△4。￡：和4CEo中，

AD=CE

AE=CD,

DE=ED

：.?ADE^/^CED(SSS);

(2)

由(1)得AADE坦ACED,

：.ZDEA=ZEDC,即ZDEF=ZEDF,

JEF=DF,

，ZiOEF是等腰三角形.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、等腰工角形

的判定等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵.

11.如圖，將矩形ABC。沿對角線AC折疊，點B的對應點為E,AE與CD交于點、F.

(1)求證：LDAF”XECF；

(2)若/尸CE=40。，求NaS的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZCAB=25°

【分析】(1)由矩形與折疊的性質可得AD=BC=EC,ND=NB=NE=90°,從而可得結

論；

(2)先證明NZMF=NECF=40°,再求解NE4B=NZMfi-NzMF=90。-40°=50。，結合

對折的性質可得答案.

(1)

證明：將矩形48C。沿對角線AC折疊，

則4)=8C=EC,ND=N8=/￡=90°.

在^DAFf∏?Eb中，

ZDFA=NEFC,

"ZD=ZE,

DA=EC,

：.∕?DAF^^?ECF.

(2)

解：?：XDAFQXECF,

,ZZMF=/ECF=40°.

???四邊形ABCQ是矩形，

：.ZDAB=90°.

：.ZEAB=NDAB-NDAF=90°-40°=50°,

?/ZFACZCAB,

：.ACAB=25o.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，軸對稱的性質，矩形的性質，熟練的運用

軸對稱的性質證明邊與角的相等是解本題的關鍵.

12.將矩形ABC。對折，使AD與BC重合，得到折痕EF,展開后再一次折疊，使點A落

在EF上的點4處，并使得折痕經過點8,得到折痕BG,連接AV，如圖1,問題解決：

圖1圖2

(1)試判斷圖1中是什么特殊的三角形？并說明理由;

(2)如圖2,在圖1的基礎上，44'與BG相交于點N,點尸是BN的中點，連接AP并延長交

BA'于點。，求饕的值.

D∕?

【答案】(1)448A'是等邊三角形，理由見解析

⑵鬻4

【分析】(1)等邊三角形，解法-利用垂直平分線性質得出AA1=BA',利用折疊得出54'=BA

即可，解法二：根據(jù)折疊得出BE=JBA,84，=54,NA'EB=90。然后利用銳角三角函數(shù)

BE1

定義得出CoSNA'BE=--=-,求出/4龐=60。即可；

BA2

(2)解法一：過點N作N”〃A8交AP于H,先證Z?PHN名Z^PQB(AAS),再證

△AZ//VS4A0A,得出黑=；即可解法二：由折疊可知4N=4V,由點P是BN的中點，

DAZ

A'MA'NBOBP

得出BP=PN,利用平行線等分性質得出7=_7T7=l,7=677=1.證出

QMANQMPN

BQ=QM=AM即可.

(1)

解：Z?A∕3A'是等邊三角形.

解法'：理由是：由折疊可知EF垂直平分AB：

：.AA'=BA',

'：Z?ABG折疊得△A1BG,

：.BA'BA,

：■AA'=BA'=BA-.

.?.4A84是等邊三角形；

解法理由是：由折疊可知BE=gsA,BA=BA,ZA,ES=90°,

RF1

ΛcosZA'BE=—=-,

BA'2

.?.ZJBE=60°,

?'??AβA,是等邊三角形；

解法一：

過點N作NH//AB交AP于H,

D

：.ZHNP=ZQBPfZNHP=/BOP,

又Y點尸是BN的中點，

???BP=NP,

在^PHN和乙PQ3中，

ZHNP=ZQBP

<NNHP=ZBQP,

PN=PB

：.ΛPHN^ΛPQB(AAS),

.??HN=BQ,

又???NH∕∕A!B,

：.ZANH=ΛAA,Q,ZAHN=AAQA!,

：.ΛAHNcr>ΛAQA,,

由折疊可知AW=AN=-AAf

21

.HNANI

**QA7=A47=2，

.3Q-L

??QA,~2f

....B.Q=-?

BA'3'

解法二：由折疊可知A'N=4N,

又；點尸是BN的中點，

BP=PN,

過點N作NM//AQ交，于M,

.A'MA'N?BQBP?

',~QM~~AN~‘麗一麗一’

.?.BQ-QM=ArM,

.BQ1

??=一.

BA'3

圖2

【點睛】本題考查一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質，線段垂直平分線性質，平行線

等分線段定理，三角形相似判定與性質，銳角三角函數(shù)值求角，掌握一題多解，等邊三角形

的判定，折疊性質，線段垂直平分線性質，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質是

解題關鍵.

13.如圖，在矩形ABeD中，M,N是對角線AC上的兩點，將矩形折疊分別使點B與點M

重合，點。與點N重合，折痕分別為AE,CF.連接EF,交AC于點0.

(1)求證：ZVlBE9Z?COF.

(2)求證：四邊形EC陽是平行四邊形.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質結合折疊證明即可；

(2)由(1)中全等可得AE=C凡再證明AE〃。尸即可.

(1)

???四邊形ABC。是矩形，

ΛAB=CD,∠B=ZD=90o,AB//CD,

：.ABAC=ADCA.

?.?將矩形折疊分別使點8與點似重合，點。與點N重合，折痕分別為AE,CF,

ZBAE=-ZBAC,NDCF=-ZDCA,

22

.?.NBAE=NDCF,

：.ΛABE^ACDF(ASA).

(2)

?/AABE沿ACDF,

：.AE=-CF.

VABAE=Z.CAE,NDCF=ZACF,NBAE=NDCF,

：.ZCAE=ZΛCF,

：.AE//CF,

.?.四邊形ECE是平行四邊形

【點睛】本題考查矩形與折疊、平行四邊形的判定，熟記矩形的性質是解題的關鍵.

14.實踐與探究

如圖①，在矩形488中，AB=]2,AD=↑6.將矩形ABCC沿過點A的直線折疊，使點

。落在矩形ABC。的內部，點O的對應點為點D￠,折痕為AE,再將矩形ABC。沿過點A

的直線折疊，使點B落在邊47上，折痕為AR點B的對應點為點B'.延長FB'交AE于

點G,過點G作直線MZVLAD交Ao于點M,交BC于點M

圖①

(1)求證：ZXAMG注Z?AB'G.

(2)求證：四邊形ABMV/是正方形.

⑶若OE=4,求線段BF的長.

(4)如圖②，將矩形沿即'所在直線繼續(xù)折疊，點C的對應點為點C'.我們發(fā)現(xiàn)，點E的位

置不同，點C’的位置也不同.當點C'恰好與點5'重合時，線段OE的長為.

【答案】(1)見解析；

⑵見解析；

(3)7.2；

【分析】(1)利用折疊性質和全等三角形的判定證明即可；

(2)利用全等三角形的性質和正方形的判定證明即可；

(3)利用正方形的性質得出政V=A8=8N=4M=12,再根據(jù)相似三角形的判定與性質證明

△4W6544?！辏呵蟮眉?=3,設BF=B'F=x,UJ求得GN=9,FG=3+x,FN=?2-x,在△GNF

中利用勾股定理求得X即可求解；

(4)設￡>￡=?則CE=12-y,根據(jù)折疊性質得"E=y,β'E=l2-y,再由勾股定理求得y值

即可求解.

(1)

證明：四邊形ABe力是矩形，

AAB=CD=12,AD=BC=16,ZB=ZD=ZBAD=ZC=90o,

由折疊性質得：ZMAG=ZB'AG,ZAB'F=ΛAB'G=ZB=90O,AB=AB',

?'MN±AD,

：.ZAMN=90o,貝IJZAMG=ZAB'G=90o

在小AAfG和4A&G中,

ZMAG=ZBIAG

-ZAMG=ZAB,G

AG=AG

：.ΛAMG^ΛAB'G(AAS)；

(2)

證明：VZB=ZBAD=NAMN=90°,

.?.四邊形ABNM是矩形，

,/ΛAMG^ΛAB'G,

.?AM=AB'?W∣JAM=AB,

.?.四邊形/WNM是正方形；

(3)

解：：四邊形是ABNM正方形，

：.MN=AM=BN=AB=12,

,：ZAMN=ZD=90o,ZDAE=ZDAE,

：.∕?AMG?^?ADE,

.AMMG

??----=-----，

ADDE

VAΛ√=I2,DE=4,AD=16,

.12MG

??—=----，

164

/.MG=3,

???ΛAMG^ΛAB,G,

,

：.MG=BG=39

?BF=B,F=x,則GN=I2-3=9,FG=Λ+3,FN=VI-X,

在AGN/中，NGN尸=90°,

.,.由勾股定理得：GN2+FN2=FG2,

Λ92+(12-x)2=(x+3)2,

解得：x=l.2,

：.BF=I.2；

(4)

解：由折疊性質得：AD0=AD=I6,AB=AB'=?2,B'E=CE,DE=D￠￡,ND=NBID'E=90。,

：.B'z×=16-12=4,

設。E=y,則CE=12-y,

在ΔΛ'O'E中，Zβ,Z>E=90o,DfE=y,BE=12-y,

，由勾股定理得：B,iy2+D1E2=BE2'

則42+盧(12-y)2,解得：y=y,

.e16

??DE=—.

3

故答案為：號.

【點睛】本題考查矩形的判定與性質、正方形的判定與性質、折疊的性質、全等三角形的判

定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵.

15.在矩形ABC。中，點E,尸分別是邊A。，BC上的動點，且Z)E=8F,連接EH將矩

形ABCD沿E尸折疊，點A落在點G處，點8落在點”處.

(1)如圖①，當線段EG與線段8C交于點P時，求證：PE=PF:

(2)如圖②，當線段EG的延長線與線段BC的延長線交于點P時.G”交線段CD交于點M,

①求證：APCM迫APGM;

②E,尸在運動過程中，點M是否在線段EF的垂直平分線上？如果在，請證明；如果不在，

請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②當點￡,F在運動過程中，點M一直在線段EF的垂直平分線上.證明見解

析

【分析】(1)由折疊的性質可知：ZAEF^ZGEF,根據(jù)矩形的性質可得/AEF=/EFP,

即可得到NGEF=NEFH根據(jù)等角對等邊即可得證；

(2)①根據(jù)HL證明Rt?Rt?PGM,即可得證；

②當點E,F在運動過程中，點例一直在線段E尸的垂直平分線上.

如圖：連接BD交EF于■苴。，連接OP,證明△DoE會∕?BOF(ASA),由①可得PE=PF,

OP是線段E尸的垂直平分線，OP也是NEP尸的角平分線(三線合一).

由①△尸CM絲ZXPGM,得NCPM=/GPM,即：MP是NePG的角平分線，可得當點E、F

在移動過程中，點M一直在線段Ef■的垂直平分線上.

(1)

由折疊的性質可知：NAEF=NGEF,

；矩形ABC。中，AD//BC,

：.NAEF=NEFP,

：.ZGEF=NEFP,

：.PE=PF;

(2)

①由折疊的性質可知：AE=EG,

：矩形ABCD中，AD=BC,DE=BF,

/.AD-DE=BC-BF,即：

AE^FC,

：*EG=FC,

又,.?NPEF=NAEF=NPFE,

J.PE=PF,

：.PE-EG=PF-CF,即：PG=PC-,

又「OCLLBC,HGLEG,

o

：.ZMCP=ZMGP=Wi

又YPM=PM,

：.RtAPCM%Rt4PGM(HL)；

即：△PCM妾APGM；

②當點E,尸在運動過程中，點例一直在線段E尸的垂直平分線上.

如圖：連接Bo交EF于點。，連接0P,

?,AD∕∕BC,

：.NEDO=NFBO,NDEo=NBFO,

又/DE=BF,

.??DOE^∕?BOF(ASA),

：.OE=OF↑

由①可得PE=PF,，。P是線段EF的垂直平分線，

，OP也是/EP尸的角平分線(三線合一).

由①嶺Z?PGM得：ZCPM=ZGPM,即：MP是/CPG的角平分線，

；/EPF與NCPG是同一個角，

，MP與OP重合，

即：當點E、F在移動過程中，點例一直在線段EF的垂直平分線上.

【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，等腰三角形的性質與判定，全等三角形的性

質與判定，垂直平分線的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵.

16.如圖，四邊形A8C。是矩形，把矩形4C沿折疊，點8落在點E處，AE與DC的交點

為0,連接?！?/p>

(2)求證：DE//AC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質和折疊的性質可得BC=CE=4λAB=AE=CD,根據(jù)SSS可證

ΔADE必CED(SSS)：

(2)根據(jù)全等三角形的性質可得NEoC=Nf)E4,由于△ACE與△AC8關于AC所在直線對

稱,可得NO4C=NCA3,根據(jù)等量代換可得NOAC=NQEA,再根據(jù)平行線的判定即可求解.

(1)

證明：I四邊形ABC。是矩形，

,AD=BC,AB=CD,

「AC是折痕，

,BC=CE=AD,AB=AE=CD,

在△川。七與4CED中,

CE=AD

AE=CD

DE=ED

：.∕?ADEq叢CED(SSS),

(2)

證明：MADEmACED,

：.ZEDC=ZDEA,

又?/AACE與AACB關于AC所在直線對稱，

，NOAC=NC48,

???/OCA=NCAB,

：.ZOAC=ZOCA,

在4DOEfaΔAoC中，ZDOE=ZAOCf

V2ZOAC=180o-ZAOC,2ZDEA=180o-ZDOE,

Λ2ZOAC=2ZDEΛ,

：.AOAC=ADEA,

：?DE//AC.

【點睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，矩形的性質，以及全等三角形的判定與性質，正

確證明三角形全等是解題的關鍵.

17.如圖，在矩形A8C。中，E是AO的中點，將人鉆￡沿折疊后得到，GBE,且G點

在矩形ABC。的內部，延長BG交OC于點R連接EE

⑴求證：ADEF烏AGEF；

⑵若DC:￡>F=3:2,求通r的值.

【答案】(1)見解析

【分析】(1)由折疊的性質可得AE=EG=OE,由可證心△CE尸絲用△GEF；

(2)設。C=3x,DF=2X,由線段的和差關系可求AB=3X,BF=5X,由勾股定理可求解.

(1)

?.?四邊形ABCo是矩形，

ΛAB^CD,AD=BC,ZA=ND=NC=90°,

是AO的中點，

AE=DE,

V將ΛABE沿BE折疊后得到GBE,

ΛAE=EG,AB=BG,ZA=ZBGE=90°,

ΛZD=ZEGF=90°,ED=EG,

?EG=ED

二在心Z)E尸和RIGEF中，《ll

[EF=EF

：.RtDEFqRfGEF(HL)；

(2)

,.?ADEF/AGEF,

：.DF=GF,

?/DC;DF=3:2,

設。C=3x,DF=2x,

：.GF=1x,AB=BG=3x,

：.BF=BG+GF=5x,

，在Rt?BCF中，BC2=BF--CF2=25x2-x2=24x2,

AD2=BC2=24X2,

.AD-_24/_8

ΛBr^9X2^3-

【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，折疊的性質，靈活

運用這些性質解決問題是解題的關鍵.

18.折疊矩形ABCQ,使點。落在BC邊上的點尸處，折痕為AE.

(1)求證4ABFSMCE；

(2)若CF=4,EC=3,求矩形ABCQ的面積.

【答案】(1)見解析

(2)矩形ABCD的面積為80

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質和翻折的性質即可證明AAB尸S△尸CE.

(2)由(1)得AABFsAFCE,所以蕓=受，進而可以解決問題.

ECCF

(1)

證明：由矩形ABCQ可得，NB=NC=ND=90。.

.,.ZBAF+ZAFB=90°.

由折疊得乙4尸E=/。=90。.

NAFB+NEFC=90°.

?NBAF=NEFC.

：.XABFsXFCE;

(2)

解：VCF=4,￡C=3,ZC=90°

.?EF=DE^5,

.".AB=CD=S.

由(1)得AABFs∕?FCE,

.BFAB

'^^C~'CF

：.BF=6.

：.BC=IO.

.?.S=A8?C8=1()x8=8().

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，翻折變換，解決本題的關鍵是

得到△ABFSAFCE.

19.如圖，在矩形A8C。中，AD<2AB,點E是A。的中點，連接BE,將AABE沿8E折

疊后得到4GBE,延長BG交OC于點F,連接EF.

D

B

(1)求證：AEGF沿乙EDF；

(2)若點F是CD的中點，BC=8,求CD的長.

【答案】(1)見解析

(2)4√2

【分析】(I)由翻折和矩形的性質可知NEGF=/。=90。，EG=ED,可通過”L證明

Rt?EGFgRt△EDF；

(2)根據(jù)點尸是CD的中點知：CF=∣CD,BF^-CD,在Rt△5CF中，利用勾股定理

即可列出方程.

(1)

證明：；將4ABE沿BE折疊后得到△GBE,

：.ZBGE^ZA,AE=GE,

;四邊形ABa＞是矩形，

.?./A=/0=90。，

/EGF=/￡＞=90°,

；點E是AQ的中點，

：.EA^ED,

.,.EG=ED,

fEF=EF

在Rt?EGF與Rt?EDF中，＜八―LC

[EG=ED

ΛRtΔEGF/RSEDF(HL).

(2)

由(1)知RI△EGF咨RtAEDF,

：.GF=DF,

：點尸是8的中點,

.,.GF=DF=CF=-CD.

2

在矩形ABC。中，ZC=90o,AB=CD,又由折疊可知AB=G8,

：.GB=CD,

3

：.BF=GB+GF=—CD,

2

在RtABC尸中，由勾股定理得:

31

Λ(-CD)2=82+(-CD)2,

VCD>O,

?,.CZ)=4√2.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，明確翻

折前后對應邊相等是解題的關鍵.

20.如圖，在正方形ABCZ)中，AB=6,E為BC中點，連接AE,將ZVUSE沿AE折疊，點

B的對應點為G,連接EG并延長交C。于點F,連接"，CG.

D

F

C

(1)判斷CG與AE的位置關系，并說明理由;

⑵求￡>廠的長.

【答案】(1)平行，理由見解析

(2)2

【分析】(1)由折疊知,,ABE均AGE,可得∠AE5=ZAEG,根據(jù)E為BC的中點，可得

EC=EB=EG=3,進而可得NECG=NEGC,根據(jù)NCGE=ZAEG,即可得證；

(2)證明RtZMOF&Rt?AGF,得。尸=FG,設DE=x,則所=3+x,FC=6-x.勾

股定理列出方程，解方程求解即可.

(1)

解：CG〃A￡.

理由如下：

由折疊知，ABEaAGE,

：.BE=EG,ZAEB=ZAEG.

又￡為8。的中點，

EC=EB=EG=3.

：.ZECG=ZEGC.

,：/BEG=ZECG+ZEGC=2ZAEG,

.?.NCGE=ZAEG.

.?.CG//AE.

(2)

?；四邊形ABCD是正方形，

.?.AD=AB=AG.

又ZAC)尸=ZAG尸=90°,ZAr)尸=ZAG/=90°,AG=AG.

：■Rt∕?ADF^Rt∕?AGF.

：.DF=FG.

設OF=X,

貝IJE尸=3+x,FC=6-X.

EF1=EC2+CF2.

即(3+X)2=32+(6-X)2.

解得X=2.

即￡>尸=2.

【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，折疊的性質，HL證明三角形全等，全等三

角形的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

21.如圖，長方形ABCD中，AB>AD,把長方形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在

點E處，AE交CD于點F,連接?！?

(1)圖中有個等腰三角形；(請直接填空，不需要證明)

(2)求證：&ADEQXCED;

⑶請證明點尸在線段AC的垂直平分線上.

【答案】⑴2

(2)證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)由題意知CE=BC=AD,ZEAC=ZBAC=ZDCA,^^ACF為等腰;角形;在二ADE

AD=CE

和,CE。中，<AE=CO,知△">￡'也△(:￡7),有NDEA=NEDC,有△OE尸為等腰三角形；

DE=ED

AD=CE

(2)在一AZ)E和ACEQ中，AE=CD,可得44)E絲ATED；

DE=ED

(3)由丁ZXADE^?CED,NDEA=NEDC,ZDEF=ZEDF,有EF=DF,AE=CD,

故AE-EF=CD-DF`EA=尸C進而可得出結果.

(1)

解：有和△OEF共2個等腰三角形

證明如下：由折疊的性質可知CE=BC=AC,ZEAC=ZBAC

,：ABCD

.,.ZEAC=ZDCA

.?.ZVlCF為等腰三角形；

在，ADE和CED中

AD=CE

"：-AE=CD

DE=ED

：.八ADEmACED(SSS)

：.NDEA=NEDC

...△。￡尸為等腰三角形；

故答案為：2.

(2)

證明：???四邊形ABCO是長方形

ΛAD=CE,AE=CD

由折疊的性質可得：BC=CE,AB=AE

：.AD=CE,AE=CD

AD=CE

在,A￡)E和?！?中，＜AE=CD

DE=ED

：.AADE名ACED(SSSX

(3)

證明：由(1)得AADE且MED

.,.ZDEA=NEDC,即ZDEF=/EDF

：.EF=DF

又「AE=CD

：.AE-EF=CD-DF

FA=FC

??.點F在線段AC的垂直平分線上.

【點睛】本題考查了幾何圖形折疊的性質，矩形，等腰三角形的判定與性質，三角形全等,

垂直平分線等知識.解題的關鍵在于靈活運用知識.

22.如圖，在,.ABC中，AB=AC,點。為邊BC上一點，以AB,B。為鄰邊作YA8L>E,

連接A￡>、EC.

Q)若BD=CD,求證：四邊形AoCE是矩形.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質、等腰三角形的性質，利用全等三角形的判定定理SAS

可以證得4ADe妾∕?ECD:

(2)利用等腰三角形的“三合一”性質推知AOL8C,即乙4。。=90。；由平行四邊形的判定

定理(對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形)證得四邊形A。CE是平行四邊形，所以有

一個角是直角的平行四邊形是矩形.

(1)

證明：Y四邊形480E是平行四邊形，

J.AB∕∕DE,AB=DE;

；.NB=/EDC；

又?.?AB=AC,

：.AC=DE,NB=NACB,

：.ZEDC=ZACD;

：在ECD中，

AC=ED

■NACD=NEDC,

DC=CD

：.?ΛDC^?ECD(SAS)i

(2)

：四邊形ABOE是平行四邊形，

.,.BD∕∕AE,BD=AE,

.?AE∕∕CD↑

又,：BD=CD,

.?AE^CD,

：.四邊形ADCE是平行四邊形；

在ZkABC中，AB=AC,BD=CD,

：.ADlBC,

：.NAoC=90。，

.?.四邊形AOCE是矩形.

【點睛】本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定以及矩形的判定.注

意：矩形的判定定理是“有一個角是直角的，平行四邊形’是矩形"，而不是”有一個角是直角的

‘四邊形'是矩形

23.如圖1,為了探究某種類型矩形48C。的性質，數(shù)學項目學習小組在BC邊上取一點E,

連接QE.經探究發(fā)現(xiàn)：當。E平分NAQC時，將AABE沿AE折疊至AAFE,點F恰好落

在DE上.據(jù)此解決下列問題：

DA

H

CB

圖1

(1)求證：4AFDgADCE；

(2)如圖2,延長CF交AE于點G,交AB于點”.

①求證：AHAF=AGCF；

②求G”：Z)F的值.

【答案】⑴見解析

⑵①見解析；(g)3√2-4

【分析】(1)根據(jù)ED平分NADC,有/ADE=/EOC=45。，即/￡>EC=45。，根據(jù)翻折的性

質，有AABE三ZWjE,即AB=AF,NAFD=NB=90°,則有AF=AB=DC,ZFAD=ZADE=45o,

即可得ZMΛD=ZkDCE;

(2)①根據(jù)AAF'。也△￡)CE,得出AO=DE,AF=DF=DC=CE,證明NEb=NH4G,

NEFC=NAHG,即可證明△A”GS∕?CFE,即可證明結論；

②過點F作RWLBC于點M,設EC=S=AF=DF=AB=",根據(jù)條件求出AH=√5α-α,

C尸=亞二5”，利用^AHGs^CFE,求出G"=(3α-4)。，即可求出答案?

(1)

證明：???四邊形ABCO為矩形，

；?NB=NBCD=NCDA=NBAD=90°,AB=CD,AD=BC,

YE。平分NAoe

o

ΛZADE=ZEDC=45t

：.ZDEC=90o-ZEDC=45o,

根據(jù)翻折的性質，有ZVLRE二

o

：.AB=AF,ZAFD=ZB=90f

o

：.AF=AB=DC,ZFAD=ZADE=45f

：.∕?AFD^∕?DCE.

(2)

證明：①?.?Z?ABDgZ?3CE,

：.AD=DE,AF=DF=DC=CE9

1800-45°

???NDCF=ZDFC=-------------=67.5°,

2

/.ZECF=22.5°,

9：AD=DE,

1800-45°

.?.ZDAE=ZDEA=-------------=67.5°,

2

.,.ZWΛG=22.5o,

ZECF=ZHAG9

'.'ZEFC=180o-67.5°=112.5o,ZA∕∕G=90o+22.5°=112.5°,

.?ZEFC=ZAHG,

：.XAH